| [math(\infty)] |
| 무한대의 기호, ∞ |
1. 개요
無 限 大 / infinityAus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
아무도 칸토어가 우릴 위해 준비해 준 이 천국에서 우리를 내쫓을 수 없을 것이다.
1925년, 독일 뮌스터에서 열린 베스트팔렌 수학학회에서 다비드 힐베르트가 한 연설.
현대
수학에서 무한대는 끝 없이, 경계 없이, 혹은 어떠한 자연수보다 큰 것[1]을 말한다. 수학에서
[math(infty)]로 표기한다. 독일어로는 Unendlichkeit.아무도 칸토어가 우릴 위해 준비해 준 이 천국에서 우리를 내쫓을 수 없을 것이다.
1925년, 독일 뮌스터에서 열린 베스트팔렌 수학학회에서 다비드 힐베르트가 한 연설.
무한대는 예전부터 우리가 가지던 막연한 개념으로부터 출발하여, 수학사와 함께 발전해 왔다. 현재에는 무한대 중 일부를 수처럼 다루기도 하고, 무한대를 분류하기도 하는 등 일부는 수학적으로 다룰 수 있는 대상이 되기도 했다. 분야에 따라 무한대는 무한집합의 원소의 개수로 정의되기도 하며, 정의하는 방법에 따라 다루는 방법 또한 달라지기 때문에 하나의 통합된 개념으로 다루기 어렵다.
2. 기호 ∞
3. 수로써의 무한대
3.1. 오해
사람들이 수를 정의할 때 무한을 사용하면 동적인 수로 정의될 수 있을 것이라고 오해하는 경우가 많다. 하지만 수는 기본적으로 정적인 대상이며, 동적인 정의를 하더라도 한가지 수를 의미하려면 결국 한가지 값을 할당해 주어야 한다. 변수 역시 움직이는 값이 아닌, 여러 가지(variable) 값을 가질 수 있는 수이다. 즉, 특정 범위에서 다양한 값을 설정할 수 있다는 뜻이지 수 자체가 동적으로 변하는 수를 의미하지 않는다.따라서 수를 수열의 극한과 같은 동적인 방법으로 정의할 수는 있어도, 해당 값이 "수"라는 것이 정해지면, 하나의 값에 해당한다는 뜻이다. 무한대 역시 무한히 커지는 상황을 의미한 것이 아니고 실수 범위를 벗어난 무한히 큰 수를 의미한다. 이 개념 역시 착각하기 쉬운 것이, 고등학교때 까지는 실수와 복소수를 배우면서 허수를 상상의(imaginary) 수라고 배우지만, 수는 전부 개념적인 것이며, 실수가 수직선에 대응한다고 하여 항상 우리의 실생활과 관련이 있는 수가 아니라는 것이다. 따라서 무한대가 수가 아니라고 하는 사람이 많지만, 실수가 아닐 뿐이지 우리가 사칙연산을 통해 다룰 수 있는 무한대는 수가 맞다.
실수에서 무한대란 개념이 교과서에 처음 등장하는 것이 고교과정 수학의 수학2(15개정) 1단원 함수의 극한이다. 무한을 한없이 커지는 개념으로 오해하듯이 극한에서 극한값도 '특정 값에 계속해서 가까워지지만 닿을 수는 없는 것'으로 이해할 가능성이 크다. 때문에 이 단원을 제대로 배우지 못했을 시에 무한대에 대한 온갖 오해를 갖게 된다. 배우기 이전에도 무한대에 대한 자연스럽지만 엄밀하지는 못한 생각을 막연히 갖고 있기도 했을 것이고, 그것을 기반으로 다양한 오해를 해소하지 못한 채로 공식만을 암기하면서 문제풀이를 진행하는 학생이 굉장히 많다.
