1. 개요
微 分 形 式・ differential form일변수 및 다변수 미적분학에서 쓰이는 개념으로, 고전적인 ' 무한소'의 개념을 엄밀히 하고 다차원으로 확장했다고 볼 수 있다.
보통 다변수 미적분학을 어느 정도 배우고 나서야 학습하게 되지만, 그 실체는 고등학교에서 미적분을 배울 때부터 숨어 있었다고도 볼 수 있다. 이는 미분형식이 '적분할 수 있는 무언가'의 개념을 모두 포괄해 설명할 수 있기 때문이다. 즉 일변수함수 적분에 나오는 [math(\mathrm{d}x)], 다변수함수의 기울기 [math(\mathrm{d}f)], 다중적분에서 나오는 [math(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y)], 심지어는 물리학 등에서 쓰는 넓이/부피요소 [math(\mathrm{d}A)], [math(\mathrm{d}V)]까지도 모조리 미분형식이라는 이름으로 대통합할 수 있다고 보면 된다. 결정적으로, 3차원의 벡터장과 엮이는 델의 삼신기인 경사(gradient)/ 회전(curl)/ 발산(divergence)을 가장 일반적이면서도 우아하게 설명할 수 있는 게 바로 이 미분형식이다.
물론 이 정도의 파워를 갖고 있는 만큼 이해하는 게 쉽지만은 않아서, 델에 어느 정도 익숙해지고 [math(n)]차원 미분다양체를 이해할 수 있을 시점에야 배우는 것이 보통이다. 이 풀버전을 배우지 않을 사람들은 바로 아래 '예시' 항목을 보면서 대충 이렇게 생겼을 것이라고 유추해보자.
미분형식의 일반적인 정의를 간단히 말하면 미분다양체의 각각의 접평면에 부여된 매끄러운(smooth) [math((0,\,k))]- 교대 텐서 (즉, 선형사상 [math(\wedge^k T_p M \rightarrow \mathbb{R})])라고 할 수 있다. 자세한 정의는 하단에 서술한다. 미분기하학 및 층(sheaf)의 개념에 익숙한 숙련자들은 접평면의 다발의 쌍대공간인 공변접다발(cotangent bundle) [math(T^{*}M)]의 외대수(exterior algebra) 혹은 교대 대수(alternating algebra)를 미분형식의 층으로(즉, 이 층의 단면(section)이 미분형식이 된다.) 간주하기도 한다. [math(k)]차 및 전체 미분형식의 모음(혹은 층)을 각각 [math(\Omega^k(M))], [math(\Omega(M))]으로 쓰고, 개별 미분형식은 주로 [math(\omega)], [math(\eta)] 등의 기호를 쓴다.
2. 예시
2.1. 무한소
구분구적법을 통해 적분을 정의할 때는 다음과 같이 분할에 대한 리만합을 미세한 합으로 극한을 보내는 방식을 썼다.[math(\displaystyle \sum f(x) \,\Delta x \rightarrow \int f(x)\,\mathrm{d}x )]
여기서 [math(\Delta x)]는 분할된 각각의 직사각형의 너비였지만 [math(\mathrm{d}x)]의 실체는 무엇인가에 대해 의문을 품을 수 있다. 특히나 다음의 치환적분을 [math(x = g(y))]로 한다고 했을 때
[math(\displaystyle \int f(x)\,\mathrm{d}x = \int f(g(y))\,\mathrm{d}g(y) = \int f(g(y))\,g'(y)\,\mathrm{d}y )]
위의 분할과 이를 연관지으려면 그 의미가 분명하지 않다. 현대의 미분형식 관점에서는 이 '무한소'의 개념을 개별 길이가 아니라, 일종의 비율의 개념으로 설명해 이해할 수 있었다. 즉, [math(\mathrm{d}x)]란 걸 미세 길이 자체가 아니라, (분할한 구간):(구간에서 [math(x)]의 변화량)의 비율로 이해하는 것이다. 이렇게 생각하면 [math(x)]를 기준으로 분할하건 [math(y)]를 기준으로 분할하건, [math(\mathrm{d}x)]는 변수에 상관없는 고정된 의미를 갖는 물리량이다. 또한 [math(\mathrm{d}x)]가 [math(g'(y)\,\mathrm{d}y)]로 대체되는 과정도, [math(x)]의 변화율과 [math(y)]의 변화율의 비율이 [math(g'(y))]여서 그렇다고 생각할 수 있는 것이다.
