최근 수정 시각 : 2020-03-04 19:56:55

로피탈의 정리

1. 개요2. 내막3. 對 수능 결전 병기
3.1. 쓰면 안 되는 경우
4. 증명
4.1. xax\rightarrow a^{-} 일 때 00\displaystyle {0\over 0} 꼴인 경우4.2. xx\rightarrow \infty 일 때 00\displaystyle {0\over 0} 꼴인 경우4.3. xax\rightarrow a^{-} 일 때 \displaystyle {\infty\over \infty} 꼴인 경우
5. 그 외

1. 개요

두 함수 f\left(x\right) </math>와 g(x) g\left(x\right) 모두
1) c c 를 포함하는 열린 구간 I I 에서 연속이고 미분가능하며(단, 한 점 c c 에서만 미분가능하지 않거나 불연속이어도 상관없다.)
2) limxcf(x)=limxcg(x)=0 or ±\displaystyle \lim_{x \to c} f\left(x\right) = \lim_{x \to c} g\left(x\right) = 0 \text { or } \pm\infty 이고
3) limxcf(x)g(x)\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}가 존재하며
4) cc를 제외한 열린 구간 II의 모든 점 xx에서 g(x)0 g'\left(x\right) \ne 0 이면

limxcf(x)g(x)=limxcf(x)g(x)\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \lim_{x \to c} \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}이다.

영어: L'Hôpital's rule[1]
프랑스어: La règle de l'Hôpital / Théorème de l'Hôpital

간단히 말해 (몇가지 조건을 만족하는) 분수꼴의 극한값은 그 분자와 분모를 미분한 경우에도 같다는 정리.

2. 내막

사실 스위스의 유명한 수학자 가문인 베르누이 가문[2]의 요한 베르누이가 발견한 것인데, 이를 프랑스의 수학자 기욤 드 로피탈 (Guillaume de l'Hôpital) 이 자신의 책에 내놓아서 다른 사람 이름이 붙어 버린 것이다. 때문에 이 정리의 이름을 베르누이에게 돌려줘야 한다는 의견도 많다. 이렇게 된 이유는 로피탈이 요한 베르누이의 얼치기 제자로 친분이 있는 상태에서 아래와 같은 계약을 했기 때문. 비슷한 경우로 삼차방정식의 근의 공식이 있다. 방정식 문서 참조.
친애하는 요한에게 -

우리는 서로에게 필요한 존재인 것 같소.

나는 당신의 지적인 재능이 필요하고 당신은 나의 재정적 도움이 필요하지요, 그래서 이렇게 제안하오.

나는 올해 연금으로 300리브르를 지급하고, 당신이 내게 보낸 여러 잡지의 대가로 200리브르를 더 내겠소. 나는 당신의 모든 시간을 나에게 바치기를 바라는 것은 아니고, 어떤 의문이나 문제가 생길때마다 약간의 시간만을 내주기를 원하는 것이오,

나는 당신이 새롭게 발견한 사실들에 대하여는 다른 사람에게 알리지 말고 나에게만 알려주기를 바라겠소. 특히 당신이 나에게 보낸 내용의 복사본을 다른 사람에게는 보내지 말 것을 요구하오. 나는 그것들이 세상에 알려지는 것을 원치 않소.

이후 로피탈이 죽을 때까지 요한은 자신의 발견을 자신의 발견이라고 부를 수 없는 처지. 로피탈은 아주 자랑스럽게 책을 냈고, 이 정리로 명성을 얻었다. 책에 '그들의 발견을 자유롭게 사용하였으므로 무엇이든지 자신의 소유라고 주장하는 것은 다시 돌려줄 것이다'라는 포기선언이 있었지만... 실제로 요한은 로피탈이 책에 쓴 대로 자기가 이 정리를 발견했다고 날뛰며 로피탈을 남의 재능으로 돈벌이나 하는 놈이라며 신나게 씹었다. 요한은 이 일이 사무쳤는지 약 50년 후에 자신의 연구를 모아서 본인의 이름으로 책을 냈다.

3. 對 수능 결전 병기

하지만 이 공식은 대학생도 아닌 고등학생에게까지 아주 유명하다. 이유는 초급 미적분을 푸는데 데우스 엑스 마키나이기 때문. 학교대사전에는 대부분의 고교 수학을 분쇄할 수 있는 궁극병기로 소개되어 있다.

