1. 개요
- 한자: 積 分
- 영어: integration
- 기호: [math(\displaystyle \int{})], [math(\displaystyle \iint{})][1], [math(\displaystyle \iiint)][2], [math(\displaystyle \displaystyle \oint, \oiint, \oiiint)][3] 등 (명칭: 인테그랄(integral)
적분, 더 정확하게는 정적분은 매우 작은 양(미분소)을 쌓아가는 것에 대한 체계적인 방법이다. 예컨대 고교과정에서 마주치는 간단한 경우로, 함수의 그래프 [math(y=f(x))]가 이루는 도형의 면적을 구하기 위해 '매우 작은 면적' [math(f(x)\,{\rm d}x)]를 켜켜이 쌓아가는 것을 예로 들 수 있다. 물론 원하는 값을 구하기 위해 대상을 잘게 쪼갠다는 발상 자체는 그래프 아래의 면적 이외에도 다양한 경우에 활용될 수 있으므로, 적분의 개념은 매우 다양한 분야와 상황에서 두루 쓰인다. 한자의 뜻도 "잘게 부순 것(分)을 쌓는다(積)"는 의미이니, 번역이 굉장히 적절하다고 할 수 있다.
적분은 크게 부정적분(indefinite integral)과 정적분(definite integral)으로 나뉘는데, 부정적분은 미분의 역연산이고, 정적분은 쉽게 말해 넓이나 부피 등을 구하는 계산법이다. (더 자세한 내용은 아래의 종류 문단 참고.) 실용적인 관점에서 부정적분보다 정적분이 훨씬 쓰임이 많으므로, '적분'이라고 하면 암묵적으로 정적분을 의미하는 경우가 많다.
정적분은 고대 이집트에서 나일강 범람으로 인해 바뀐 토지 면적을 정확하게 측량해 지주들에게 알려주기 위해 개발된 수학적 방법에 유래를 둔다. 그 방법은 '구분구적법'이라고 하는 것으로, 수열의 극한과 관련지어 이해할 수 있다. 이러한 극한은 주어진 구간을 무한대에 가깝게 많은 작은 구간으로 세분하는 것으로 생각될 수 있는데, 이는 '무한소'의 개념과 연관된다. 그러므로 정적분(그리고 부정적분)은 함수의 그래프가 이루는 기하학적 넓이를 구하는 것에만 그 쓰임이 국한되지 않고 여러 학문적 분야에서 두루 응용된다. 대표적으로 물리학에서는 속도를 적분하여 물체가 움직인 거리를 구하기도 하고, 경제학에서는 재화의 각 수량에서의 한계 효용을 적분함으로써 총 효용을 계산하기도 한다.
이렇듯 다양한 분야에서 활용되는 적분은 미적분학의 기본정리(the fundamental theorem of calculus)에 의해 부정적분과 정적분의 수학적 관계가 명확하게 밝혀져, 계산 과정이 복잡하고 번거로운 구분구적법 대신에 획기적으로 간단하고 편리한[4] 정적분을 사용하여 그 계산을 수행할 수 있게 됨에 따라 수학의 매우 중요한 분야로 발전하였다.
2. 적분의 역사와 발전 과정
그 유래에 대해 다양한 의견이 존재하는 미분[5]과는 다르게 적분은 고대 이집트에서 나일강 범람으로 농토의 넓이가 비주기적으로 변동함에 따라 발달하게 된 토지 측량술과 기하학의 산물인 구분구적법에 기초한다고 알려져 있다.적분학은 개요에 서술된 바와 같이 부피를 구하는 문제로부터 구분구적법이 발견되며 점차적으로 여러 수학자들에 의해 개발되고 다듬어진 학문의 갈래이다. 고대 그리스의 아르키메데스는 포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 이 영역에 내접하는 삼각형을 계속 그려서 각 삼각형 넓이의 합으로 구하였다. 소모법이라고 부르는 이 방법으로 아르키메데스는 원의 넓이와 구의 부피도 구하였다. 소모법에 의하지 않고, 넓이나 부피를 한없이 작은 부분이 무수히 많이 모여서 된 것으로 간주하여 구적법을 처음 생각한 사람은 요하네스 케플러다. 또한, 이탈리아의 수학자 카발리에리는 넓이를 폭이 없는 선의 모임으로, 부피는 두께가 없는 면의 모임으로 생각하였다.