즉, 각 점 [math(p)]에 대해 [math(\mathrm{d}x(p))]는 [math(p)] 근방에서 (구간의 길이):([math(x)]의 변화량)의 극한비율로 정의할 수 있다. 1-형식의 가장 원초적 정의인 것.
박부성 교수(경남대학교)의 다음 글도 참고하면 좋다. 사실 미분 입장에서 설명한 저 글이 보다 근본적이라고 볼 수 있다.
2.2. 전미분
다변수 미적분학을 배울 때 간혹 편미분과 더불어 함수의 '전미분'(全微分, total derivative)이란 대상을 다음과 같은 미분(differential)으로 정의할 때가 있다.[math(\displaystyle \mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}\,\mathrm{d}x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\,\mathrm{d}x_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,\mathrm{d}x_n )]
여기서의 [math(\mathrm{d}x_i)]의 정체도 사실 위와 비슷하게 [math(x_i)]의 변화량의 비율의 일종이다. 이 경우에는 한 점에서 뻗어나갈 수 있는 방향이 [math(n)]차원이어서, [math(\mathrm{d}x_i)]는 [math(n)]차원 벡터를 숫자에 대응시키는 선형함수, 즉 코벡터(covector)[1]로 봐야 한다. 일반적으로 [math(\mathrm{d}f)]도 이와 동일하게, [math(v)] 방향에 대해 [math(f)]의 변화량의 비율을 주는, 즉 방향미분으로 정의될 수 있다.
[math(\displaystyle \mathrm{d}f|_{p}(v) = D_v f (p) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(p + vh) - f(p)}{h} )]
이렇게 보면 [math(\mathrm{d}x_i)]도 [math(f=x_i)]인 경우인 것이고, 이 전미분도 좌표계에 의존하지 않는 고유한 양이 된다는 것을 관찰할 수 있다. 이것도 각 점에서 벡터를 집어넣었을 때 실수가 나오는 1-형식이다.
쉽게 말하자면 전미분은 변수의 작은 변화에 따른 다변 함수의 변화량을 뜻하는 것이다.
2.3. 중적분에서의 면적소
중적분에서 나오는 [math(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y)]에서 각각의 [math(\mathrm{d}x)], [math(\mathrm{d}y)]도 위와 비슷하게 생각할 수 있다. 하지만, 다변수의 치환적분인 야코비안[math(\displaystyle \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = \left| \begin{matrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial u}{\partial y} & \dfrac{\partial v}{\partial y} \end{matrix} \right| \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y )]
는 얼핏 보면 위에 기껏 증명한
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{d}u &= \frac{\partial u}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y}\,\mathrm{d}y \\
\mathrm{d}v &= \frac{\partial v}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial v}{\partial y}\,\mathrm{d}y
\end{aligned} )]
등과 전혀 맞지 않는 것으로 보인다. 이는 [math(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y)]가 단순한 곱으로 연결되어 있지 않기 때문이다. 당장은 매우 뜬금없지만, 만약에 [math(\mathrm{d}x)]와 [math(\mathrm{d}y)] 사이에 사실 쐐기(wedge)라는 기호 [math(\wedge)]가 있었고, 다음을 만족했다고 생각해보자. (나머지 함수의 곱에 대해선 분배법칙으로 작용한다.)
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x &= \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}y = 0 \\
-\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x &= \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y
\end{aligned} )]
이걸 가정하면 야코비안 변환식을 다음처럼 얼추 그럴싸하게 얻을 수 있다![2]
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{d}u \wedge \mathrm{d}v &= \!\left(\frac{\partial u}{\partial x}\,\mathrm{d}x +\frac{\partial u}{\partial y}\,\mathrm{d}y \right) \!\wedge\! \left(\frac{\partial v}{\partial x}\,\mathrm{d}x +\frac{\partial v}{\partial y}\,\mathrm{d}y\right) \\ &= \!\left( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} -\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x} \right) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \end{aligned} )] |
이것을 가장 넓은 범위에서 일반화하면 각 점에서 [math(k)]차원 넓이요소를 집어넣었을 때 이걸 숫자로 대응시키는 [math(k)]-형식의 개념이 된다. 다만, [math(n)]차원 공간의 [math(k)]차원 넓이요소는 ([math(\wedge^k(\mathbb{R}^n))]의 차원인) [math(binom{n}{k})]개의 방향이 있고, 이들이 무엇을 의미하는지 체감하는 것은 또 다른 문제이다. 이것은 스토크스 정리의 쉬운 경우(그린 정리나 켈빈-스토크스 정리) 등으로 경험을 쌓는 수밖에 없다.