고등학교 참고서 중에서는 홍성대가 최초로 수학의 정석 시리즈에서 '교육과정 밖이지만 쓰면 유용한 도구'로 이 정리를 소개했고 최근에는 많은 참고서 내에서도 교과 내용 외라는 조건을 달아줘서 나오는 편. 심지어 개념중심 강의가 아닌 EBS 수능특강에서 조차 몇몇 선생님들이 '이거 알면 좋아요'라며 따로 적어줄 정도. 어떤 수학식을 발견하여 이를 배워야 하는 학생들에게 욕을 먹는 가우스 뉴턴, 라이프니츠(각각 가우스 기호와 미분) 등의 수학자들과는 달리, 로피탈은 이 정리 하나로 학생들에게 존경받고 있다. 그런데 그 학생들이 대학생이 되어 로피탈의 정리의 증명을 배우게 되면 로피탈을 욕하게 된다는 것이 아이러니.

객관식이나 단답형 주관식을 풀 때 매우 강력한 도구이다. 수능문제건 뭐건 로피탈을 썼을 때 더 쉽게 구할 수 있겠다 싶으면 바로 위아래 미분 때려버리자. 한 번 때렸는데 안 나오면 두 번, 세 번 때리자. 계속 때리면 결국 답이 나온다. 초월함수의 경우 식이 복잡해지므로 집중해서 때리자. 특히 문과(나형) 학생이라면 로피탈의 정리를 마음 놓고 사용할 수 있다. 문과에서는 이과에서처럼 자칫 로피탈을 썼다가 식이 어지럽게 꼬이는 문제는 나오지 않기 때문이다. 그리고 차수가 자연수인 경우의 미분법뿐만 아니라, 유리함수, 무리함수, 그리고 합성함수의 미분법도 알아 두는 것이 좋다. 단순 계산 문제는 그냥 풀 수 있고, 좀 더 난이도가 있는 문제도 훨씬 수월하게 풀 수 있는 경우가 많기 때문이다. 미분과 적분이 더럽게 많이 나오는 편입 수학에서도 필수요소. 수능 때와 달리 아무 생각도 하지 않고 로피탈 정리를 쓰면 된다. 게다가 이쪽은 로피탈의 정리를 정식으로 배우므로 마음대로 사용해도 문제 없다.

많은 수험생이 애용하고 있으며 대다수 수학교사들이 수업 중 적어도 한 번씩은 언급함에도 불구하고 로피탈의 정리는 교과과정에 속해 있지 않다. 왜냐하면 고교 수학 교과과정으로는 로피탈의 정리를 증명할 수 없기 때문이다. [3]

미국에서는 학교에서 로피탈을 가르쳐주는 데다 시험에서 쓰면 유용하다고 배우기까지 한다. 일단 대부분의 미적분 교과서에 짤막하게나마 나오는 내용이기도 하고 실제 AP과정에서 가르쳐 주기까지 하며 대놓고 출제범위에 들어가 있다! 이는 Calculus AB/BC 모두에 해당된다.

3.1. 쓰면 안 되는 경우

그러나 서술형이나 논술에서 풀이과정을 적을 때 로피탈의 정리를 쓰면 그 부분은 틀린 것으로 처리한다.[4] 이는 당연한 것이, 공식적으로 고등학교 과정에 없기 때문에 논술에서 이런 것을 기술이랍시고 사용했다간 존재하지도 않는 개념을 임의로 정리랍시고 제시하는 것과 다르지 않은 짓이다. 학교에서 교사들이 알려주게 되더라도 이러한 사항을 말해주는 것이 보통이다. 특히 논술을 노리고 있다면 로피탈을 쓰지 않고 문제를 해결하려는 연습이 많이 필요하다. 도저히 로피탈을 안 쓰고는 풀 수 없다면, 실제 증명까지 해야한다. 논술에서는 학생이 스스로 증명하는 경우에 한하여, 로피탈을 가지고 감점하지는 않는다.[5][6]