고교 과정 수학의 수열에서, "[math(n)]이 무한히 커질 때, 어떤 수에 한없이 가까워진다" 혹은 "양/음의 무한대로 발산한다"는 표현 등이 큰 오해를 일으키고 있다. 극한에는 두가지 표현법이 있는데, 한가지가 앞서 말한 "[math(n\to∞)]일 때 수열이 어떤 수에 수렴 혹은 무한대로 발산한다"와 같은 조건문과 같은 표현법이고, 다른 한가지가 바로 [math(lim)]기호와 등호(완전히 같음)를 이용하는 방법이다. 사실 둘 다 같은 뜻이고, 극한값 자체가 "다가가는 값"이라고 정의되지만, 쉽게 말해 활이나 총을 쏠 때에도 움직이는건 화살과 총알([math(n)]값)이지, 표적(극한값) 자체는 움직이지 않기에 극한값은 움직이는 개념이 아니라고 이해하는게 좋다. 무한 역시, 우리가 볼 수 없는 매우 먼 곳에 있어서 다가간다고 표현하는 것이지, 분명히 존재하는 과녁이다.
다만, 그 정의가 고교 수준에서 소개할 것은 아니고, 한눈에 직관적 정의와 부합함을 알기는 어렵다. 조금 다르지만 본질은 마찬가지인, 함수의 극한의 엡실론-델타 정의를 검색해 보면, 비전공자 입장에서는 논리 구조가 다소 꼬여있기에 극한과 같은 의미라는 것을 직관적으로 이해하기 어렵다. 다르게 말하면 "한없이 다가간다" 보다는 "차이를 없앤다"라는 표현이 더 어울리는데, 엡실론과 델타가 의미하는 것이 바로 이 오차에 해당한다. 어떠한 실수 오차를 잡더라도 그 이하의 차이를 낼 수 있는 구간이 존재한다면, 해당 값에 한없이 가까워지고 있다고 표현할 수 있기 때문에 극한의 엄밀한 정의가 된다.
해석학을 엄밀화하려는 시도가 무한대, 무한소가 실재한다는 사고 때문에 일어났고 엄밀한 정의 없이 직관적 정의로 해석학을 하려다 보니, 온갖 모순들이 생겨났다. 이 문제가 대중들에게 널리 알려진 사례가 0.999…=1이다. 무한과 극한이라는 개념을 직관으로만 이해하려 하면 어떤 문제가 생기는지를 아주 잘 보여준다.
심지어 오일러도 진동 급수의 대표적인 예인 [math( sum_{n geq 0}(-1)^n )]이 [math( 1/2 )]에 수렴한다고 했다. 한편으로, 그란디 급수는 진동 발산하지만 수렴한다고 가정하면 그 값은 [math( 1/2 )]일 수 밖에 없는데, 이러한 방법으로 계산하는 기법을 해석적 연속이라고 한다.
근대와 현대의 해석학은 이 둘을 몰아내는 방향으로 엄밀화되었다. 다만 최근에는 비표준 해석학이라는, 초실수체를 도입하여 무한대와 무한소를 엄밀하게 정의한 해석학도 존재한다.
이공계의 언어를 한국말로 번역하자면, 일단 사전에서의 무한대의 정의는 어떠한 실수[2]보다 큰 수를 뜻하며, 따라서 자연수와 실수에 포함되지 않는 수이고 이것이 "현재" 대중적으로 표준적인 정의. 초실수체가 정립되기 전에는 수라고 할 수 있을지 없을지도 의견이 분분했으며, 수학자들은 엄밀하게 다루지 못할 바에는 다루지 말자 쪽으로 형세가 흘러갔지만, 최근에는 무한대를 기술하는 다양한 방법도 개발되었으며, 실수처럼 사칙연산도 할 수 있기에 전혀 신기하지 않은 개념이 되었다. 이를테면, 무한대는 확장된 실수 혹은 리만 구의 원소(0의 역수)로 간주할 수 있다. 초실수체나 초현실수도 무한대를 다루기 위한 체계인데, 최근에도 비표준 해석학을 비표준이라는 이유로 거부하는 수학자와 학생들이 많다. 특히, 초실수체는 정의 자체가 매우 어려워서 일반적인 비전공자들이 다루긴 어려우나, 무한소와 무한대를 포함하기에 수 체계에 대한 직관적인 이해에 이득이 되는 부분도 있다.
현재에도 무한급수의 계산이 나오면 피 토하는 수학자 및 물리학자들이 많다. 특히 물리학에선 자연에 무한한 게 있을 리 없으니 발산한다면 골치아프다는 시각이 팽배했다. 엘러건트 유니버스의 저자 가라사대, 무한대는 네 이론이 잘못됐다고 신이 내리는 회초리라고. 물론 무한대가 자연계에 존재하는 것은 이상한 일이 아니다. 대표적으로 블랙홀의 특이점 같은 경우는 밀도가 무한대라고 현재까지 알려져있다. 또한 양자역학에서 해석적 연속을 통해서 연산을 재정의하는 것은 많은 도움이 되었다.