3. 엄밀한 정의 및 성질
미분형식을 이해하려면 미분다양체와 접평면, 텐서에 대한 배경 지식이 필요하다. 본 문단에서는 실수 미분 형식에 대해서만 정의한다.3.1. 정의 및 기본 연산
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미분형식(differential form) 차원이 [math(n)]인 미분다양체 [math(M)] 위에 정의된 [math(k)]-미분형식(differential [math(k)]-form) 혹은 [math(k)]-형식([math(k)]-form) [math(\omega)]는, 각 점 [math(p \in M)]에 대한 매끄럽게 변하는 [math((0,\,k))]-교대 텐서 [math(\omega_p:\wedge^k T_p M \rightarrow \mathbb{R})]의 모음 [math(\{\omega_p\}_{p \in M})]으로 정의된다. 즉, 다음 둘을 만족시켜야 한다.
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같은 차수의 미분형식에 대해서는 덧셈, 뺄셈, 매끄러운 함수에 대한 스칼라곱을 정의할 수 있고, 이 세 연산에 대해 [math(\Omega^k(M))]은 매끄러운 함수의 환 [math(C^{\infty}(M))]에 대한 가군을 이룬다. 한편, 텐서의 쐐기곱(wedge product)을 점별로 생각하면 미분형식의 쐐기곱 [math(\wedge : \Omega^k(M) \times \Omega^l(M) \rightarrow \Omega^{k+l}(M))]을 정의할 수 있고, 이 쐐기곱은 결합법칙과 위의 가군 연산에 대한 분배법칙을 만족한다. 또한 매끄러운 함수를 [math(0)]-형식으로 간주하면 함수에 대한 스칼라곱과 쐐기곱이 일치한다.(즉 [math(f \omega = f \wedge \omega)]) 보통 이 셋을 종합해 모든 미분형식의 직합(direct sum) [math(\Omega(M) = \oplus \Omega^k(M))]에 층이 있는 대수(대수 구조)(graded algebra) 구조가 주어졌다고 표현한다. 다중선형대수에선 이런 식으로 쐐기곱을 이용해 만들어진 대수를 보통 외대수(exterior algebra)라고 부른다.
미분기하학에 상당히 익숙해졌다면, 공변접다발(cotangent bundle) [math(T^{*}M)]에 주어진 외대수 자체가 [math(\Omega(M))]이 되고, 이것의 차수 [math(k)] 부분이 [math(\Omega^k(M))]이며, [math(k)]-형식은 [math(\Omega^k(M))]의 대역 단면(global section)이 된다는 식으로 위 내용들을 표현할 수도 있다.
3.2. 외미분(exterior derivative)
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외미분(exterior derivative) 다음 조건을 만족하는 선형연산자 [math(\mathrm{d} : \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M))]이 유일하게 존재하고, 이를 외미분이라 부른다.
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이 외미분이 미분형식의 핵심 개념 중 하나이긴 하지만 의외로 바로 이해하긴 쉽지 않다. 위의 두 성질을 이용해 계산을 하고, 아래의 델이나 스토크스 정리를 통해 의미를 이해하는 경우가 보통이다. 다행히도 다음 표현으로 인해 외미분의 계산은 그렇게까지 어렵진 않다.
