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이산수학 Discrete Mathematics |
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1. 정의
Fourier transform| 3Blue1Brown의 설명 영상. 주기함수에 대한 개념과 오일러 공식, 복소평면 정도만 숙지하고 있으면 이해가 가능하다. |
함수 [math(h:\mathbb{R}\to\mathbb{C})]에 대해 [math(\hat{h} = F\left[h\right]:\mathbb{R}\to\mathbb{C})]라는 함수를
| [math(\displaystyle \hat{h}(t) = F\left[h\right]\left(t\right) \equiv \int_{-\infty} ^{\infty} e^{-2 \pi itx} h\left(x\right) \mathrm{d}x \quad \left(i = \sqrt{-1}\right))] |
로 정의하고, 위 변환 [math(\hat{h}, F[h])]를 함수 [math(h)]의 푸리에 변환이라 정의한다.[1][2] 고차원에서도 비슷하게 정의할 수 있다. 푸리에 변환을 [math(\int e^{-itx} h\left(x\right) \mathrm{d}x)]로 정의하는 수학자들도 있다.[3] 이 경우 함수의 미분과 푸리에 변환 사이의 관계가 깔끔하여 ([math(F\left[h'\right](t)=itF\left[h\right](t))]) 편미분 방정식에서 주로 사용한다. 물리학에서는 보통 시간 [math(t)] 의 푸리에 도메인으로 각진동수인 [math(\omega )] 를 사용하고, 위치 [math(x)]의 푸리에 도메인으로 wave number [math( k)]를 사용한다.
위 적분식이 임의의 함수 [math(h)]에 대해 잘 정의되지는 않는다(이를테면 [math(h(x)=1)]인 경우). 하지만 대부분의 경우 적분식을 improper 리만적분으로 해석하거나, [math( h(x)e^{-\epsilon x^2})]의 푸리에 변환을 먼저 계산한 뒤 [math( \epsilon \to 0)] 극한을 보내는 방법으로 해결이 된다. 어찌 됐건, 이런 자잘한 문제를 해결하기 위해 푸리에 변환의 정의를 엄밀하게 할 필요가 있는데, 아래를 참고하면 된다.
1.1. 슈바르츠 공간에서
슈바르츠 공간 [math(\mathcal{S})]는 무한 번 미분 가능하며 모든 도함수들이 빠르게 감소하는 함수들의 공간이다. 이 경우 적분식으로서의 푸리에 변환이 잘 정의된다. 특히, [math(F:\mathcal{S}\to \mathcal{S})]는 일대일대응이 되며, 모든 [math(h,g\in \mathcal{S})]에 대해| [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} h(x)\bar{g}(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} F[h](t) \overline{F[g]}(t) \mathrm{d}t)] |
1.2. L1 공간에서
먼저 르베그 공간에 대해 알아야 한다. (주석참조)[4] [math( L^{1} )]함수에 대해 적분식로서의 푸리에 변환은 잘 정의되나, 변환된 함수가 [math(L^{1})] 에 들어가지 않을 수 있고, 실제로 [math(F:L^{1} \to L^{\infty})]임만 알 수 있다. 슈바르츠 공간에서와는 다르게, [math(F:L^{1} \to L^{\infty})]는 전사함수가 아니다. [5]1.3. L2 공간에서
이 성질과 [math(\mathcal{S}\subset L^{2})]의 조밀함에 의해 [math(F:\mathcal{S}\to \mathcal{S})]는 [math(F:L^{2}\to L^{2})] 귀일적 작용소로의 유일한 확장을 가진다. 이를 통해 [math(F:L^{2}\to L^{2})]가 잘 정의된다.1.4. 조절 분포 공간에서
[math( \mathcal{S}' )] 공간은 슈바르츠 공간 [math( \mathcal{S} )]의 쌍대공간으로서, 약한-* 위상을 가진다. [math( \mathcal{S}' )]의 원소는 조절분포라 불린다. 조절분포 [math( h \in \mathcal{S}' )]의 푸리에변환 [math( F[h] \in \mathcal{S}' )]은 Plancherel 정리에 의해 다음과 같이 정의되는 것이 자연스럽다.| [math(\langle F[h], \varphi \rangle = \langle h, F[\varphi] \rangle,\qquad \forall \varphi\in \mathcal{S})] |
2. 다른 적분변환과의 관계
이 푸리에 변환은 라플라스 변환과 매우 비슷하다. 당장 위의 [math(t)]에 [math(is)]를 넣어보시라. 함수의 미분은 푸리에 변환을 하면 변수와의 곱이 되고, 곱은 합성곱(컨볼루션, convolution)으로 옮겨진다. 따라서 미분방정식의 라플라스 변환 풀이는 그대로 푸리에 변환 풀이로 고칠 수 있다. 하지만 라플라스 변환보다 훨씬 좋은 점은 역변환이 매우 쉽다는 것이다. 아니 자기 자신이 그냥 역변환이다! 엄밀하게는 [math(F^{2} h\left(t\right) = F\left[F\left[h\right]\right]\left(t\right) = h\left(-t\right))]가 성립. [6]삼각함수로 유도되는 변환식이기 때문에 하틀리 변환[7]과도 상당히 관련되어 있다.