4. 집합론의 무한대
무한집합의 원소의 개수를 무한대라고 한다. 그럼 무한집합이 뭐냐는 질문에 도달하는데 어떤 집합에 대해 농도가 같은 진부분집합이 존재하면 무한집합이라 한다. 아주 간단히 말하면 일대일 대응을 통하여 무한집합들의 크기를 비교할 수 있도록 무한대를 구분하는 것이다. 쉽게 말해 두 대상을 비교하기 위해 각각 번호표를 주어 끝번호의 숫자를 알아내는 것이 아닌, 두 집단을 하나씩 짝을 지어 서로 남김없이 짝을 맺을 수 있는가를 알아보는 것이다.약간 더 자세히 말하자면 이 개념은 수학자 게오르그 칸토어(Georg Cantor, 1845-1918)의 집합론에서 출발된 것인데, 그는 자연수, 정수, 유리수의 집합은 서로 일대일대응을 줄 수 있지만, 실수집합의 경우는 자연수에서 실수로 가는 전사대응을 줄 수가 없는, 즉 '실수 집합의 크기가 더 큰' 것을 증명하였다. 최근 EBS의 다큐프라임 - 넘버스 2부 천국의 사다리 - [math(\infty)] 편에서도 자세한 설명을 볼 수 있다. 이 기준을 통해 무한집합들에 대해 서열을 매긴 것을 기수(cardinality) 혹은 초한기수(transfinite cardinality)라 부른다. 이 초한기수의 서열은 가장 작은 자연수의 기수인 알레프-0부터 시작해 끝도 없이 이어지므로, 무한히 많은 종류의 무한대가 존재한다는 사실을 알 수 있다. 더욱 자세한 것은 초한기수 문서 참고.
만약 무한대에 유한한 수를 더하거나 곱하면 어떻게 될까?
독일의 수학가 다비드 힐베르트는 집합론의 가산 무한이 갖고 있는 기묘한 성질을 잘 보여주는 하나의 예제를 만들었다. ' 힐베르트의 호텔'이라고 불리는 이 유명한 예제는 힐베르트가 종업원으로 일하고 있는 가상의 호텔에서 시작된다. 결론만 간단히 말하자면, 무한대에 유한한 수를 더하거나 (0 외의 수를) 곱하더라도 항상 일대일 대응이 된다.
4.1. 무한 공리
수학이 논리학의 일부임을 보이기 위해서는 수학의 기초적인 공리들이 논리학의 공리이거나 그것들로부터 도출된 명제여야 한다. 하지만 현대 수학의 기본 공리계인 ZFC 공리계에서 적어도 두 개의 공리( 선택 공리, 무한 공리)는 논리학적 명제가 아니다. 예를 들어 수학자들이 무한공리("무한집합이 존재한다")를 받아들이는 이유는 우리가 기본적으로 수많은 무한집합(자연수의 집합, 실수의 집합 등등)들이 존재한다는 것을 알고, 그 존재를 보장하기 위해서이다. 즉 무한공리는 이에 대한 개념과 그 내용을 받아들이는 것이지, 그 논리적 형식을 받아들이는 것이 아니다. 이러한 이유로 수학은 논리학에 속하지 않는다.5. 기타 여러 가지 무한대
보다 고급 해석학에서는 무한대를 수 체계에 편입시키기도 한다. 확장된 실수(expanded real number) 및 확장된 복소수(expanded complex number) 체계가 대표적. 여기서는 제한적으로 무한대에 대한 일부 연산이 허용되긴 하지만, 여기에서의 무한대는 실수가 아니다. 다루는 대상의 어떤 값이 발산할 수 있는 상황에서도 전개하는 논리가 일관성 있고 간결하게 서술되기 위해 사용되는 도구인데[3], 주로 측도론에서 이를 볼 수 있다. 측도론에서 다루는 측도가능한 (잴 수 있는; measurable) 부분집합들 중에는 무한히 넓은 면적을 가진 부분집합 또한 존재하고 이들 역시 빼먹지 않고 다뤄야 하는데, 만약 확장된 실수를 쓰지 않고 원래 실수만 가지고 측도론의 여러 성질들 및 정리들을 서술하려고 하면 유한한 면적을 가지는 상황과 무한한 면적을 가지는 상황 둘 혹은 그 이상으로 쪼개서 해당 내용을 서술해야 할 것이다. 이는 끔찍할 정도로 귀찮은 일인데, 확장된 실수를 도입하여 서술하면 굳이 그런 분할을 쓰지 않더라도 설명을 깔끔하게 할 수 있게 된다.