1. 개요
그린 정리(Green's theorem)는 단순한 평면 영역의 매끄러운(piecewise smooth) 폐곡선에서 경계선인 선적분은 이를 분할한 경계선들에서 이중 적분으로 바꾸어 표현해도 서로 같다는 정리이다. 이것은 '곡면의 모양과는 상관없이 분할된 곡면과 곡면 내부의 벡터의 회전(curl)은 결국 곡면의 테두리에 의해서만 결정된다'는 스토크스 정리의 2차원(2D) 표현으로도 이해해 볼수있는데 이것은 이들의 공통된 맥락이 시계반대방향으로 선적분 할 때 테두리 또는 안쪽 분할선에서 서로 뒤바뀐 부호를 얻게 되기 때문이다. 이것은 회전연산자 컬(curl) 기호로는 [math(\nabla \times)] 또는 [math( curl() )] 과 주요한 관련이 있다.|
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2. 공식과 조건
2차원에서 회전정리로 적용되는 그린 정리[나][math( \displaystyle \oint_{\partial A} (X\,{\rm d}x + Y\,{\rm d}y) = \iint_A \biggl( \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \biggr) {\rm d}S )]
한편
[math( \displaystyle \oint_{C} (X\,{\rm d}x + Y\,{\rm d}y) = \displaystyle \oint_{\partial A} (X\,{\rm d}x + Y\,{\rm d}y) )]
분할된 테두리에서 경계선[math( {C} )]는 편미분 [math( {\partial A} )]에 해당한다. 따라서 끊김이 없어야 한다는 조건이 전제된다. 이러한 조건들의 예는 다음과 같다.
1. 끊김이 없거나 빠진 지점이 없는 단순한 폐곡선은 시계 반대방향으로 선적분 할 때 분할된 경계선에서 서로 뒤바뀐 부호를 얻도록 보장한다.[2][가]
2. 고리모양(annulus)같은 뚫린 구멍 영역(area)이 있는 평면 영역이 안쪽 분할선에서 서로 뒤바뀐 부호를 얻도록 역시 보장한다면 따라서 그린 정리를 불안정하지 않게 확장해서 사용할수있다. [가]
3. 역사
영국의 수학자 조지 그린(George Green)이 1828년 그의 저서 <An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism>(직역:전기 및 자기 이론에 대한 수학적 분석의 적용에 관한 에세이)[5]에서 이와 관련된 주요한 그린 함수(Green function)를 설명하였다.[6] 이후 1846년에 경계조건(boundary condition)을 다루는 그린함수(Green function를 기반으로하는 지금의 그린 정리(Green theorem)에 해당하는 내용을 오귀스탱루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)가 '적분 계산-폐곡선의 모든 점으로 확장되는 적분'(calcul INTÉGRAL -Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée)이라는 제목으로 실린 아카데미 저널 발표자료에서 구체적으로 이를 구현해서 사용한바있다. [나]이러한 그린정리는 역사적으로 1813년을 전후한 가우스 정리로 알려진 발산 정리를 시작으로 출발했으며 1861년 헤르만 한켈(Hermann Hankel)이 이를 스토크스 정리를 증명하는데 사용했다고 보고하고있다. 윌리엄 로원 해밀턴(William Rowan Hamilton)에 의해 행렬에서 발산(divergence),회전(curl)이 추가로 정립되고 증명되었다. [8][9]
3.1. 헤르만 한켈의 그린정리
1861년 헤르만 한켈(Hermann Hankel) 표현식[math( \displaystyle \int \xi dx + \eta dy = \iint \left( \frac{d \xi}{d y} - \frac{d \eta}{dx} \right) dxdy )]
3.2. 오귀스탱루이 코시의 사용 예
편미분 [math( D )]에서 오귀스탱루이 코시의 사용 예 [나]
[math( k = X D_s x + Y D_s y )]
[math( \int k ds = \pm \iint (D_y X - D_x Y)dxdy )]
일관된 시계반대방향(counterclockwise)으로의 선적분은 분할된 경계선(boundary)에서 서로 뒤바뀐 부호를 얻도록 보장(guarantee)하지만 그 반대방향인 시계방향(clockwise) 역시 성립한다. 오귀스탱루이 코시의 사용 예에서처럼 이러한 시계반대방향(counterclockwise)뿐만아니라 그 역 또한 성립가능함을 표현하기 위해 [math( \int k ds = \pm \iint (D_y X - D_x Y)dxdy )]에서 처럼 [math( \pm )] 부호 기호를 표기해 둔바있다.[math( k = X D_s x + Y D_s y )]
[math( \int k ds = \pm \iint (D_y X - D_x Y)dxdy )]
3.2.1. 공식의 전개