풀이과정을 증명할 필요가 없는 객관식 문제에서도 기계적으로 문제를 풀면 큰일나는 경우가 있다. 평가원에선 로피탈의 정리를 통해 문제를 푸는 것은 수능 시험이 본래 의도하는 바인 수험자의 수학적 이해능력, 사고력과 응용력의 측정이 아닌 그냥 단순한 계산뻘짓이 된단 걸 알고 있기 때문이다. 그래서 이과 쪽 수학문제들은 오히려 로피탈을 쓰면 꼬이는 문제가 많다. 공통적으로 일반 다항함수가 아닌 지수함수나 삼각함수, 로그함수들 중 둘 이상이 뒤섞인 문제들인데 이런 걸 정직하게 위아래 미분하고 앉아있으면 특성상 시간이 무지 많이 걸리게 되며 계산 실수가 나와서 틀리게 되는 경우가 많다. 특히 초월 함수 부분에서는 로피탈을 썼다가 피보는 상황이 꽤 많이 나온다. 삼각함수나 자연로그 같은 경우는 선형근사를 이용하여 푸는 게 훨씬 빠르다.

다음은 2010학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 가형 미적분 27번 문제이다. 27번 문항인데 단답형이 아닌 것은 2011학년도 이전의 수능이기 때문이다. 당시의 수리 영역[7]은 1번~25번 공통문항(단답형 18~25), 26번~30번 선택과목 문항(단답형 30)으로 구성되어 있었다.

파일:=_utf-8_B_QkNwYThWRS53NDgwLnBuZw==_=.jpg
limx0e1sinxe1tanxtanxsinx=limx0e(etanxesinxcos3x)sec3xsec2xcosx{\displaystyle \lim_{x\to0}}\frac{e^{1-\sin x}-e^{1-\tan x}}{\tan x-\sin x}={\displaystyle \lim_{x\to0}}\frac{e\left(e^{\tan x}-e^{\sin x}\cos^{3}x\right)\sec^{3}x}{\sec^{2}x-\cos x}
=limx0esinxtanx+1cos2x(etanxesinxsec6x+etanxtanxsecx+2esinxtanxsec4x)2tanxsec2x+sinx={\displaystyle \lim_{x\to0}}\frac{e^{-\sin x-\tan x+1}\cos^{2}x\left(e^{\tan x}-e^{\sin x}\sec^{6}x+e^{\tan x}\tan x\sec x+2e^{\sin x}\tan x\sec^{4}x\right)}{2\tan x\sec^{2}x+\sin x}

미분했을 때 나오는 식. 정답은 여기로. [보충설명1][보충설명2] [보충설명3]

위와 같은 문제는 주어진 식을 미분계수의 정의식이 나오도록 변형해서 푸는 문제가 많은데, 이 방법이 충분히 익숙해졌다면 실제로 이 방법으로 푸는 게 로피탈의 정리를 사용해서 푸는 것보다 더 편리한 것을 느낄 수 있다. 사실 이 문제는 평균값의 정리를 사용하면 15초도 되지 않고 간단하게 답이 4번임을 알 수 있다. 이 문제를 로피탈의 정리를 사용하겠다는 생각을 하면 안 된다.

삼각함수의 경우는 테일러 급수를 사용하는 편이 훨씬 쉽다. 저 문제의 경우에도 우선 분자의 e를 상수로 묶어내고 x가 0에 수렴할 때 sinx의 값과 tanx의 값도 0으로 수렴하므로 분자의 e^(-sinx)를 1-sinx로 두고, e^(-tanx)=1-tanx로 두면 분모와 분자가 똑같은 식이 된다. 약분하면 e*1의 꼴이 되어 정답은 e이다.

또다른 예시로는 영국 수리영역 2006년 6번 문제가 대표적인데 pp를 상수라 하고 nn을 변수로 놓을 때 p24ntan(π/n)\frac{p^{2}}{4n\tan\left(\pi/n\right)}p2π(2ntan(π/n))2\frac{p^{2}\pi}{\left(2n\tan\left(\pi/n\right)\right)^{2}}의 극한값을 구하는 문제였다. [정답과해설] 로피탈로 풀 수 있긴 하지만 시간이 많이 낭비됨을 알 수 있다. 정답은 둘 다 p24π\displaystyle \frac{p^2}{4\pi}. 급수전개하거나 삼각함수의 극한을 이용해서 바로 풀 수 있는 문제다. n을 1/n으로 바꾸고 1/n이 0으로 접근하게 하면 삼각함수의 극한의 정의를 이용해서 풀 수 있기 때문.

