미분방정식은 일변수함수에 대응하는 상미분방정식과, 다변수함수에 대응하는 편미분방정식으로 나뉜다.
1. 상미분방정식
常 微 分 方 程 式 / ordinary differential equation, ODE1변수 함수에 대한 미분방정식을 가리키는 말이다. 여기서 상미분이라는 표현은 직역하자면 평범한 미분이란 뜻이지만 그보다는 " 편미분"(partial differential equation, PDE)과 대비시켜 다변수 함수가 아닌 함수의 미분방정식을 가리키려 쓰는 조어라고 볼 수 있다.
우선 이 절에 쓰이는 표기법을 정리하자.
- 미지의 함수 [math(y)]는 [math(x)]를 변수로 갖는다.
- 도함수는 [math(y')], [math(y'')], ... 또는 [math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2})], ... 등으로 나타내자. [math(C)], [math(C_{1})] 등은 임의의 상수.[1]
- 편도함수는 편미분 기호 [math(\partial)][2]를 사용하거나([math(\displaystyle {\partial y \over \partial x})] 등), 변수의 아래 첨자([math(y_x)] 등)로 나타내자. [math(\displaystyle\int)]는 적분기호.
- [math(e)]는 자연로그의 밑이며, [math(\exp(x) = e^x)]로 약속한다. 일변수 함수 [math(f)], [math(g)]의 적분은 암묵적으로 [math(F)], [math(G)] 등의 대문자로 표기하자. 복소수가 나올 때 [math(i=)] [math(sqrt{-1})].[3]
1.1. 일계 미분방정식
일계 미분방정식은 도함수 [math(y')]가 [math(y)]와 [math(x)]의 식으로 주어져 있는 형태이다. 일계 선형 미분방정식의 경우 함수의 초기값이 주어지면, 국소적으로[4] 해가 항상 유일하게 존재한다는 사실이 알려져 있다. 일반적으로 [math(n)]계 선형 상미분방정식은 [math(y(0), y'(0), ..., y^{n-1} (0) )]의 [math(n)]개 초기값이 모두 주어져야 이를 만족하는 해가 유일하게 존재한다.간혹 [math(\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x})]를 분수처럼 조작하여 [math(\mathrm{d}x)]나 [math(\mathrm{d}y)]라는 단독표현을 사용하는데, 이를 엄밀히 이해하려면 미분형식이라는 이론을 동원해야 한다. 수학 전공자가 아니면 '직관적으로 이해하거나' '형식적인 표기일 뿐이라 납득하고' 넘어가자.
1.2. 선형 미분방정식
선형미분방정식이란 방정식의 차수에 해당하는 미분가능 함수공간 위에서 정의된 선형연산자 L에 대해 [math(Lf=g)]으로 표현되는 미분방정식을 의미한다. 아래 내용은 선형대수 뿐만 아니라 군에 대한 지식 특히 몫군에 대한 이해를 요구하므로 군에 대한 이해가 부족하다면 해당 내용을 참조하는것이 좋다.우선 [math(Lf=g)]의 해는 선형 사상의 핵(kernel)으로 구성한 잉여류(coset) 혹은 아핀 부분공간(affine subspace) 중 하나로 표현할 수 있고, 그것은
[math(\displaystyle h+\mathrm{ker}\,L )]
로 표현된다. 여기서 [math(h)]는
[math(\displaystyle Lh=g )]
에 해당하고 이것은 특수해 중 하나이다. 한편,
[math(\displaystyle \mathrm{ker}\,L )]
는 동차해를 이루는 부분공간에 해당된다. 동차해에 해당되는 집합은 참고로
[math(\displaystyle h+\mathrm{ker}\,L )]
로 표현된 해집합은 동치류를 이루므로 [math(h)]의 선택에 무관하므로 해집합을 잘 결정할 수 있다. 특히 동차의 경우
[math(\displaystyle y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0 )]
로 주어진 식을
[math(\displaystyle y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' = - c_0 y )]
형태로 이해하여 고유치 문제로 풀 수도 있다. 물론 주어진 [math(c_0 = 0)]인 경우는 고유값이 [math(0)]인 경우이다.
