1. 개요
冪 函 數 / power function
[math(m\in\R)] 일때 [math(f(x)=x^m)]인 함수를 말한다.
[math(m)]의 값과 상관없이 [math(m)]의 값이 커질수록 [math(y)]축과 가까워지고, 항상 [math((1,1))]을 지난다. 모든 함수가 [math(|x|>1)]일 때 값의 변화가 더 많이 일어난다. 몇 가지 경우를 보자면
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[math(m\in\mathbb Q)] ([math(m)]이 유리수인 경우)
[math(m)]의 값에 상관없이 항상 공역이 생기지 않는다. 즉, 정의역과 치역은 모든 실수이다. - [math(m\in\Z)] ([math(m)]이 정수인 경우)
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[math(m\in\N)] ([math(m)]이
자연수인 경우)
[math(m)]의 값이 더 커질수록 [math(|x|<1)]일땐 변화가 더 적어지고 [math(|x|>1)]일 땐 변화가 더 커진다. -
[math(m\in2\Z)] ([math(m)]이
짝수인 경우)
항상 [math(x)]의 절댓값이 커질수록 값도 커진다. 즉, [math((-\infty,0])]에서는 값이 감소하고 [math([0,\infty))]에서는 값이 증가한다. -
[math(m\notin2\Z)] ([math(m)]이
홀수인 경우)
[math(m)]이 짝수일 때와 다르게 [math(x)]의 값이 증가할수록 값도 커진다. -
[math(m=0)]
[math(x)]축과 평행한 직선이 된다. -
[math(m\in\Z^-)]([math(m)]이
음의 정수인 경우)
[math(m)]이 음수일 땐 아예 분수함수가 된다. 그래서 [math(x=0)]일 땐 정의되지 않는 등 분수함수의 성질을 띈다. -
[math(m\in2\Z)] ([math(m)]이
짝수인 경우)
[math(|x|)]가 커질수록 값은 작아진다. 즉, [math((-\infty,0])]에서는 값이 증가하고 [math([0,\infty))]에서는 값이 감소한다. -
[math(m\notin2\Z)] ([math(m)]이
홀수인 경우)
[math(m)]이 짝수일 때와 다르게 [math(x)]의 값이 증가할수록 값도 작아진다. 구체적으로는 [math((-\infty,0])]에서는 값이 감소했다가 [math(x>0)]일 땐 값이 굉장히 커졌다가 다시 [math([0,\infty))]에서는 값이 감소한다. -
[math(f(x)=\dfrac am)] ([math(m)]이
정수가 아닌 유리수인 경우)
이럴 땐 무리함수가 되므로 무리함수의 성질을 띈다. -
[math(m\in2\Z)] ([math(m)]이 짝수인 경우)
[math(x<0)]일 땐 정의되지 않는다. 그렇기에 치역 또한 [math([0,\infty))]이다. -
[math(m\notin2\Z)] ([math(m)]이 홀수인 경우)
[math(m)]이 짝수일 때와 다르게 정의역과 치역은 모든 유리수이다. -
[math(m\in\mathbb I)] ([math(m)]이
무리수인 경우)
[math(m)]이 정수일 때와 비슷하나, 공역이 다음과 같은 차이가 생긴다. - [math(x\ge0)]일 경우는 실함수이고, [math(x<0)]일 경우는 복소함수이다. 즉, 평면좌표에서 치역은 [math([0,\infty))]이다.
- [math(m<0)]일 경우, [math(\operatorname{Re}(f(x)))]([math(x)]의 실수부)와 [math(\operatorname{Im}(f(x)))]([math(x)]의 허수부)는 [math(x)]축에 대칭이다.
2. 특징
2.1. 멱 규칙
멱함수는 생긴게 단순해서 미적분도 일정한 법칙에 따라 가능하다.2.1.1. 멱함수의 미분
[math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n=nx^{n-1})] ([math(n\in\mathbb Z)])
2.1.2. 멱함수의 적분
[math(\displaystyle \int x^n\,{\rm d}x=\dfrac{1-{\bold 1}_{\{-1\}}(n)}{{\bold 1}_{\{-1\}}(n)+n+1}x^{n+1}+{\bold 1}_{\{-1\}}(n)\ln |x|+C)] ([math(n\in\mathbb Z)])
[math({\bold 1}_{\{-1\}}(n))]는 [math(n =-1)]일 때 1, 그 외에는 0을 띠는
지시함수, [math({C})]는 적분상수다.