다른 풀이: f(x)= 1-x 로 놓고 미분계수의 정의를 이용해도 풀린다.


파일:로피탈1.png

또 다른 예로 로피탈 정리를 적용했더니 분자 분모가 서로 뒤바껴서 나오는 경우도 있다. 이걸 다시 로피탈 정리 적용하면 원래대로 돌아온다. 즉 로피탈 정리를 적용할때마다 분자와 분모 식이 서로 뒤바뀌면서 순환한다.


파일:로피탈2.png

겉보기엔 \displaystyle {\infty\over \infty} 이라 로피탈의 정리를 적용해도 될것 같지만 실제로 적용하면 1이 아닌 발산으로 나온다.

4. 증명

4.1. xax\rightarrow a^{-} 일 때 00\displaystyle {0\over 0} 꼴인 경우[12]

limxaf(x)=limxag(x)=0\displaystyle \lim_{x\to a-}f\left(x\right)=\lim_{x\to a-}g\left(x\right)=0이고, 함수 f,gf, g는 적당한 열린 구간 (ad,a)\left(a-d, a\right)에서 미분가능하며(d>0), 임의의 x(ad,a)x\in \left(a-d, a\right)에 대하여 g(x)0g'\left(x\right)\neq 0라고 하자. 또한 limxaf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L이 성립한다고 하자.

함수 f,gf^*, g^*를 구간 (ad,a)\left(a-d, a\right)에서는 각각 함숫값이 f,gf, g와 같고, 점 aa에서는 함숫값이 0이 되도록 정의한다. 그리고 xx가 구간 (ad,a)\left(a-d, a\right)의 원소라 할 때, 다음과 같은 t의 함수를 정의한다.
F(t)=f(x)g(t)g(x)f(t)F\left(t\right)=f\left(x\right)g^*\left(t\right)-g\left(x\right)f^*\left(t\right)
그러면 F(t)F\left(t\right)는 닫힌 구간 [x,a]\left[x, a\right]에서 연속이고, 열린 구간 (x,a)\left(x, a\right)에서 미분가능하며, F(x)=F(a)=0F\left(x\right)=F\left(a\right)=0이다. 따라서 롤의 정리에 의하여 F(c)=0F'\left(c\right)=0c(x,a)c\in \left(x, a\right)가 존재한다. 즉, f(x)g(c)g(x)f(c)=0f\left(x\right)g'\left(c\right)-g\left(x\right)f'\left(c\right)=0이 성립한다. 가정에 의하여 g(x)0,g(c)0g\left(x\right)\neq 0, g'\left(c\right)\neq 0이므로 다음이 성립함을 알 수 있다.
f(x)g(x)=f(c)g(c)\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}
한편, limxaf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L이므로 임의의 양수 ε\varepsilon에 대하여 양수 δ(ε)\delta\left(\varepsilon\right)이 존재하여 aδ(ε)<x<aa-\delta\left(\varepsilon\right)<x<a인 임의의 x(ad,a)x\in \left(a-d, a\right)에 대하여 f(x)g(x)L<ε\displaystyle \left|\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}-L\right|<\varepsilon이 성립한다. 그러면 x<c<ax<c<a이므로, aδ(ε)<x<aa-\delta\left(\varepsilon\right)<x<a인 임의의 x(ad,a)x\in \left(a-d, a\right)에 대하여 다음이 성립한다.
f(x)g(x)L=f(c)g(c)L<ε\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|=\left|\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}-L\right|<\varepsilon
따라서 limxaf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L이다.

4.2. xx\rightarrow \infty 일 때 00\displaystyle {0\over 0} 꼴인 경우

limxf(x)=limxg(x)=0\displaystyle \lim_{x\to \infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to \infty}g\left(x\right)=0이고, 함수 f,gf, g는 적당한 열린 구간 (b,)\left(b, \infty\right)에서 미분가능하며(b>0), 임의의 x(b,)x\in \left(b, \infty\right)에 대하여 g(x)0g'\left(x\right)\neq 0라고 하자. 또한 limxf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L이 성립한다고 하자.