3. 심화
3.1. 역변환(inverse transform)
푸리에 변환의 역변환 [math(F^{-1} \left[g\right]\left(x\right) = \int e^{2\pi itx} g\left(t\right) dt)]에서 [math(g = F\left[h\right])]로 놓으면 [math(h\left(x\right) = \int e^{2\pi itx} F\left[h\right] dt)]가 되고, 이는 [math(h\left(x\right))]를 지수함수 [math(e^{2\pi itx})] 들의 '연속적 일차결합'으로 나타낼 수 있다는 의미이다. 이러한 취지에서 푸리에 급수와 푸리에 변환을 같이 묶어 푸리에 해석이라 말할 수 있는 것.[8]3.2. 이산 푸리에 변환
3.3. 아다마르 변환
3.4. 정수론적 변환
Number-theoretic transform(NTT)복소수체 대신 모듈러 산술 위에서 정의된 이산 푸리에 변환으로, 큰 정수끼리의 곱셈 알고리즘인 쇤하게-스트라센 알고리즘(Schönhage-Strassen algorithm)에 쓰인다.
4. 응용
순수수학에서도 다루고 물리학에서도 다루는 내용이지만, 전자공학과 컴퓨터공학등에서 그 중요성이 더욱 커진다.전자기파나 주파수 같은 것이 들어 가는 분야라면 거의 필수적으로 사용된다. 푸리에 변환을 사용하는 근본적인 이유는 time domain에서 해석하기 힘든 신호를 frequency domain에서 쉽게 해석할 수 있기 때문이다(ODE를 풀 때의 라플라스 변환을 생각해보라) 가장 대표적인 것이 바로 통신공학인데 아날로그 통신의 기본인 AM, FM 등의 변조 기술들은 모두 어떠한 신호를 시간의 푸리에 변환인 주파수 도메인에서 다루는 것이다. 예컨대, AM에선 carrier frequency를 가진 cosine 함수를 메세지에 곱하는데, 이를 시간 도메인에서 바로 해석하기엔 그래프의 모양이 상당히 더럽다. 하지만 이를 푸리에 변환하면 cosine 함수의 푸리에 변환은 델타 함수므로 주파수 도메인에서 해석하면 손쉽게 해석할 수 있다. 당장 일렉 기타에서 자주 사용하는 꾹꾹이에서 파장변환의 차를 내서 쓴다. 의외로 실생활에서 많이 사용한다.
음향 플러그인 분야에서도 특정 장소에서의 리버브 효과나 특정 음향기기의 음색을 얻고자 할 때 해당 원리를 응용한 임펄스 응답(Impulse Response)이라는 기술을 사용한다.
미디어 플레이어에서는 오디오신호를 시각화하기 위해 막대로 된 스펙트럼을 보여 주는 기능을 가진 경우가 있는데, 푸리에 변환을 응용한 것이다. 소리를 주파수별로 분해해서 시각화할수 있기 때문에 무언가 음악에 맞추어 움직이거나 하는 장치에 응용된다. 공연 무대나 음악분수, 동영상 광고, 뮤직비디오 등에서 청각적 요소에 대한 시각적 효과를 주기 위해서 이용되는 경우도 있다.
MRI의 영상 구성 원리는 수소원자와 자기장에 대한 물리학적인 지식이 기본인데, 얻은 데이터를 처리하는 과정에서 k-space라는 가상공간을 사용한다. 푸리에 변환이 정보처리 과정에서 사용된다. MRI 영상 만드는데 많이 사용되는 변환은 sinc 함수가 변환된 사각파라는 것이다.[9]
5. 관련 문서
[1]
[math(\hat{h})]는 수학 쪽에서 많이 쓰이고 [math(F[h])]는 물리학 쪽에서 많이 쓰인다.
[2]
지수 쪽에 변수를 작게 죽 적기가 까다로워 지수함수 부분을 [math(\operatorname{cis}(-2 \pi tx))]로 표기하기도 한다.
[3]
전자공학에서는 [math(\displaystyle X(\omega) = \mathcal{F}\left[x(t)\right] \equiv \int_{-\infty}^ {\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt \quad \left( \omega = 2\pi f \right))] 로 정의한다.
[4]
[math( 0 <p < \infty )]에 대해 [math( h\in L^{p} )]라는 것은 [math( \int_{-\infty}^{\infty} |h(x)dx|^{p}<\infty )]라는 것이고, [math( h\in L^{\infty} )]라는 것은 (대략) 함수 [math( h )]가 유계라는 것이다. 여기서 '대략''이라는 말이 붙은 것은 정의역 전체에서 유계가 아니더라도 정의역에서 측도 0인 어떤 집합을 뺀 영역에서 유계이면 되기 때문이다.
[5]
[math(F[h](t) = 1)]을 만족하는 함수 [math(h\in L^{1})]는 존재하지 않는다.
[6]
주의: 앞에서 말한 [math(e^{-itx} \mathrm{d}x)]를 사용하는 다른 버전에서는 이렇게 두번 합성을 하면 상수 [math(2\pi)]가 붙는다. 이것을 해결하기 위해 푸리에 변환과 역변환 모두에 [math(1/\sqrt{2\pi})]를 곱해주거나, 역변환만 [math(1/2\pi)] 배를 해주는 서로 다른 관습이 있다.
[7]
오일러 공식 대신 [math(\sin + \cos)]를 이용한 변환
[8]
[math(\displaystyle x(t) = F^{-1}\left[X(j\omega)\right] \triangleq \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^ {\infty} X(j\omega) e^{j \omega t} d\omega)] 또는 [math(\displaystyle x(t) = F^{-1}\left[X(f)\right] \triangleq \int_{-\infty}^ {\infty} X(f) e^{j2 \pi ft} df)]로 역변환을 정의할 수도 있다.
[9]
사각파를 푸리에 변환하면 sinc함수가 된다.