[4] 다시 한 번, 여기서 사용되는 무한대가 진짜 수는 절대 아니고 단지 편의 상 도입된 도구임을 명심하자. 물론 비표준 해석학과도 별 상관은 없다. 하지만 어차피 측도론을 본격적으로 공부하는 시점에서 원래 실수에서의 해석학이 익숙하지 않으면 결코 안 될 것이고 그쯤 되면 어차피 무한대 관련된 오해를 할 일이 없을 터이니, 아무래도 상관 없을 일일 것이다.[5]수학자 존 호튼 콘웨이(John Conway, 1937~2020)[6]는 게임으로 수를 해석하는 독창적 관점을 제시하였고, 초현실수(surreal number)라는 개성있는 체계를 탄생시켰다. 이 수 체계는 무한대([math(\omega)]) 및 무한소([math(\epsilon)])를 포함하고, 이들을 이용해 [math(2\omega)], [math(\omega-1)], [math(\displaystyle \frac{\omega}{2})], [math(\omega^2)], [math(\sqrt{\omega})], [math(2\epsilon)], [math(\epsilon-1)], [math(\displaystyle \frac{\epsilon}{2})], [math(\epsilon^2)], [math(\sqrt{\epsilon})], [math(\omega+\epsilon)], [math(\omega-\epsilon)] 등등 자유자재로 연산을 할 수 있는 기묘한 체(field)이다. 그런데 신기한 것은, 무한대가 존재하는 이 수 체계에서도 '가장 큰 수'는 여전히 정의되지 않는다.
임의의 유한한 수보다 큰 수를 '초한수'(transfinite number)라고 한다. 그 예로 최초의 극한 순서수인 [math(\omega=\mathbb{N})], 무한집합의 크기(cardinality)를 나타내는 초한기수 [math(\aleph_0=\left|\mathbb{N}\right|)] 등이 있다.[다만]
5.1. 위상수학
국소 컴팩트(locally compact) 공간을 컴팩트화(compactification)시킬 때, 추가하는 원소를 흔히 [math(\infty)]로 표현한다. 추가된 원소 [math(\infty)]는 정말로 무한대처럼 작동한다. 예를 들어, 실수 [math(\mathbb{R})]을 [math(\bar{\mathbb{R}})]로 컴팩트화할 때, 함수 [math(1/x)]를, [math(\frac{1}{\infty}=0)], [math(\frac{1}{0}=\infty)]로 정의하여 확장하면 이는 연속함수이다.복소평면 [math(\mathbb{C})]에 무한대점[math(\infty)]을 취해 컴팩트화한 [math(\hat{\mathbb C})]는 구와 위상동형이고, 이 때의 위상동형함수는 극사영 함수(stereographic function)이고, 그 구는 리만 구(Riemann sphere)라 불린다. [math(\infty)]는 리만 구의 북극에 대응한다.
이를 이용하면 수열의 극한에서 무한대가 엡실론-델타 논법의 극한과 본질적으로 같다는것을 직관적으로 이해할 수 있다. 위 과정을 거쳐 [math(\infty)] 점이 추가된 집합에서는 무한대의 정의를 [math(\infty)]점과의 차이를 줄이는 것으로 설명할 수 있기 때문.
6. 창작물에 나오는 무한대
서브컬쳐물에선 주인공이나 악역이 "내 힘(or 능력)은 무한대다!" 라고 언급하기도 하는 데, "내 힘은 한계가 없으니 한계있는 너보다 강하다"라는 의미를 지니고 있다. 그러나 실제로 강하기보단 허세일 때가 많다. 악역들 대다수 이 말을 하고 주인공에게 잔뜩 털린다.판타지일 경우에는 마력이 무한대여서 마법을 자유자재로 사용하는 경우가 대다수이며, SF일 경우에는 영구기관에서 나오는 에너지를 무한동력이라고 언급하는 경우가 많다.