함수 F,GF, G를 임의의 x(0,1b)\displaystyle x\in \left(0, \frac{1}{b}\right)에 대하여 다음과 같이 정의한다.
F(x)=f(1x),G(x)=g(1x)\displaystyle F\left(x\right)=f\left(\frac{1}{x}\right) , G\left(x\right)=g\left(\frac{1}{x}\right)
그러면 limx0+F(x)=limx0+G(x)=0\displaystyle \lim_{x\to 0+}F\left(x\right)=\lim_{x\to 0+}G\left(x\right)=0이고, 함수 F,GF, G는 열린 구간 (0,1b)\displaystyle \left(0, \frac{1}{b}\right)에서 미분가능하며, 임의의 x(0,1b)\displaystyle x\in \left(0, \frac{1}{b}\right)에 대하여 G(x)0G'\left(x\right)\neq 0이다. 또한 limx0+F(x)G(x)=L\displaystyle \lim_{x\to 0+}\frac{F'\left(x\right)}{G'\left(x\right)}=L이 성립한다. 따라서 1.에서 증명한 사실을 이용하면 다음이 성립함을 알 수 있다.
limx0+F(x)G(x)=L\displaystyle \lim_{x\to 0+}\frac{F\left(x\right)}{G\left(x\right)}=L
따라서 limxf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L이다.

4.3. xax\rightarrow a^{-} 일 때 \displaystyle {\infty\over \infty} 꼴인 경우

limxaf(x)=limxag(x)=\displaystyle \lim_{x\to a-}f\left(x\right)=\lim_{x\to a-}g\left(x\right)=\infty이고, 함수 f,gf, g는 적당한 열린 구간 (ad,a)\left(a-d, a\right)에서 미분가능하며(d>0), 임의의 x(ad,a)x\in \left(a-d, a\right)에 대하여 g(x)0g'\left(x\right)\neq 0라고 하자. 또한 limxaf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L이 성립한다고 하자.

열린 구간 (ad,a)\left(a-d, a\right)에서 y<xy<x인 두 실수 x,yx, y를 임의로 택한다. 그러면 코시의 평균값 정리에 의해 f(x)f(y)g(x)g(y)=f(c)g(c)\displaystyle {f\left(x\right)-f\left(y\right)\over g\left(x\right)-g\left(y\right)}=\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}를 만족하는 c(y,x)c\in \left(y, x\right)가 존재한다.

엡실론-델타 논법을 위해 먼저 임의로 양수 ε\varepsilon을 잡자. 그리고 0<ε1<ε0<\varepsilon _1<\varepsilon을 만족하는 ε1\varepsilon _1을 임의로 택한다. 그러면 limxaf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L이므로, aδ1<x<aa-\delta_1<x<a인 임의의 x(ad,a)x\in \left(a-d, a\right)에 대하여 f(x)g(x)L<ε1\displaystyle \left|\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}-L\right|<\varepsilon_1이 성립하는 양수 δ1\delta_1이 존재한다.

한편, f(x)g(x)=f(c)g(c)+1g(x){f(y)g(y)f(c)g(c)}\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}+\frac{1}{g\left(x\right)}\left\{f\left(y\right)-g\left(y\right)\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\right\}이므로 f(x)g(x)Lf(c)g(c)L+1g(x)f(y)g(y)f(c)g(c)\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|\leq \left|\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}-L\right|+\frac{1}{\left|g\left(x\right)\right|}\left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\right|이다. 여기서 yyaδ1a-\delta_1보다 큰 값으로 고정하자. 그러면 aδ1<y<c<x<aa-\delta_1<y<c<x<a이므로 다음이 성립한다.
f(x)g(x)Lε1+1g(x)f(y)g(y)f(c)g(c)\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|\leq \varepsilon_1+\frac{1}{\left|g\left(x\right)\right|}\left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\right|
yy값이 고정되었기 때문에 f(y),g(y)\displaystyle f\left(y\right), g\left(y\right)는 상수이다. 또한 limxaf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L이고, 임의의 x(ad,a)x\in \left(a-d, a\right)에 대하여 g(x)0g'\left(x\right)\neq 0이므로 xx가 구간 (y,a)\left(y, a\right)에서 임의로 값을 취할 때 f(c)g(c)\displaystyle \frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}는 유계이다. 따라서 xx의 범위가 (y,a)\left(y, a\right)일 때 f(y)g(y)f(c)g(c)\displaystyle \left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\right|는 유계이다. 이때 그 상계 중 하나를 임의로 골라 MM이라 하자(M>0). 그러면 다음이 성립함을 알 수 있다.
f(x)g(x)Lε1+Mg(x)\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|\leq \varepsilon_1+\frac{M}{\left|g\left(x\right)\right|}
R=Mεε1\displaystyle R=\frac{M}{\varepsilon-\varepsilon_1}이라 놓자. 그러면 limxag(x)=\displaystyle \lim_{x\to a-}g\left(x\right)=\infty이므로 aδR<x<aa-\delta_R<x<a인 임의의 x(ad,a)x\in \left(a-d, a\right)에 대하여 g(x)>R\displaystyle g\left(x\right)>R이 성립하는 양수 δR\delta_R이 존재한다. 그러므로 aδR<x<aa-\delta_R<x<a일 때 다음이 성립한다.
f(x)g(x)L<ε\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|< \varepsilon
이제 δ=min(δ1,δR)\delta=\min\left(\delta_1, \delta_R\right)라 놓으면 aδ<x<aa-\delta<x<a인 임의의 x(ad,a)x\in \left(a-d, a\right)에 대하여 f(x)g(x)L<ε\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|< \varepsilon이다. 따라서 limxaf(x)g(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L이다.