또한 공대생들의 멘탈을 붕괴시키는 주범중 하나인 푸리에 해석 또한 이 선형 편미분방정식을 풀기 위한 이론이다. 선형 편미분방정식도 결국 다변수 함수에 대해 [math(Lu=g)]로 표현되는 미분방정식이므로 위 이론을 그대로 적용할 수 있다.
선형미분방정식에서 일반해를 구할 때 동차해에 특수해를 더해주는 이유가 바로 이것이다. 더 자세한 내용은 선형 변환 항목 참조.
하지만 이것은 어디까지나 이론상 그렇다는 것이고 실제로는 선형 미분방정식이라도 풀이를 위해서는 상당히 많은 수단이 동원된다. 사실 아래의 적분변환과 멱급수법도 이 선형미분방정식을 풀기 위한 방법들이다. 또한 위의 이론은 선형연립미분방정식에도 그대로 적용된다.
이제 선형미분방정식의 예시를 하나 들어보자. 상수 [math(c_{i})]들에 대해
[math(\displaystyle y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0 )]
의 형태이다. 여기에 대응하는 다항식
[math(\displaystyle \chi(T) = T^n+ c_{n-1} T^{n-1} + \cdots + c_1 T + c_0 )]
를 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 한다. 이 특성다항식이
[math(\displaystyle \chi(T) = (T - \alpha_1) ^{n_1} (T - \alpha_2) ^{n_2} \cdots (T - \alpha_k)^{n_k} )]
로 복소수 범위내에서 인수분해된다고 하면, 각각의 근 [math(\alpha_i)]에 대해
[math(\displaystyle \exp(\alpha_i x), x \exp(\alpha_i x), \cdots ,x^{n_i -1} \exp(\alpha_i x) )]
의 [math(n_i)]개들의 함수가 해가 된다. 또한, 이 미분방정식의 모든 해는 이들을 모두 모은 [math(n)]([math(= n_i)]들의 합)개의 해들의 일차결합으로 유일하게 나타내어진다. 만약 근이 복소수 [math(\alpha = r + is)]라면, 오일러의 공식을 이용해
[math(\displaystyle \exp(\alpha x) = \exp(rx)(\cos(sx) + i \sin(sx)) )]
로 처리하고, 일차결합에서 복소수 계수를 허용한다.
예를 들어 위에 소개했던 단진자의 운동방정식
[math(\displaystyle m y'' + k y =0 )]
의 특성다항식은 [math(mT^2 + k = 0)]이고, [math(w = \sqrt{k/m})]으로 정의하면 특성다항식은 허수해 [math(iw)], [math(-iw)]를 갖는다. 따라서 모든 해는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \exp(iwx) &= \cos(wx) + i \sin(wx) \\
\exp(-iwx) &= \cos(wx) - i \sin(wx) \end{aligned} )]
의 일차결합, 즉 [math(\cos(wx))]와 [math(\sin(wx))]의 일차결합으로 나타내어진다. 삼각함수의 합성을 써서
[math(\displaystyle C_1 \cos(wx) + C_2 \sin(wx) = C \sin(wx + \phi) )]
로 멋들어지게 나타낼 수도 있다.
선형미분방정식에 상수항이 있는 경우, 즉
[math(\displaystyle y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= f(x) )]
꼴의 경우, 이러한 방정식의 해는 (특수해)+(동차해) 꼴로 나타나진다. 여기서 (특수해)란 위 방정식을 만족시키는 특정 해 아무거나, (동차해)란 상수항이 없는 경우, 즉 [math(y^{(n)}+ c_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + c_1 y' + c_0 y= 0)]의 해.