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[math( = \left( \int X(x,y)dx \right) + \left( \int Y(x,y)dy \right) )]
[math( = \left( \int_{x_1}^{x_2} X ( x,y_{\overline{y_a y_b}}) dx + \int_{x_2}^{x_1} X ( x,y_{\overline{y_b y_a}}) dx \right) + \left( \int_{y_2}^{y_1} Y( x_{\overline{x_a x_b}},y) dy + \int_{y_1}^{y_2} Y( x_{\overline{x_b x_a}},y) dy \right) )]
[math( = \left( \int_{x_1}^{x_2} X ( x,y_{\overline{y_a y_b}}) dx - \int_{x_1}^{x_2} X ( x,y_{\overline{y_b y_a}}) dx \right) + \left( -\int_{y_1}^{y_2} Y( x_{\overline{x_a x_b}},y) dy + \int_{y_1}^{y_2} Y( x_{\overline{x_b x_a}},y) dy \right) )]
[math( = \left( \int_{x_1}^{x_2} X ( x,y_{\overline{y_a y_b}}) dx - \int_{x_1}^{x_2} X ( x,y_{\overline{y_b y_a}}) dx \right) + \left( \int_{y_1}^{y_2} Y( x_{\overline{x_b x_a}},y) dy -\int_{y_1}^{y_2} Y( x_{\overline{x_a x_b}},y) dy \right) )]
[math( = \left( \int_{x_1}^{x_2} \left( X ( x,y_{\overline{y_a y_b}}) - X ( x,y_{\overline{y_b y_a}}) \right) dx \right) + \left( \int_{y_1}^{y_2} \left( Y( x_{\overline{x_b x_a}},y) - Y( x_{\overline{x_a x_b}},y) \right) dy \right) )]
[math( = \left( \int_{x_1}^{x_2} \left( \left. X ( x,y) \right|_{y=\overline{y_b y_a}}^{y=\overline{y_a y_b}} \right) dx \right) + \left( \int_{y_1}^{y_2} \left( \left. Y ( x,y) \right|_{x=\overline{x_a x_b}}^{x=\overline{x_b x_a}} \right) dy \right) )]
[math( = \left( \int_{x_1}^{x_2} \int_{\overline{y_b y_a}}^{\overline{y_a y_b}} {\dfrac{\partial X(x,y)}{\partial y}}dy dx \right) + \left( \int_{y_1}^{y_2} \int_{\overline{x_a x_b}}^{\overline{x_b x_a}} {\dfrac{\partial Y(x,y)}{\partial x}}dx dy \right) )]
[math( = \left( \int_{x_1}^{x_2} - \int_{\overline{y_a y_b}}^{\overline{y_b y_a}} {\dfrac{\partial X(x,y)}{\partial y}}dy dx \right) + \left( \int_{y_1}^{y_2} \int_{\overline{x_a x_b}}^{\overline{x_b x_a}} {\dfrac{\partial Y(x,y)}{\partial x}}dx dy \right) )]
[math( = \left( -\iint_{}{\dfrac{\partial X}{\partial y}}dy dx \right) + \left( \iint_{} {\dfrac{\partial Y}{\partial x}}dx dy \right) )]
[math( = \left( \iint_{} {\dfrac{\partial Y}{\partial x}}dx dy \right) + \left( -\iint_{}{\dfrac{\partial X}{\partial y}}dy dx \right) )]
[math( = \iint_{} {\dfrac{\partial Y}{\partial x}}dxdy -\iint_{}{\dfrac{\partial X}{\partial y}}dydx )]
[math( = \iint_{} \left( {\dfrac{\partial Y}{\partial x}} -{\dfrac{\partial X}{\partial y}} \right)dxdy )]
[math( = \iint_{A} \left( {\dfrac{\partial Y}{\partial x}} -{\dfrac{\partial X}{\partial y}} \right)dS )]
4. 복소해석학에서의 그린 정리
일변수 복소해석학에서는 폐곡선으로 둘러싸인 복소선적분에서도 그린 정리를 사용할 수 있다.| [math(z=x+iy)]라고 두자. |
이제 닫힌 폐곡선 [math(C)] 위에서의 복소 선적분을 생각하자.
