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1. 개요
Funzione di Volterra / Volterra’s function / Volterra 函 數이탈리아의 수학자인 비토 볼테라가 고안한, [math([0,1])]위에서 정의된 병리적 함수의 일종으로, 미분 가능하지만, 그 도함수가 유계임에도 리만 적분이 불가능하다. 이러한 함수가 존재함에도 미적분의 기본정리가 참인 이유는, 미적분의 기본정리에는 연속 함수라는 조건이 달려 있기 때문이다.
2. 정의
[math(C)]를 아래와 같이 정의된 뚱뚱한
칸토어 집합이라고 하자.[1]
* [math(C_{1}=\left[0,\dfrac{3}{8}\right]\cup\left[\dfrac{5}{8},1\right])]
* [math(C_{n}=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{n}}[a_k,b_{k}])]일 때, [math(C_{n+1}=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{n}}\left(\left[a_{k},\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}-\dfrac{1}{2^{2n+3}}\right]\cup\left[\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}+\dfrac{1}{2^{2n+3}},b_{k}\right]\right))]
* [math(C=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}C_{n})]
이 때, [math([0,1]-C)]가 열린집합이므로 서로소 열린구간열[math(\{I_{k}\}_{k\in\mathbb{N}})]의 합집합으로 나타낼 수 있다. [math(I_{k}=\left(\alpha,\beta\right))]라고 하고, 함수 [math(V_{k}:I_{k}\to\mathbb{R})]를 아래와 같이 정의하자.* [math(C_{1}=\left[0,\dfrac{3}{8}\right]\cup\left[\dfrac{5}{8},1\right])]
* [math(C_{n}=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{n}}[a_k,b_{k}])]일 때, [math(C_{n+1}=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{n}}\left(\left[a_{k},\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}-\dfrac{1}{2^{2n+3}}\right]\cup\left[\dfrac{a_{k}+b_{k}}{2}+\dfrac{1}{2^{2n+3}},b_{k}\right]\right))]
* [math(C=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}C_{n})]
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| [math(V_{k})]의 그래프. 위 그래프를 적절하게 크기를 조절해서 뚱뚱한 칸토어 집합을 만들 때 제거되는 구간마다 무한히 복붙하면 볼테라 함수가 된다. |
[math(V_{k}(x)=\begin{cases}(x-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{x-\alpha}, & \alpha<x\leq m_{1} \\ (m_{1}-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{m_{1}-\alpha}, & m_{1}\leq x\leq m_{2} \\ (\beta-x)^{2}\sin\dfrac{1}{\beta-x}, & m_{2} \leq x < \beta \end{cases})]
(단, [math(m_{1})]은 [math((x-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{x-\alpha})]가 구간[math(\left(\alpha,\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right))] 위에서 극댓값인 [math(x)] 중에서 가장 큰 값이고, [math(m_{2})]는 [math((\beta-x)^{2}\sin\dfrac{1}{\beta-x})]가 구간 [math(\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2},\beta\right))] 위에서 극댓값인 [math(x)] 중에서 가장 작은 값.[2])[3]
(단, [math(m_{1})]은 [math((x-\alpha)^{2}\sin\dfrac{1}{x-\alpha})]가 구간[math(\left(\alpha,\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right))] 위에서 극댓값인 [math(x)] 중에서 가장 큰 값이고, [math(m_{2})]는 [math((\beta-x)^{2}\sin\dfrac{1}{\beta-x})]가 구간 [math(\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2},\beta\right))] 위에서 극댓값인 [math(x)] 중에서 가장 작은 값.[2])[3]
최종적으로, 볼테라 함수 [math(V:[0,1]\to\mathbb{R})]은 아래와 같이 정의되는 함수이다.