1.2.1. 심화(적분인자)
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle y' + g(x)y = f(x) )] }}}
꼴의 경우, [math(y)]항과 [math(y')] 항을 단서로 좌변에 적절하게 미지의 식을 곱하면 좌변을 원함수에서 곱의 미분이 일어난 형태로 간주할 수 있다. 이 때의 미지의 식을 적분인자 [math(h(x))]라고 부르자. 즉, [math(h(x))]를 방정식에 곱한 식
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle h(x)y' + h(x)g(x)y = h(x)f(x) )] }}}
의 좌변이
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle h(x)y' + h(x)g(x)y = (h(x)y)' )] }}}
가 되는 [math(h(x))]를 찾으면
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (h(x)y)' = h(x)f(x) )] }}}
의 양변을 적분해서 해를 구할 수 있지 않겠냐는 것. 전개를 하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (h(x)y)' = h(x)y' + h'(x)y = h(x)y' + h(x)g(x)y )] }}}
가 되므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle h'(x) = h(x)g(x) )] }}}
이고, 곧
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \dfrac{h'(x)}{h(x)} = g(x) )] }}}
임을 알 수 있다. 이로서 적분을 통해 [math(h(x))]를 다음 식과 같이 구할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle h(x) = Ce^{\int\!g(x)\mathrm{d}x} )] (단, [math(C)]는 적분 상수) }}}
이제 위에서 네 번째 식 [math(\displaystyle (h(x)y)' = h(x)f(x) )]에 [math(h(x))] 값을 대입하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle (Ce^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}y)' = Ce^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}f(x) )] }}}
양변의 적분 상수를 정리하고 적분하면
[math(\displaystyle e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}y = \int e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}f(x)\mathrm{d}x + C )]
양변을 나누어 정리하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}y = \int e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}f(x)\mathrm{d}x + C )]
양변을 나누어 정리하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \displaystyle y = e^{- \int\!g(x)\mathrm{d}x} (\int e^{\int\!g(x)\mathrm{d}x}f(x)\mathrm{d}x + C) )] }}}
를 얻게 된다.
1.2.2. 멱급수법
미분방정식의 해 [math(y)]가 멱급수 [math(\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots )]의 꼴로 나타낸다고 가정하고, 미분방정식에 대입한 다음에 계수비교법을 적용해 [math(a_{i})]를 계산하는 방법이다. 계수를 계산하기 쉬운 선형미분방정식에 많이 쓰인다. 여기서 한 단계 더 나아가서 프로베니우스 방법(Frobenius method)과 같은 것은 베셀 함수(Bessel function)를 구하는 과정의 필수요소라 할 수 있다.[5]1.2.3. 라플라스 변환, 푸리에 변환 등의 적분변환
적분변환은 선형 미분연산자를 변환된 공간에서 단순한 계수로 바꿔버리는 강력한 도구이다. 하지만 세상에 공짜는 없는 것이, 어떤 함수의 적분변환이 존재하는 조건이 항상 존재하기 마련이다. 또한 두 함수의 곱을 적분변환하면 상당히 지저분한 꼴이 되며, 마찬가지로 두 적분변환의 곱을 역변환할 시 지저분한 꼴로 표현된다. 이러한 합성함수의 적분변환에 대한 규칙을 보통 합성곱(convolution)이라 표현한다.라플라스 변환은 다음과 같은 성질이 있다.
[math(\mathcal L\{f'(t)\} = sF(s)-f(0))] ([math(\mathcal L\{f(x)\})]는 [math(f(x))]의 라플라스 변환, [math(F(s))]는 그 결과 나온 함수)
[math(\mathcal L\{f''(t)\} = s^2 F(s)-sf(0)-f'(0))]
증명[math(\mathcal L\{f''(t)\} = s^2 F(s)-sf(0)-f'(0))]
i. 좌변 = [math(\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}f'(t)\,\mathrm{d}t = \left[e^{-st}f(t)\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}se^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t = sF(s) - f(0))] (부분적분)
- [math(\mathcal L\{f''(t)\} = s\mathcal L\{f'(t)\} - f'(0) = s(sF(s)-f(0))-f'(0) = s^2F(s)-sf(0)-f'(0))]
예를 들어 위에 소개된 스프링 방정식의 경우를 들어 설명한다.
[math(y''-ky=0)]의 양변을 라플라스 변환하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} s^2 Y(s) - kY(s) &= sf(0)+f'(0) \\
Y(s) &= (sf(0)+f'(0))/(s^2 - k)
\end{aligned} )]
이제 [math(Y(s))]의 라플라스 역변환을 구하면 해가 나온다.
참고로 라플라스 역변환은 공식이나 복소적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.[6]
이 방법의 단점은 [math(f)]의 라플라스 변환이 존재하지 않을 경우 무용지물이 된다는 것이다. 라플라스 변환이 존재하기 위한 엄밀한 조건은 다음과 같다.
