지수함수

초등함수 Elementary Functions
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1. 개요2. 그래프의 특징3. 극한값4. 미적분5. 등비수열6. 여담7. 관련 문서

1. 개요

指數函數 / exponential function


[math(y=2^x)]의 그래프	복소평면상에서의 그래프

지수함수는 지수에 미지수 [math(x)]가 있는 함수, 즉 [math(f\left(x\right) = a^x (a>0, a \neq 1))] 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 대략적으로 일반적인 다항식으로 표현할 수 없기 때문에[1] 초월함수에 속한다. 대한민국의 수학 교육과정에서는 고등학교 수학Ⅰ(2015)의 '지수함수와 로그함수' 단원에서 배운다.

지수함수는 지수 법칙을 실수 범위로 확장한 뒤에 배우게 되는데 실수에서의 지수 법칙을 만족하기 위해 밑 [math(a>0)]을 전제로 깔고 간다. 따라서 아래 문단에서 특별한 설명이 없으면, [math(a>0)]을 전제로 한다.[2]

또한 지수함수에서 밑이 1인 경우에는 상수함수가 되기 때문에 지수함수에서 제외하기로 약속하였다.

정규분포의 확률 밀도 함수가 다항함수에 지수함수를 합성한 형태이며, 삼각함수와 쌍곡선 함수 또한 지수함수를 이용해 만든 함수로 볼 수도 있다.[3]

2. 그래프의 특징

[math(a^0 = 1)]이기 때문에 [math(\left(0, 1\right))]을 반드시 지난다.
[math(a^1 = a)]이기 때문에 [math(\left(1, a\right))]를 반드시 지난다.
[math(\displaystyle a^{-1} = {1 \over a})]이기 때문에 [math(\displaystyle \left(-1, {1 \over a}\right))]을 반드시 지난다.
[math(f(x)=\dfrac1{a^x})]과 [math(y)]축 대칭인 모양이다.

[math(a>1)]인 경우, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값도 증가하는 증가함수이다.
[math(0<a<1)]인 경우, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값은 감소하는 감소함수이다.
상수항이 없는 경우[A] 절대로 3, 4사분면을 지나가지 않는다.
로그함수 [math(f\left(x\right) = \log_{a}{x})]와 서로 역함수 관계이다. 즉, [math(y=x)]에 대칭이다. (단. 이 때의 정의역은 당연히 0보다 큰 실수(원래 지수함수의 치역, 이것이 로그의 진수조건)로 바뀐다.)

단, [math(xe^x)]의 역함수는 로그함수가 아닌 람베르트 W 함수라는 초월함수이다.
[math(a \in (0,\,1) \cup (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!])]일 경우, 밑이 [math(a)]인 로그함수와 반드시 하나 이상의 교점을 갖는다.[5]

[math(a \in (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!))]인 경우, 두 개의 교점을 갖는다.

정의역에 역수를 취한 지수함수 [math(\displaystyle y = a^{1 \over x})]의 특징은 다음과 같다.

[math(a^1 = a)]이기 때문에 [math(\left(1, a\right))]를 반드시 지난다.
[math(\displaystyle a^{-1} = {1 \over a})]이기 때문에 [math(\displaystyle \left(-1, {1 \over a}\right))]을 반드시 지난다.
점근선이 [math(x=0, y=1)]인 쌍곡선이다.[6]
함수 [math(f\left(x\right) = \log_{x}{a} = \dfrac{1}{\log_{a}{x}})]와 역함수 관계이다.

정의역을 제곱하고 반수를 취한 지수함수 [math(\displaystyle y = a^{-x^2})][7]의 특징은 다음과 같다.

[math(a^0 = 1)]이기 때문에 [math(\left(0, 1\right))]을 반드시 지난다.
[math(x)]의 절댓값이 증가하면 [math(y)]값은 감소하는, 종 모양을 그리는 짝함수이다.
상수항이 없는 경우[A] 절대로 3, 4사분면을 지나가지 않는다.