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미분형식의
기저 표현 미분다양체 위 열린집합 [math(U)]에 주어진 좌표계 [math((x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n) : U \rightarrow \mathbb{R}^n)]에 대해, 임의의 미분형식은 매끄러운 함수와 1-형식들 [math(\mathrm{d}x_1,\,\mathrm{d}x_2,\,\cdots,\,\mathrm{d}x_n)]의 쐐기곱들의 합으로 유일하게 표현할 수 있다. 즉, [math(U)] 위의 [math(k)]-형식 [math(\omega)]는 다음과 같이 표현된다. [math(\displaystyle \omega = \sum_{\tiny \begin{matrix} \scriptsize I \subset \{1,2,\cdots\!,n\} \\ \scriptsize |I|=k \end{matrix}} f_I\,\mathrm{d}x_I,\qquad f_I \in C^{\infty}(U) )] 여기서 [math(I=\{i_1,\,i_2,\,\cdots,\,i_k\})]에 대해 [math(\mathrm{d}x_{I} = \mathrm{d}x_{i_1} \wedge \mathrm{d}x_{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x_{i_k} )]이다. |
3.3. 견인과 적분
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견인(pullback) 미분다양체 사이의 매끄러운 사상(smooth map) [math(f: M \rightarrow N)]에 대해, [math(N)]의 [math(k)]-형식 [math(\omega)]의 [math(\varphi)]에 대한 견인 [math(f^{*} \omega)]는 [math(M)] 위의 [math(k)]-형식으로 다음처럼 정의된다. [math(\displaystyle f^{*}\omega_p(v_1,\,\cdots,\,v_k) = \omega_{f(p)} (\mathrm{d}f_{p}(v_1),\,\cdots,\,\mathrm{d}f_{p}(v_k) ) )] 여기서 [math(\mathrm{d}f_{p} : T_p M \rightarrow T_{f(p)} N)]은 [math(f)]의 미분이다. |
미분형식의 적분은 다양체 [math(M)]이 유향(orientable)이고 미분형식이 compact support를 가져야 적분의 존재성을 일단 보장할 수 있다. 이 조건 하에선 미분형식을 유클리드 공간으로 견인한 후 그 위에서 통상적인 중적분을 통해 하게 되는데, 보통 다음 세 단계로 나누어 정의한다. 이 정의는 잘 정의되어 있고(즉, 계산 방법에 의존하지 않고) 통상적인 적분에 기대할 수 있는 선형성 성질 등을 모두 만족시킴을 증명할 수 있다. 일반적인 견인에 대해서도 적분이 보존된다.
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유클리드 공간 [math(\mathbb{R}^n)]의 [math(n)]-형식의 적분은, 직교좌표로 표현했을 때의 계수 함수를 중적분한다.
즉, 이제까지 해온 적분이랑 똑같이 하면 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \int f \,\mathrm{d}x_1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x_k = \int f )] }}}
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[math(n)]차원 다양체의 열린집합 [math(U)]가 [math(\mathbb{R}^n)]의 부분집합 [math(V)]와 미분동형(diffeomorphism) [math( f: V \rightarrow U)]로 나타낼 수 있을 때는 다음처럼 견인으로 정의한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \int_{U} \omega = \int_{V} f^{*} \omega )] }}}
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임의의 [math(n)]차원 다양체의 열린집합 [math(U)]에서 [math(n)]-형식 [math(\omega)]의 적분은 [math(U)]의 partition of unity와 분배법칙을 통해 계산한다. 즉, [math(U)]를 덮는 열린집합들 [math(V_i)]와 이에 상응하는 partition of unity의 표현 [math(1 = \sum \rho_i )] ([math(\rho_i : U \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0})]은 [math(V_i)] 밖에서는 [math(0)]인 매끄러운 함수)에 대해 다음처럼 정의한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \int_{U} \omega = \sum_i \int_{V_i} \rho_i \omega )] }}}
4. 스토크스 정리
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스토크스 정리(Stokes' theorem) 가향(orientable)인 경계가 있는 [math(n)]차원 미분다양체 [math(M)] 위의 [math((n-1))]-형식 [math(\omega)]에 대해 다음이 성립한다. [math(\displaystyle \int_{\partial M} \omega = \int_{M} \mathrm{d} \omega )] |
스토크스 정리의 증명 자체는 의외로 어렵지 않은데,
보다 중요한 것은 이 정리를 어떤 식으로 활용하냐이다. 우선 이 정리는 외미분에 대한 해석을 제공하는데, 위의 정리에서 [math(M)]을 주어진 점 [math(p)] 근방으로 잡고 영역을 한없이 축소시키면 [math(\mathrm{d} \omega_p)]의 값을 구할 수 있다. 아래에 나오는 발산(divergence) 등과 연관시켜 발산을 점 주변의 흐름의 극한, 즉 퍼져나오는 양 이런 느낌으로 이해하는 것과 비슷한 맥락이다. 한편으로는 위 성질은 완전 형식(exact form, [math(\omega = \mathrm{d}\nu)] 꼴의 형식)이 닫힌 형식(closed form, 경계가 없는 영역에서 [math(\int_N \omega = 0)])이 된다는 것의 일반화로도 볼 수 있고, 이 얘기를 또 끌어나가면 위상수학에서의 코호몰로지에 대한 이야기로도 풀어갈 수도 있다.