[math(f)]가 (조각적) 연속이고, [math(|f(t)| \leq Me^{ct} \quad(\forall t))]를 만족시키는 [math(c)], [math(M)]이 존재하면 [math(s>c)]일 때 라플라스 변환의 존재가 보장된다.
라플라스 변환 외의 다른 적분변환으로
푸리에 변환이 있는데, 라플라스 변환과 매우 닮은 꼴이다. [math(f)]가 [math(x → ±∞)]이면 [math(f(x) → 0)]이고 경계가 반무한(semi-infinite) 또는 양쪽 다 무한한 선형 편미분방정식(PDE)을 풀 때 쓰인다.1.3. 변수분리형(separation of variables)
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f(x)}{g(y)} )] }}}
꼴의 경우
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle g(y)\,\mathrm{d}y=f(x)\,\mathrm{d}x )] }}}
의 형태로 바꾼 다음 양변을 적분해
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle F(x) = G(y) + C )][7] }}}
꼴로 바꾼다. 안 된다면 적절한 치환을 통해, 예를 들면 [math(u=\dfrac{y}{x})]로 놓고 [math(u)]와 [math(x)]에 대한 미분방정식으로 만든 뒤 해보면 된다.
1.4. 완전형(exact ODE)
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle N(x,\,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+M(x,y)=0 )] }}}
을
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle N(x,\,y)\,\mathrm{d}y + M(x,\,y)\,\mathrm{d}x=0 )] }}}
의 꼴로 썼을 때
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} )] }}}
이면 이를 완전형이라 한다. 이 때는
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= M(x,\,y) )] }}}
이고
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = N(x,\,y) )] }}}
인 [math(f)]를 찾아낸다. ([math(M)]을 [math(x)]에 대해 적분하고, [math(y)]에 대한 상수항을 더해주면 쉽다.) 그 다음에는 [math(f)]를 전미분했을 때
{{{#!wiki style="text-align: center"
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \mathrm{d}(f(x,\,y)) = 0 )] }}}
이라고 쓸 수 있기 때문에 [math(f(x,y) = C)]의 형태가 해라고 할 수 있다.
미분방정식이 완전형이 아니어도(non-exact) 역시 양변에 적분인자를 곱해 완전형 미분방정식을 만들 수 있다. 다음 두 경우에 대해
미분방정식이 완전형이 아니어도(non-exact) 역시 양변에 적분인자를 곱해 완전형 미분방정식을 만들 수 있다. 다음 두 경우에 대해
i. [math(\dfrac{M_y-N_x}{N})]이 [math(x)]에만 의존할 경우: [math( h(x,\,y) = \exp\left(\displaystyle\int\frac{M_y-N_x}{N}\,\mathrm{d}x\right))]
i. [math(\dfrac{N_x - M_y}{M})]이 [math(y)]에만 의존할 경우: [math(h(x,\,y) = \exp\left(\displaystyle\int\frac{N_x - M_y}{M}\,\mathrm{d}y\right))]
로 잡으면 [math(h)]가 적분인자가 된다. 위 두 경우에 해당하지 않는다면, 적분인자를 구하는 것이 미분방정식을 푸는 것보다 어려운 경우이다.[8] 이걸 반대로 말하면, 아무 [math(f(x,\,y) = C)]를 [math(x)]에 대해 미분해 버린 후, [math(x)], [math(xy)]가 모두 들어있는 임의의 함수로 나누거나 곱해버리면 손으로 못 푸는 1계 상미분방정식을 만들 수 있다는 말.