한편, 밑과 지수가 같은 특수한 지수함수인 [math(y = x^{x})][9]의 특징은 다음과 같다.

[math(1^1 = 1)]이기 때문에 [math(\left(1, 1\right))]을 반드시 지난다.
[math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^x} = 1)]이므로[10] [math(\left(0, 1\right))]에서 출발하도록 그린다.( 단, [math(0^0)]은 정의하지 않으므로 [math(\left(0, 1\right))]은 뻥 뚫어놓는다.)
[math(x>1)]인 경우, [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값도 증가하는 증가함수이다.
[math(0<x<1)]인 경우, 비뚤어진 U자형을 그린다. 이 구간에서 임계점(=최솟값)은 [math(\displaystyle x = {1 \over e})] 이다.
[math(x<0)]인 경우, 함숫값이 [math(x)]가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 허수이다.
이 함수의 역함수는 초제곱근 함수이다.

위 함수의 변형인 [math(y = x^{1 \over x})]의 특징은 다음과 같다.

[math(1^1 = 1)]이기 때문에 [math(\left(1, 1\right))]을 반드시 지난다.
[math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^{1 \over x}} = 0)]이므로 [math(\left(0, 0\right))]에서 출발하도록 그린다.( 단, [math(0)]으로 나누기는 정의하지 않으므로 [math(\left(0, 0\right))]은 뻥 뚫어놓는다.)
[math(x>0)]인 구간에서 완만한 곡선을 그린다. 임계점(=최댓값)은 [math(\displaystyle x = e)] 이다. [math(x<e)]인 경우 [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값도 증가하는 증가함수이며, [math(x>e)]인 경우 [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값은 감소하는 감소함수이다.
[math(x<0)]인 경우, 함숫값이 [math(x)]가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 허수이다.

위 함수의 또 다른 변형인 [math(y = x^{-x})]의 특징은 다음과 같다.

[math(1^{-1} = 1)]이기 때문에 [math(\left(1, 1\right))]을 반드시 지난다.
[math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}{x^{-x}} = 1)]이므로 [math(\left(0, 1\right))]에서 출발하도록 그린다.( 단, [math(0^0)]은 정의하지 않으므로 [math(\left(0, 1\right))]은 뻥 뚫어놓는다.)
[math(x>0)]인 구간에서 완만한 곡선을 그린다. 임계점(=최댓값)은 [math(\displaystyle x = \frac{1}{e})] 이다. [math(x<\dfrac{1}{e})]인 경우 [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값도 증가하는 증가함수이며, [math(x>\dfrac{1}{e})]인 경우 [math(x)]값이 증가하면 [math(y)]값은 감소하는 감소함수이다.
점근선이 [math(y=0)]이다.
[math(x<0)]인 경우, 함숫값이 [math(x)]가 정수일 때 실수, 정수가 아닌 수일 때 허수이다.

3. 극한값

[math(a>1)]의 경우

[math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = \infty)]
[math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{a^x} = 0)]

[math(0<a<1)]의 경우

[math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = 0)]
[math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{a^x} = \infty)]

곧, [math(a>1)]이면 [math(x)]가 증가할수록 그래프가 무한히 위로 올라가고, 감소할수록 [math(x)]축과 한없이 가까워진다는 뜻이다. 반면 [math(0<a<1)]이면 [math(x)]이 증가할수록 그래프가 [math(x)]축에 한없이 가까워지고, 감소할수록 그래프가 무한히 위로 올라간다는 뜻이다.

이때 어느 경우든 함수의 그래프가 [math(x)]축에 한없이 가까워지므로 점근선은 [math(x)]축이다.