5. 그 외

만약 평소에 로피탈의 정리를 사용하고 있었고, 자신의 수학성적이 상위권이라면 테일러 급수 쪽을 배우는 것도 추천한다. 로피탈보다 정확한 답을 낼 가능성이 높긴 하지만 계속 쓰다간 로피탈을 쓸 때처럼 수학적 감각을 잃을 가능성이 있으니 항상 주의해야한다.
Indeterminate forms - L'Hospital's rule
18.01 Single Variable Calculus,[13] Fall 2006 (Fall 2007)
데이비드 제리슨 교수 - MIT 수학과
진짜로 진지하게 로피탈의 정리를 공부하고 싶은 분들을 위하여... 증명을 하지는 않지만(18:35 부분 참조), 로피탈의 정리를 쓸 때 주의사항이나 조건(38:28 참조), 로피탈의 정리를 쓰기 전엔 주의해야 하며(45:37)[14] 너무 맹신하지 말라는(46:37) 내용을 담고 있다.

수열버전으로 슈톨츠-체사로정리(Stolz-Cesaro Theorem)가 있다. 로피탈의 정리의 이산적인 형태[15].
각 항이 유리수인 수열 (an)n1,(bn)n1\left(a_n\right)_{n\geq1}, \left(b_n\right)_{n\geq1}을 생각하자. (bn)n1\left(b_n\right)_{n\geq1}이 단조증가 혹은 단조감소하며 발산할 때, 다음이 성립한다.

limnan+1anbn+1bn=L\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L 이면 limnanbn=L\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=L