i. [math(\dfrac{N_x - M_y}{M})]이 [math(y)]에만 의존할 경우: [math(h(x,\,y) = \exp\left(\displaystyle\int\frac{N_x - M_y}{M}\,\mathrm{d}y\right))]
1.5. 비선형 미분방정식
비선형 미분방정식은 1계 미분방정식만 풀이 방법이 정립되어 있고, 2계 이상부터는 특수한 경우가 아니면 해가 알려져 있지 않다. 여담으로 이 특수한 경우에 속하는 미분방정식중 대표적인 것이 베르누이 미분방정식이다.예를 들어 다음과 같은 단진자의 방정식은 모양은 간단하지만 비선형 미분방정식이다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 )][9]
이 식은 연구가 상당히 많이 진척되어 있어 [math(\theta)]의 해집합이 정확하게 알려져 있다. 자세한 내용은 단진자 문서를 참고할 것. 하지만 이런 경우는 극히 드물다고 보면 된다. 우리가 중/고등학교에서 배우는 진자는 위 방정식의 정확한 해가 아니라 근사해이다. 정확한 해는 주기는 타원 적분으로, 시간에 대한 각의 함수는 야코비 타원 함수로 표현되기 때문에 초등함수로 나타낼 수 없다. 그래서 대학교 물리에서는, [math(\theta)]를 [math(0)]에 근사시켰을 경우 [math(\sin \theta \approx \theta)]라고 표현 가능하다는 점을 전제하고 있다. 이 경우는 최저점을 벗어난 진자가 중력과 실의 장력에 의해서 약간 속도가 느려지면서 처지는 것도 직선이라고 근사시킬 수 있기 때문에 원운동의 일부로 취급할 수 있어져서 계산이 편해지기 때문이다.
2. 편미분방정식
偏 微 分 方 程 式 / partial differential equation, PDEPDE에서는 해의 존재성조차 밝혀내기 어려운 방정식들이 한가득이다![10] 해석적인 방법으로 해를 구할 수 있는 방정식은 정말 극소수 중의 극소수이다.[11] 이렇다보니 편미분방정식에 대한 연구는 대체로 해 그 자체를 구하는 것보다는[12] 해의 존재성 및 유일성을 보이거나 혹은 해의 성질들[13]을 탐구하는 쪽에 초점이 맞춰져 있다. 다시 한 번 강조하지만 편미분방정식은 해의 존재성을 밝히는 연구부터 매우 어렵다.
표기와 주의사항은 위와 비슷. 단, 미지함수는 [math(u)], 변수는 [math(x)], [math(y)], [math(z)], [math(t)], ...로 쓰자.
최악의 문제 유형은 비선형 편미분방정식+고차방정식+연립방정식[14]인 경우. 이 경우는 말 그대로 충공깽. 의외로 현실 세계의 현상을 기술하는 방정식 중에도 이런 유형이 꽤 있다.
예시:
BBM 방정식: [math(u_t+u_x+uu_x-u_{xxt}=0)],
KP 방정식: [math((u_t+uu_x+\epsilon^2u_{xxx})_x+\lambda u_{yy}=0)],
BBM-KP 방정식[15]: [math((u_t+uu_x+\epsilon^2u_{xxt})_x+\lambda u_{yy}=0)],
Burger's equation: [math(u_t+uu_x=\nu u_{xx})],
KdV 방정식: [math(u_t-6uu_x+u_{xxx}=0)],
수정 KdV-B 방정식: [math(u_t-\alpha u^2u_x-\beta u_{xx}+u_{xxx}=0)],
비정규화 KdV-B 방정식: [math(u_t+\beta uu_x+\alpha u_{xxx}=0)],
비정규화 수정 KdV-B 방정식: [math(u_t+\alpha u^2u_x+u_{xxx}=0)],
Dispersionless equation: [math((u_t+uu_x)_x+u_{yy}=0)],
ET 방정식: [math(u_{xx}+xu_{yy}=0)],
GT 방정식: [math(u_tu_{xt}-u_xu_{tt}+u_{xx}+1=0)]
2.1. 미분작용소
기초 ODE에서는 그냥 넘어갔던 미분작용소(differential operator)의 개념이 PDE에서는 매우 중요해진다. 미분작용소의 정의는 미지함수와 편도함수로 이루어진 식이고, 이 식이 편도함수의 선형결합[16]일 경우 미분작용소를 선형이라고 한다. 모든 PDE는 미분작용소 [math(D)]에 대해 [math(Lu = 0)] 의 꼴로 쓸 수 있고, 유명한 것으로 라플라스 작용소[math(\displaystyle \Delta u = \nabla^{2} u = \nabla \cdot \nabla u = {\sum_{n = 1}^{m}} {\partial^{2}u \over \partial {x_{n}}^{2}} )][17]
등이 있다.