[math(V(x)=\begin{cases}V_{k}(x), & x\in I_{k},\:k\in\mathbb{N}\\ 0, & x\in C \end{cases})]
2.1. 설명
함수 [math(f(x)=\begin{cases}x^{2}\sin\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\ 0,&x=0\end{cases})]를 생각해보자. 이 함수는 구간 [math((-\infty,0))]와 [math((0,\infty))] 위에서는 초등함수의 사칙연산과 합성으로 이루어진 함수이므로 미분의 일반적인 성질에 의해
[math(f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x})]
로 구할수 있다. [math(x=0)]일 때는, 다음과 같이 미분계수의 정의를 이용해서,
[math(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^{2}\sin\dfrac{1}{x}-0}{x-0}=0)]
이 된다는 것을 알 수 있다. 즉,
[math(f'(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&x\neq 0\\0,&x=0 \end{cases})].
위의 [math(f'(x))]는 특이하게도 어떤 함수의 도함수인데도 불연속인 함수이다. 그런데, 이 함수는 한 점만 불연속이므로, 리만적분 가능하다. 즉, 우리의 목표 중 하나인 리만적분 불가능을 달성할 정도로 특이하진 않다는 것.유계 함수에 대해, 리만적분 가능성과 동치인 조건은 함수가 '거의 모든 점'에서 연속이란 것이다.[4] 여기서 '거의 모든 점'에서 연속이란 것은, 불연속 점의 르베그 측도[5]가 0이란 것이다. 르베그 측도가 0인 집합으로는 대표적으로 가산집합이 있다.[6] 그래서, 리만적분이 불가능한 유계 함수를 만들려면, 불연속 점을 자연수의 개수보다는 훨씬 많이 심어야 한다.
그런데, 놀랍게도 다음의 특성을 갖는 집합이 있다.
- 르베그 측도가 0이 아니다.
- 집합 내의 임의의 두 점을 잡았을 때, 그 두 점의 사이에 들어오면서도, 그 집합과는 서로소인 열린구간이 항상 존재한다.
- 닫혀있다.
SVC 집합(SVC set; Smith-Volterra-Cantor set) 또는 뚱뚱한 칸토어 집합(fat Cantor set)이라고 부르는 집합인데, 칸토어 집합의 변형으로, 프랑스의 수학자, 앙리 스미스가 1875년에, 이탈리아의 수학자, 비토 볼테라가 1881년에 도입한 개념이다. 1.에 따라서, 함수가 SVC 집합의 모든 점에서 불연속이면, 리만적분 불가능하다. 3.에 의해서 SVC 집합의 여집합을 열린구간의 합집합으로 나타낼 수 있다. 그래서, 위에서 정의한 [math(f(x))]를 변형한 함수를 SVC 집합의 여집합을 구성하는 열린구간마다, 도함수가 불연속인 점이 SVC 집합에 놓이도록 적절히 심어 놓으면, 미분가능하면서도 도함수는 리만적분 불가능한, 아주 괴상한 함수를 만들어낼 수 있는 것이다.
3. 성질
[math(V)]는 [math([0,1])] 위에서 미분 가능하고, 도함수 [math(V^{\prime})]이 [math(C)] 위의 모든 점에서 불연속이라는 사실을 쉽게 유도할 수 있다. 그런데 [math(C)]는 르베그 측도가 0보다 크므로 [math(V^{\prime})]은 리만적분 불가능하다.
[1]
그냥 칸토어 집합과는 다르게, n번째 단계에서, [math(2^{n-1})]개 각각의 소구간에서 길이가 [math(1/4^n)]에 해당하는 가운데 열린구간을 제거한다. 그러면 제거당한 구간의 총 길이가 1/2이 되어, 남은 점들의 측도가 1/2이 된다.
[2]
두 함수가 [math(x=\dfrac{\alpha+\beta}{2})]에 대해 서로 좌우 반전 되어있으므로, 두 극댓값은 같다.
[3]
[math(\alpha,\:\beta,\:m_{1},\:m_{2})] 등은 [math(k)]의 값에 따라서 결정되는 값이지만, 이를 일일이 나타낼 경우 표기가 복잡해지므로 생략하였다.
[4]
이를 리만-르베그 정리, 리만적분 가능성에 대한 르베그 판정법 등으로 부른다.
[5]
집합의 모든 원소를 수직선에 늘여놓았을 때의 길이라고 생각하면 된다.
[6]
예를 들어서,
가우스 함수는 리만적분 가능하다.