4. 미적분

미분: [math( \dfrac{d}{dx} a^{x} = a^{x} {\ln a})]

[math( \dfrac{d}{dx} a^{1 \over x} = -a^{1 \over x} {\ln a \over x^2} )]
[math(a < 0)]인 경우 : [math( \dfrac{d}{dx} a^{x} = a^{x} ({\ln |a| + i \pi}))]
[math( \dfrac{d}{dx} e^{x} =e^{x})]

[math( dfrac{d}{dx} e^{ix} = i cos x - sin x)]
[math(\dfrac{d}{dx} e^{-x^2} = -2x e^{-x^2})]

[math( \dfrac{d}{dx} i^{x} = {i \pi \over 2} \cos ({\pi x \over 2}) - {\pi \over 2} \sin ({\pi x \over 2}))]
[math( \dfrac{d}{dx} a^{\ln x} = {a^{\ln x} \ln a \over x})]
[math( \dfrac{d}{dx} x^{x} = x^{x}({1 + \ln x}))]

[math( \dfrac{d}{dx} x^{x^{x}} = x^{x^{x} + x - 1} (x (\ln x)^2 + x \ln x + 1))]
[math( \dfrac{d}{dx} x^{1 \over x} = x^{-2x +1 \over x}({-1 + \ln x}))]

적분 : [math( \displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C)]

[math( \displaystyle \int a^{1 \over x} dx)]는 초등함수로 표현할 수 없다.[11]
[math(a < 0)]인 경우 : [math( \displaystyle \int a^{x}dx = {a^{x} \over \ln |a| + i \pi} + C)]
[math( \displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C)]

[math( displaystyle int e^{ix} dx = sin x - i cos x + C)]
[math(\displaystyle \int e^{-x^2} dx)]는 초등함수로 표현할 수 없다.[12]

[math( \displaystyle \int i^{x} dx = {2 \over \pi} \sin ({\pi x \over 2}) - {2i \over \pi} \cos ({\pi x \over 2}) + C)]
[math( \displaystyle \int a^{\ln x}dx = {x a^{\ln x} \over \ln a + 1} + C)]
[math( \displaystyle \int x^{x} dx)], [math( \displaystyle \int x^{-x} dx)], [math( \displaystyle \int x^{1 \over x} dx)]는 초등함수로 표현할 수 없을뿐더러, 저 적분으로 정의되는 특수함수조차 없다.[13][14]

5. 등비수열

등비수열의 일반항은 [math(a_n=ar^{n-1})]이므로, 자연수만을 정의역으로 하는 지수함수로 볼 수 있다. 등비수열 참고.

6. 여담

밑에 상관없이 차수가 무한대로 발산한다.

어떤 현상이나 수치가 갑자기 늘어나는 양상[15]을 영어로는 exponential growth라고 한다. 이걸 직역하면 '지수(함수)적 성장'이다. 한국어로는 보통 '기하급수적'이라고 표현하는데 같은 의미.

대학 수준의 해석학이나 복소함수론에서[16] 지수 함수를 정의할 때에는, 밑이 [math(a)]인 지수함수를 먼저 정의하는 게 아니라 먼저 [math(e)]를 밑으로 하는 지수함수 [math(e^z = \exp z \left(z \in \mathbb{C}\right))][17]를 정의하고 그 다음에 밑이 [math(e)]가 아니라 [math(a)]인 경우를 정의하기도 한다.
[math(e^z = \exp z := \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots)][18]이라고 정의한 다음, [math(a^z)]을 [math(a^z = \exp\left(z \cdot \log{a}\right) = e ^ {z \cdot \log{a}})][19]로 정의하는 식.
또한 해당 정의를 행렬에 적용시킨 matrix exponential(행렬지수)이라는 것도 존재한다. 정사각행렬 [math(A)]에 대해 [math(e^A = \exp{A})]를 [math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{A^n}{n!}} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \frac{A^4}{4!} + \cdots)]라고 정의하는데, 마찬가지로 각 성분마다 값이 수렴하므로 존재성이 보장된다. 하지만 보통 계산은 저렇게 하지 않고, 적분변환이나 대각화, 삼각화를 이용하여 구하는 것이 일반적이다. 행렬지수는 주로 선형 연립미분방정식의 동차해를 구할 때 이용된다.

