1. 개요
Risch algorithm · Risch 方 法초등함수의 역도함수가 초등함수일 경우, 그 풀이를 정형적인 '방법'으로 정리한 것이다.
2. 설명
초등함수는 부정적분에는 닫혀 있지 않지만[1], 역도함수가 초등함수인 경우 어떠한 규칙이 있음을 조제프 리우빌[2]이 발견했고, 이를 로버트 리시가 확립한 것이다.흔히 아래의 형태인
[math(\displaystyle f = v' + \sum_{k=1}^{n} c_k \frac{u_k'}{u_k})]
임이 알려져 있다.
리시-노먼 방법이라고 불리기도 하는데, 리시 방법을 최적화한 아서 노먼의 이름이 붙은 것이다.
3. 예시
3.1. 다항함수
다항함수 [math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k)] (단, [math(n > 0,\, n \in {\mathbb N})])에 대해서 다음 공식이 적용된다.- 도함수: [math(\displaystyle \frac{\rm d}{{\rm d}x} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) a_{k+1} x^k)]
- 역도함수: [math(\displaystyle \int f(x) \, {\rm d}x = \sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{k+1} x^{k+1} + {\sf const.})]
여기서 [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.