1. 개요
Wallis product월리스 곱은 영국의 성직자이자 수학자인 존 월리스(John Wallis)가 1656년에 정립한 식으로, 다음과 같다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\prod_{n=1}^\infty \frac{4n^2}{4n^2-1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{2\times2}{1\times3} \times \frac{4\times4}{3\times5} \times \cdots \times \frac{2n\times2n}{(2n-1)\times(2n+1)} \\ &= \frac\pi2 \end{aligned} )] |
2. 증명
사인 함수의 무한곱 표현[1]으로부터 시작한다.|
[math(\displaystyle
\sin(\pi z) = \pi z \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac{z^2}{n^2} \biggr) )] |
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[math(\displaystyle
\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac{z^2}{n^2} \biggr) )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \frac2\pi &= \prod_{n=1}^\infty \biggl( 1 -\frac1{4n^2} \biggr) \\ &= \prod_{n=1}^\infty \biggl( \frac{4n^2-1}{4n^2} \biggr) \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle
\frac\pi2 = \prod_{n=1}^\infty \biggl( \frac{4n^2}{4n^2-1} \biggr) )] |
[1]
바이어슈트라스 분해 정리로부터 유도된다.