게임에서는 소모없이 아이템을 사용하거나 스킬/마법/자원을 원없이 활용할 수 있는 방식으로 구현된다. 기본적으로 치트다보니 사용/시전 횟수만 무한이거나, 실질적인 위력/효과가 약한식으로 밸런스를 맞추거나, 게임 막판에 얻거나, 숨겨진 요소 및 클리어 특전 형식으로 제공된다.
< 비데리 논 에쎄: 무한대로의 모험>처럼 아예 무한대 자체를 소재로 다룬 소설도 존재한다.
MBC에서 방영됐던 무한도전 또한 무한한 도전을 의미하기도 하며, 정준하는 이 프로그램에서 해골 무한 개를 먹은 적이 있다.
7. 현실
물론 무한동력이든 뭐든 일단 에너지 자체가 무한한 등의 요소는 없다. 플랑크 단위와 같은 극대, 극소의 요소가 있기도 하다. 그래도 빛의 속도에 근접할수록, 절대 영도에 근접할수록 요구 에너지나 기술력은 기하급수적으로 증가한다. 즉 현실에서는 아예 불가능한 것을 하는 난이도나 요구 에너지가 무한한 것이다. 그렇다면 과연 우주 너머의 공간은 무한한가? 우주의 개수는? 현재 기술력으로 알 수 있을 리가 없다.8. 약어
INFinity9. 관련 문서
[1]
수라고 생각할 수도 있으며, 상태로 생각할 수도 있다. 한없이 큰 무언가의 모임.
[2]
혹은 자연수
[3]
비슷한 예를 대수학에서도 볼 수 있는데, 다항식에서 0의 차수(degree)를 [math(-\infty)]로 종종 두곤 하는 것이 그 예이다. 물론 [math(-\infty)]은 0을 포함한 모든 자연수보다 (즉 다른 모든 다항식의 차수보다) 항상 작다. 이렇게 하면 많은 부분에서의 설명이 한결 간결해진다. 다만 모든 책에서 항상 보이지 않는데, 아무래도 측도론에서 확장된 실수를 적극적으로 쓰지 않으면 설명 및 서술이 고문(!) 수준으로 많이 힘들어지는 것과 다르게 대수학에서는 저거 안 쓴다고 심각할 정도로 분량이 늘어난다든가 할 일이 의외로 없어서 그럴 것이다.
[4]
무한대+실수 혹은 무한대+무한대 같은 연산이 제법 빈번하게 일어나긴 하지만 대부분의 경우 그냥 무한대로 쳐도 문제가 없을 뿐더러 자연스럽다. (어차피 앞서 언급한 일부 연산에서 이미 정의됐다) 게다가 무한대-무한대 같이 껄끄러운 상황은 의외로 잘 일어나지 않는다. 사실 그런 난감한 것이 나타날 상황 쯤 되면 무한대가 나올 케이스를 알아서 피해가긴 (아니면 알아서 피해가야 하긴) 하지만.
[5]
거꾸로 말하자면, 측도론을 제대로 시작하지도 못할 정도의 수학적 지식을 가진 채 확장된 실수를 가지고 무한대를 논한다든가 하면 곤란하다는 이야기이다. 만약 스스로 생각하기에 학부 (즉, 대학교 과정) 해석학도 제대로 소화하지 못한 것 같으면 (예를 들어
엡실론-델타 논법을 제대로 이해하지 못했다든가) 어디 가서 확장된 실수 같은 걸 논하는 것이 절대 좋은 생각은 아니라는 것이다. 사실 이건 확장된 실수 뿐만 아니라 이 문서에서 언급된 모든 무한대(+무한소)에 대해서도 마찬가지이다.
[6]
콘웨이의 생명 게임을 만든 그 콘웨이이다.
[다만]
기수(cardinality) 자체를 [math(|X|)]가 [math(X)]와 일대일 대응가능한 최소의 서수로 정의하는 것이 흔하고, 이 경우 [math(\aleph_0=\omega)]이다.