멱함수( 冪函數)는 생김새가 비슷하지만, 거듭제곱의 지수를 고정하고 밑을 변수로 하는 함수이므로, 밑을 고정하고 지수를 변수로 하는 지수함수와는 다르다.

7. 관련 문서

무한 지수 탑 함수

2학년의 꿈

[1] 일반적인 다항식과는 달리, 거듭제곱 자리에 정의역이 들어가기 때문. 다만 테일러 급수를 이용하면 무한차 다항식으로 표현이 가능하며, 특히 밑이 [math(e)]인 지수함수는 매클로린 급수가 매우 단순하게 생겼다. [2] [math(a)]가 0이면 정의역이 [math(x>0)]이 되고 치역이 [math(0)]뿐이다. [math(a)]가 0보다 작으면, 음의 정수일 때에만 함숫값이 실수이며 [math(a)]가 정수가 아닌 음의 실수라면 함숫값이 허수이므로, 공역이 실수 혹은 그의 부분집합이라면 그래프가 불연속적이다. [math(a<0)]의 경우 오일러의 등식을 이용해서 미분과 부정적분을 구할 수 있다. [3] 다만 이 두 함수가 복소수로 매개되어 있음을 보이기 위해서는 오일러 공식이 필요하다. [A] 그말인즉슨 y축 방향으로 평행이동을 시키지 않았을 경우 [5] 이 집합은 무한 지수 탑 함수 [math(y=-\dfrac{W(-\operatorname{Log}{x})}{{\operatorname{Log}{x} }})]가 실수 공역을 갖는 집합이기도 하다. [6] 얼핏 보면 쌍곡선인것 같지만 사실은 아니다. ~~그짓말~~ [7] 형태를 보면 알겠지만 확률 밀도 함수이다. 가우스 함수라고도 한다. [A] 그말인즉슨 y축 방향으로 평행이동을 시키지 않았을 경우 [9] 테트레이션을 이용하여 [math(y = x \uparrow\uparrow 2)] 로 표현할 수 있다. [10] [math(x^x)]에 자연로그를 취한 다음 로피탈의 정리로 풀면 된다. [11] 부정적분식이 [math( \displaystyle \int a^{1 \over x} dx = x a^{1 \over x} - \text{Ei}({\ln a \over x}) \ln a + C)]로, Ei는 지수 적분 함수라는 특수함수이다. [12] 적분식이 [math(\displaystyle \int e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{erf}(x) + C)]로, [math(\mathrm{erf}(x))]는 오차함수(Error Function)라는 특수함수이다. [13] 울프람 알파에서는 (no result found in terms of standard mathematical functions)라고 표시된다. 다만 특수함수는 누군가가 직접 만들면 되긴 한다. 외국 포럼에서도 [math(x^x)]의 적분이 어떻게 되는지 담론이 오가고 있다. [14] [math([0,1])] 구간에 한정해서 2학년의 꿈이 정의되어 있기는 하다. [15] 예를들면 과학의 발전속도가 이러한 양상을 띤다. [16] 딱히 복소함수론이 아니더라도 고등학교 이후의 수학에서는 지수함수 관련으로 e 이외의 수는 들러리 취급당한다. [17] 같은 표기를 왼쪽처럼 쓰기도 하고 오른쪽처럼 쓰기도 한다. 복소수에서의 지수함수라는 점을 강조하기 위해 우측 표기를 쓰는 경우가 있다. [18] 여기서 [math(n! = n \times \left(n-1\right) \times \left(n-2\right) \times \cdots \times 2 \times 1)]. 팩토리얼 문서 참고. [19] 여기에서의 log는 상용로그가 아니라 밑이 e인 자연로그를 말한다. 대한민국 고등학교에서 ln이라고 쓰던 바로 그것.