5. 미분형식으로 3차원에서의 델 해석하기
3차원 유클리드 공간 [math(\mathbb{R}^3)]의 직교좌표계 [math(x)], [math(y)], [math(z)] 기준으로 미분형식과 그 외미분은 다음처럼 계산할 수 있다.-
함수 [math(f)]에 대해
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[math(1)]-형식 [math(\omega = A_x \mathrm{d}x + A_y \mathrm{d}y + A_z \mathrm{d}z )]에 대해
\mathrm{d} \omega &= \mathrm{d}(A_x) \wedge \mathrm{d}x + \mathrm{d}(A_y) \wedge \mathrm{d}y+ \mathrm{d}(A_z) \wedge \mathrm{d}z \\
&= \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y
\end{aligned} )] }}}||
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[math(2)]-형식 [math(\omega = B_x \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + B_y \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + B_z \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y)]에 대해
\mathrm{d} \omega &= \mathrm{d}\,(B_x) \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + \mathrm{d}(B_y)\,\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + \mathrm{d}(B_z)\,\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \\
&= \left( \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \right) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z
\end{aligned} )] }}}||
이 셋을 각각 직교좌표계의 경사(gradient), 회전(curl), 발산(divergence)과 비교해 보자. 100% 동일한 표현임을 볼 수 있을 것이다.
즉, 델 삼종세트는 모두 이 외미분의 특수한 경우로 이해할 수 있다. 이 대통합 관점에서 보면 선적분의 기본정리, 켈빈-스토크스 정리, 3차원에서의 발산 정리도 결국 각각 [math(1)], [math(2)], [math(3)]-형식에 대한 일반화된 스토크스 정리의 특수한 경우에 지나지 않는다. 경사, 회전, 발산을 둘씩 합성하면 [math(0)]이 되는 것도, 즉 [math(\nabla \times (\nabla f) = 0)]이 되고 [math(\nabla \cdot (\nabla \times {\bf A}) = 0)]이 되는 것도 다 [math(\mathrm{d}^2 = 0)]으로 설명할 수 있다. 비슷하게, 2차원에서 나오는 그린 정리와 발산 정리도 [math(1)]-형식과 [math(2)]-형식에 대한 스토크스 정리의 일부로 이해할 수 있다.
미분형식에 대해 엄밀하게 배우지 않을 사람들도 이 큰 그림 하나 정도 챙겨두고 가는 건 충분한 가치가 있을 것이다. 특히 델을 많이 쓰는 물리학도라면.
다만, 주의할 점이 한 가지가 있다. 이 이해 방식에서는 [math(2)]-형식을 벡터장으로, [math(3)]-형식을 함수로 해석하는데, 이들을 자연스럽게 같게 보는 것은 유클리드 공간 한정이다. 더 정확히는 접평면에 내적이 있을 때, 즉 리만 다양체 한정으로 호지 쌍대(Hodge dual)라는 연산 [math(\star : \Omega^k \rightarrow \Omega^{n-k})]을 통해 가능하다.
[1]
벡터공간의
쌍대공간의 원소
[2]
이는
외적의 성질과 비슷하다. 순서를 바꾸면 부호도 바뀌고, 같은 것끼리 하면 0이 나오는데다가 [math({\rm d}x)], [math({\rm d}y)]를 가지고 할 때는 넓이가 나온다는 점까지 비슷하다. 차이점이 있다면 외적은 두 벡터에 모두 수직인 벡터를 가리키지만 쐐기곱은 [math({\rm d}x)], [math({\rm d}y)]를 변으로 하는 평행사변형 그 자체를 가리킨다.