이 미분작용소가 선형일 경우가 아주 중요한데, 미분작용소를 선형대수학에서 나오는 선형사상으로 간주할 수 있기 때문이다.[18] 다만 선형 PDE의 해집합은 대부분의 경우 무한 차원 벡터공간이 되므로, 무한 차원 벡터공간을 연구하는 함수해석학의 이론이 필요하다.
2.2. 존재성과 정규성[19]
상미분방정식의 경우 국소적 해는 항상 존재했지만, 편미분방정식의 경우는 다르다. 국소적 해마저 존재하지 않는 PDE가 있다는 것을 증명할 수 있을 정도. 코시-코발레프스키 정리(Cauchy-Kowalevski theorem)를 이용하면 일계상미방과 비슷한 조건하에서 존재성이 증명되는 경우도 있지만, 일관적 접근은 힘들다. 정규성의 경우 보통 함수의 [math(L^p)] 크기( 간단히 말하면 [math(|u|^p)]의 적분값) 등 여러 가지 노름(norm)을 제한시키는 방식으로 증명한다. 여기서 수없이 많은 적분부등식이 등장하는 것은 덤.[20] 해가 충분히 좋은 경우[21] 함수의 진폭을 살펴보아 '조금 더 좋은'(횔더 혹은 립쉬츠) 연속성을 보일 수 있다.다만, 선형인 경우, 위 두 가지는 어느 정도 보장이 된다.
2.3. 대수적 풀이법
편미분방정식에서 먹히는 대수적 풀이법은 그렇게 많지 않다. 유명한 것은 미지함수 [math(u(x,\,y,\,z))]를 [math(p(x)q(y)r(z))]꼴의 한 변수에만 의존하는 함수들의 곱으로 두는 변수분리법. 방정식이 선형이라면 이렇게 구한 미지함수들의 무한합으로 모든 해를 구할 수 있는 경우도 있다. 대표적인 예로 일차원 열 방정식(heat equation, 열의 확산에서 나옴)[math(\displaystyle u_t = u_{xx} )]
을 제한된 [math(x)]-구간 [math(0 \le x \le 1)]에서 푸는 경우, 변수분리법을 구해 얻은 해 [math(\exp(-n^2 t) \sin(nt), \exp(-n^2 t) \cos(nt))]들의 선형결합이 모든 해가 된다.
특성곡선(characteristic curve)법은 일계 유사선형 편미방
[math(\displaystyle au_x + bu_y = c )]
등에서 써먹을 수 있는데([math(a)], [math(b)], [math(c)]는 [math(u)], [math(x)], [math(y)]에 대한 함수), [math(\mathrm{d}F(u,\,x,\,y) = 0)]이 되는 [math(F)]를 어떻게든 찾아주면 된다.
비슷한 형태인 [math(u_{xx} + u_{yy} = 0)] 라플라스 방정식(Laplace equation)[22] 또한 푸리에 급수를 이용하여 일반해를 구할 수 있고 특정 영역에서의 경계값문제의 정확한 해를 구할 수 있다. 또한, 해당 함수는 조화함수로 복소함수의 해석함수(holomorphic function)을 이용하여 구하는 방법도 있다.
2.4. 선형편미분방정식의 기본해(fundamental solution)
PDE에서도 적분변환, 특히 푸리에 변환은 매우 큰 위력을 발휘한다. 다만, 푸리에 변환은 빠르게 감소하는 함수가 아니면 적용하기 힘든 난점이 있다. 함수공간의 범위를 더욱 넓힌 분포함수(distribution)는[23] 디랙 델타함수 같은 대상을 모조리 포함해 버리는 아주 큰 공간이고, 여기서 푸리에 변환을 생각하면 임의의 함수의 푸리에 변환을 생각할 수 있다.작용소의 계수가 상수일 경우에는, 마치 라플라스 변환을 풀듯이, 푸리에 변환의 위력은 여전히 미분방정식을 산술방정식으로(!) 바꾸어 버릴 수 있다. 이 산술방정식을 풀고 역변환하면, 기본해(fundamental solution)라 불리는 [math(LF = \delta(x))] 을 만족하는 분포 [math(F)]를 찾을 수 있는데, ([math(\delta)]는 디랙델타) 그러면 [math(Lu = g)]의 해를 단순히 [math(u = g \ast F)] (컨볼루션)로 쓸 수 있다. 물론 어려운 것은 이렇게 구한 해가 과연 (분포함수가 아닌) 진짜 함수인가 하는 것이다.