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[math(\displaystyle \oint_{C}f(z)dz=\oint_{C}f(x+iy)(dx+idy)=\oint_{C}\left(P(x,y)+i Q(x,y)\right)(dx+idy))] 분배법칙으로 풀어준 뒤 허수부와 실수부를 분리하면 다음과 같다. [math(\displaystyle \left\{\oint_{C}P(x,y)dx-Q(x,y)dy\right\}+i\left\{\oint_{C}Q(x,y)dx+P(x,y)dy\right\})] |
| [math(\displaystyle \oint_{C}P(x,y)dx-Q(x,y)dy=-\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy)] |
| [math(\displaystyle \oint_{C}Q(x,y)dx+P(x,y)dy=\iint_{R}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy)] |
따라서 총 정리 결과는 다음과 같다.
| [math(\displaystyle \oint_{C}P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i\oint_{C}Q(x,y)dx+P(x,y)dy\\=-\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy)] |
만약 중적분범위 [math(R)]이 폐곡선 [math(C)]로 둘러싸인 특이점이 없는 완전 유계폐집합이라면 이 계산값은 자연스럽게 다음과 같이 계산된다.[12]
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[math(\displaystyle -\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy)] 여기서 [math(f(z))]가 영역 [math(C)] 내부에서 미분 가능한 해석함수이므로 코시-리만 방정식을 적용하면 [math(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial x})]이므로 [math(\displaystyle -\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy+i\iint_{R}\left(\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy=0+0=0)] |
따라서 해석적 함수를 단순 폐곡선을 따라 적분하게 되면 그 계산값은 0이 되며, 0이 아니라면 해당 범위가 유계집합이 아닌, 특이점이 존재한다라는 결과가 도출된다.
5. 관련 문서
[나]
COMPTE RENDU DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. SÉANCE DU LUNDI 6 JUILLET 1846- 적분 계산(calcul INTÉGRAL P252~255)Augustin Cauchy ,Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée, P253
https://archive.org/details/ComptesRendusAcademieDesSciences0023/page/n256/mode/1up?view=theater
[2]
Taylor, A.E. and W.R. Mann, Advanced Calculus, New York: John Wiley & Sons,1955 1972 1983 Third Edition, §15.31 COMMENTS ON THE PROOF OF GREEN’S THEOREM , P463
https://archive.org/stream/AdvancedCalculusTaylor1/Advanced%20Calculus%20-%20Taylor%5B1%5D_djvu.txt
[가]
Vector Calculus, Michael Corral (Schoolcraft College) PDF LastEedition 2022(original 2008) GNU GFDL,(P153)4.3 Green’s Theorem
https://www.mecmath.net/
[가]
[5]
구글북스 An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism. Printed for the author, by T. Wheelhouse. 1828 (72 pages)
https://books.google.co.kr/books/about/An_Essay_on_the_Application_of_Mathemati.html?id=GwYXAAAAYAAJ&redir_esc=y
[6]
구글북스 An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism. Printed for the author, by T. Wheelhouse. 1828 (P7)GENERAL PRELIMINARY RESULTS
https://books.google.co.kr/books?id=GwYXAAAAYAAJ&pg=PA10&redir_esc=y
[나]
[8]
The History of Stokes' Theorem,Author(s): Victor J. Katz,Source:Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 146-156, Published by: Mathematical Association of America,Stable URL: http://www.jstor.org/stable/2690275 Accessed: 09-01-2017 23:04 UTC
https://sites.math.washington.edu/~morrow/335_17/history%20of%20stokes%20thm.pdf
[9]
Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten, Preisschrift(공)저: Hermann Hankel §7 ,P34
https://books.google.co.kr/books/about/Zur_allgemeinen_Theorie_der_Bewegung_der.html?id=lHjRWuyMBSUC&redir_esc=y
[나]
[11]
단, [math(P(x,y), Q(x,y))]는 [math(C^{1})] 함수. 즉 연속된 1계 편미분을 가지는 함수여야 한다.
[12]
사실 그린 정리를 적용하기 위해서는 내부의 모든 점에서 1계 편미분이 가능하며, 그 결과물은 연속함수여야 한다라는 조건이 필요하기 때문에 항상 만족하는 조건이므로 따로 제시할 필요 자체가 없다.