[1] L'Hôpital 대신 L'Hospital이라고 쓰기도 한다. 로피탈 본인도 생전에 자기 이름을 l'Hospital로 적었다. 그러나 18세기에 프랑스어 철자법이 개정되면서 한 단어 안에서 모음과 자음 사이의 s가 묵음이 된 경우 그 s를 없애고 바로 앞 모음 글자에 circonflexe(ˆ)를 추가하게 되었고, 이에 따라 l'Hospital은 l'Hôpital이 되었다. 이러한 이유로 영어권에서는 현대 프랑스어 철자법에 따른 L'Hôpital과 로피탈 본인이 생전에 사용했던 철자 L'Hospital이 혼용되고 있다. 프랑스어 hôpital은 영어 hospital과 뜻도 어원도 같다. l'은 관사이므로 l'Hôpital을 굳이 영어로 번역하자면 the Hospital이 된다. [2] 수학과 과학분야에서 베르누이란 이름이 많이 나오는데 동일 인물인 경우도 있으나 대개 성만 같고 다른 사람이다. 유체역학의 베르누이도 이 가문. 당시에 라이프니츠를 도와 미적분학의 기초를 만들었다. [3] 수학의 정석 미적분 II 실력편에서 증명을 간단하게 서술한 것이 있다. 방법은 롤의 정리를 이용해서 코시의 정리를 증명하고, 다시 코시의 정리를 이용해 로피탈의 정리를 증명하는 식으로 되어있다. [4] 다만 내신의 경우 교사 재량에 따라 봐주는 경우도 있다. 이유는 상술했듯이 이론적으로는 고등학교 교육과정 내에서 유도가 가능하기 때문. [5] 물론 원칙적으로 그렇다는 것일 뿐, 실제로 시간이 빡빡한 시험 도중에 고작 계산과정 한 스텝 진행하기 편하자고 저 긴 증명과정을 외워가서 쓰는 것은 현실성이 없다. [6] 다만 지문에 로피탈이 등장하는 경우 당연히 사용할 수 있다. 애초에 수학 논술에서 지문은 수험생이 올바른 방향으로 풀이하도록 도와주는 역할이다. [7] 2014학년도 수능부터 수학 영역으로 변경 [보충설명1] 사실 평균값 정리를 쓰면 바로 e^(1-x)에서 x=0일 때 기울기에 -1을 곱한 것임을 알 수 있다. 그래서 답은 4번 e이다. [보충설명2] 또는 분모가 (1-sinx)-(1-tanx)임을 파악했다면 y=e^x + C(C는 어떤 상수)의 x=1에서의 기울기가 답임을 알 수도 있다. 처음에 알아채기는 쉽지 않지만 이 편이 분모의 부호를 고려할 필요가 없어 훨씬 깔끔하다. [보충설명3] 사실 이 녀석은 로피탈을 3번 먹여야 정상적인 답이 나올 수 있다. 로피탈을 3번 먹인 후 0으로 보내버리면 분모는 3, 분자는 3e로 가므로 답은 e이다. 다만 분모분자의 삼계도함수는 다음과 같다..(...) 분자식의 삼계도함수 분모식의 삼계도함수 [정답과해설] 첫 번째 문제 limnp24ntan(πn)\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{p^{2}}{4n\tan\left ( \frac{\pi}{n} \right )}을 구해 보면 일단 상수를 밖으로 내보내면 p24limn1ntan(πn)\displaystyle \frac{p^{2}}{4}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n\tan\left (\frac{\pi}{n} \right )}가 된다. 이제 πn=t\displaystyle \frac{\pi}{n}=t로 치환하면 nt=π\displaystyle nt=\pi가 된다.그리고 n,t0\displaystyle n\rightarrow \infty,t\rightarrow 0이므로,p24limt01πttan(t)\displaystyle \frac{p^{2}}{4}\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\pi}{t}\tan\left ( t \right )}이렇게 된다. 역시 이제 극한식에서 분모와 분자에 각각 tt를 곱해주면 p24limt0tπtan(t)\displaystyle \frac{p^{2}}{4}\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\pi\tan\left ( t \right )}가 된다.상수 π\displaystyle \pi를 즉시 극한식 밖으로 빼내주자. 그러면 p24πlimt0ttan(t)\displaystyle \frac{p^{2}}{4\pi}\lim_{t\rightarrow0}\frac{t}{\tan\left ( t \right )}가 된다.이제 이 시점에서 로피탈의 정리를 적용하면 p24πlimt01(sect)2\displaystyle \frac{p^{2}}{4\pi}\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\left ( \sec t \right )^2}이게 된다. 각각 대입하면 11\displaystyle \frac{1}{1}이므로 답은 p24π\displaystyle \frac{p^{2}}{4\pi}이다. [12] xa+x\rightarrow a^{+} 일 때는 거의 같은 방법으로 증명가능하고, xax\rightarrow a 일 때는 두 증명을 합치면 된다. [13] 일변수 함수의 미적분으로, 한국 고등학교 수학Ⅱ, 미적분Ⅰ 수준. MIT가 아무리 명문대라 한들 한국 고교수학과 미국 고교수학은 커리큘럼상 진도 차이가 상당하므로(하지만, 미국의 상위권 학생들은 한국의 상위권 학생들과 비교도 되지 않을만큼 고등학교에서 고등수학을 심도 있게 다루고 졸업을 한다. 이를테면 미분방정식이나 선형대수학, 다변수 미적분학, 복소해석 등) 일변수 미적분 정도는 영어 용어와 강의를 알아들을 수 있는 수준을 갖췄다면 고교수학 수준으로도 충분히 도전할 수 있다. 물론 수능에는 매우 큰 도움이 된다 [14] Look before you l'hop라고 개그를 친다. 원본은 물론 Look before you leap. [15] 수열은 곧 정의역이 자연수인 함수로 생각할 수 있다.