그리고 계수가 상수일 때만 적용되는 기법이긴 하다. 일반적인 선형에서는 당연히 불가능한 내용.[24]
그나마도 비선형의 경우는 쉽지 않다. 대표적인 비선형 편미방인 나비에-스토크스 방정식은 아직까지도 일반해가 안 나오고 있다.
2.5. 타원형 편미분방정식(Eliptic PDE) 스펙트럼 이론(spectral theory)
선형대수학을 공부했다면 임의의 에르미트 행렬(Hermitian matrix)은 실수 고유값을 갖고, 고유벡터들이 정규직교기저가 된다는 스펙트럼 정리(spectral theorem)를 알고 있을 것이다. 선형 미분작용소 중 계수들이 특정 성질을 만족하는 elliptic operator들은 대칭행렬과 비슷하게 볼 수 있고, 스펙트럼 이론을 거의 그대로 적용시킬 수 있다. 어찌 보면 푸리에 해석도 이의 한 예.가장 간단하면서도 대표적인 타원형 방정식으로는 라플라스 방정식이 있다.[25]
2.6. 물리학에서 다루는 편미분방정식
위는 2차원 파동 방정식인 [math({c^2}(u_{xx}+u_{yy}) - u_{tt} = 0)], 즉 [math( u_{tt} = {c^2}(u_{xx}+u_{yy}) = {c^2}{\nabla^2} u)]의 해이다.
이 문단에서는 물리학에서 다루는 편미분방정식에 대하여 알아볼 것이다. 여기서는 주로 단순 풀이에 대해서 논하지만 실제로는 다음 3가지를 자주 논한다.
- 존재성(existence) 이 편미분방정식의 해가 항상 존재하는가?
- 유일성(uniqueness) 만약 그렇다면 해는 유일한가?
- 안정성(stability) 이 해는 안정적인가?[26]
- 경계 조건(Boundary condition) 편미분방정식을 특정 공간에 한정하였을때 경계에서의 해에 대한 조건을 준다.
- 초기 조건(Initial condition) 편미분방정식의 해에 대해 시간 [math(t = 0)]일 때의 조건을 준다.
2.6.1. 파동 방정식
1차원 파동 방정식은 다음과 같다.|
[math(
u_{tt} = c^2u_{xx} )] |
|
[math(\displaystyle
u(x) = \frac1{2} [\phi(x+ct)+\phi(x-ct))]][math(\displaystyle+\frac1{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s)\,{\rm d}s)] |
2.6.2. 확산 방정식
1차원 확산 방정식은 다음과 같다.|
[math(
u_t = ku_{xx} )] |
|
[math(\displaystyle
u(x) = \frac1{\sqrt {4\pi kt}} \int_{-\infty}^\infty e^{{-(x-y)^2}/4kt} \phi(y) \,{\rm d}y )] |
[1]
단, 초깃값 문제 등에선 값이 정해진다고 생각하자.
[2]
이는 [math(\mathrm{d})]를 둥글게 변형한 것으로, '파셜', '라운드', '라운드 디' 등으로 읽는다.
[3]
전기전자공학(특히
회로이론)에서는 [math(i)]가 전류의 기호로 쓰일 수 있어 헷갈리기 때문에 허수단위 기호로 [math(j)]를 사용한다. 예를 들면 [math(f(t) = \exp(-j\omega t))] [math(i)]가 [math(j)]로 쓰이는 것 빼고 쓰임새는 같다. 이 글을 보면
사원수/분할 복소수([math(j^{2}= 1)], [math(j\ne1)])를 쓰면 물음이 생길 수 있는데, 각자 교수에게 물어보도록 하자. 적어도 [math(j)]를 쓰는 과의 학부 과정에서는 사원수와 분할 복소수가 안 나온다.
[4]
즉, 실직선 전체에서 방정식을 만족하는 해의 존재가 보장되는 것이 아니다.[math( y(0) = 0, y' = (1+y^2) )]의 해인 [math( y = \tan(x) )]는 구간[math( (-\pi/2, \pi/2))]에서만 정의된다.
[5]
프로베니우스 방법에 대한 자세한 설명은
프로베니우스 방법, 영어주의,
참고링크1,
참고링크2 등 참조.
[6]
물론 유리함수의 분모의 차수가 커지면 계산량이 만만치 않지만, 미분방정식의 해를 직접 구하는 것보다는 쉬운 경우가 많다.
[7]
적분상수를 한 쪽으로 몰아둔 꼴.
[8]
정확히 말하자면 해당 상미분방정식을 푸는 것보다도 어려운 경우이다. 저 적분 인자를 구하기 위해서는 편미분 방정식을 풀어야 한다. 앞에서 말했듯이 편미분방정식은 상미분방정식보다도 훨씬 어려운데 여기서 풀어야 하는 편미분방정식은 편미분 방정식들 중에서도 어려운 축에 속한다. 배보다 배꼽이 훨씬 더 큰 셈.
[9]
[math(f'' ( x )+\dfrac{g}{\ell}\sin ( f ( x ) )=0)]을 만족하는 함수 [math(f ( x ))]를 구하라는 문제이다.
[10]
괜히
나비에-스토크스 방정식이 밀레니엄 문제에 포함된 것이 아니다.
[11]
심지어 라플라스 방정식처럼 엄청나게 간단한 방정식도 문제의 정의역이 복잡하면 해석적으로 해를 구할 방법이 없다.
[12]
수치해석은 핀트가 약간 다르니 논외로 한다.
[13]
예를 들어 연속성 등
[14]
방정식 하나일 때에는 멀쩡히 잘 돌아가는 방법이 연립방정식에서는 적용 불가능한 경우가 매우 많다.
[15]
영문 위키백과 KP 방정식 개요란에 소개되어 있다.
[16]
1차
연립방정식을 일컫는다. 다른 데 같으면 지옥으로 여겨지는 연립방정식이 여기서는 천국이다(...)
[17]
이 형태는 [math(m)]차원 직교좌표계에서 정의된 형태이다. 일반적인 좌표계에선 더 복잡하게 정의된다.
[18]
물론 ODE에서도 이 사고방식은 유효하다. 다만 기초수준에서 배우지 않는 것뿐.
[19]
regularity, 정칙성이라고도 번역한다. 간단히 말해 미분방정식의 해가 얼마나 '매끄러운지'를 살펴보는 것이다.
[20]
보통은 정의역이 유계(bounded)인 경우를 주로 생각한다. 이 경우에는 [math(L^p)] 공간들 사이에 포함 관계가 성립한다.
[21]
연속만 되어도 운이 좋은 것이다. 각 점에서 함수값을 pointwise하게 정의할 수 있으므로
[22]
해당 형태를 만족하는 함수를 조화함수(harmonic function)라고도 부른다.
[23]
간단히 말하면 함수공간의 쌍대공간으로 정의한다. 보통 함수 [math(f)]는 [math(g \longmapsto \int f g)] 의 함수, 디랙델타는 [math(g \longmapsto g(0))] 의 함수 이런 식. 통계학에서 등장하는 확률분포와는 직접적인 관련은 없다.
[24]
선형 PDE에서 distribution sense로 해가 없는 예는 Hans Lewy가 1957년에 구했다.
http://www.jstor.org/stable/1970121
[25]
여기에 시간에 대한 일차미분항이 붙는 경우 열방정식이, 이차미분항이 붙는 경우 파동방정식이 된다. 열방정식과 파동방정식은 각각 포물형(parabolic)과 쌍곡형(hyperbolic) 편미분방정식의 대표적인 예시이다. 편미분방정식을 공부할 때 가장 처음 접하게 되는 것들이며, 이 방정식들에 대해서는 이미 많은 사실들이 알려져 있다.
[26]
이 조건은 비록 명확한 기준은 없지만 매우 중요하다.
조건이 약간 바뀌었는데 함수가 너무 많이 변한다면 현실에서 실험 설계가 어렵다.
[27]
[math(\phi(x))]는 어떤 함수이다.