독립적으로 발전되어 온 미분과 구적법은 아이작 뉴턴과 고트프리트 폰 라이프니츠에 이르러서야 이 두 개념 사이에 유기적인 관계가 있다는 것이 밝혀졌다. 해당내용에 대한 자세한건 미적분의 기본정리 문서를 참조.
오늘날과 같은 적분의 개념이 만들어지기 시작한 것은, 유계인 폐구간에서 연속인 함수의 정적분을 수학적인 극한의 개념에 의하여 정의한 오귀스탱 루이 코시 이후이다. 코시의 적분 개념은 유한개의 불연속점을 가지고 유계함수로 쉽게 확장되나, 불연속점이 무한히 많은 경우에는 그의 개념에 의한 적분이 불가능하게 된다. 이러한 개념을 확장하여 유계인 구간에서 유계인 함수[6]의 적분을 시도한 학자는 베른하르트 리만이다. 리만이 엄밀한 적분의 정의를 내림으로써 현대에서 사용되는 그것과 같은 의미의 적분이 정의되게 된다.
이후 리만의 적분에서도 한계점이 나타나기 시작하면서, 앙리 르베그와 로랑 슈바르츠 등에 의해 더더욱 엄밀해진다.
3. 종류
적분은 크게 2가지로 나눌 수 있는데, 미분의 역연산으로서 정의되는 부정적분, 함수를 계량[7]하는 정적분이 그것이다. 리만 적분, 스틸체스 적분, 르베그 적분 등은 정적분의 일종이며, 이상적분은 정적분의 극한에 불과하다.3.1. 부정적분
부정적분은 미분의 역연산이다. 즉, 함수 [math(f(x))]의 부정적분이 [math(F(x))]라고 함은 다음과 같은 뜻이다.[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x) = f(x))]
부정적분이 적용되어 나온 함수를 원래 함수의 '부정적분(indefinite integral)'이나 ' 역 도함수(antiderivative)' 혹은 ' 원시함수(primitive function)'라고 한다.[8][9][10]
3.1.1. 적분상수
[math(\displaystyle \int f(x)\,{\rm d}x = F(x) + \mathsf{const.})]
위 식에서 [math(\mathsf{const.})]가 적분상수이다.
상수는 미분하면 0이기 때문에, 어떤 상수 [math({\sf const.})]에 대하여, [math(F(x))]가 [math(f(x))]의 역도함수일 때 [math(F(x)+{\sf const.})] 마찬가지로 역도함수가 된다. 즉, 모든 역도함수를 구할 필요가 있을 경우, 한 역도함수를 구한 다음, 임의의 상수를 더하면 된다. 이 상수 [math({\sf const.})]를 '적분상수(Constant of integration)'라고 한다. 보통 [math(\mathsf{const.})]나 [math(C)][11], [math(D)][12] 등을 이용해서 표기한다. 위 식에서 [math(\mathsf{const.})]가 적분상수이다.
한편, 정적분이나 이상적분에서 미적분의 기본정리를 이용하여 계산할 때, (위끝을 대입한 값)-(아래끝을 대입한 값)을 계산하는 과정에서 상수가 상쇄되어 사라지기 때문에 적분상수를 굳이 적지 않고 계산한다.[13] 또한 미분 방정식에서 특수해를 구하는 과정에서 부정적분을 하는 경우, 단 하나의 부정적분만으로도 충분하므로 적분상수를 고려하지 않는다.
3.1.2. 부정적분표
3.1.3. 리시 방법
3.2. 정적분
3.2.1. 이상적분
3.2.2. 중적분
3.2.2.1. 선적분
3.2.2.2. 면적분
3.2.2.3. 부피적분
면적분의 한 단계 위 차원의 적분이다. 부피적분의 결과는 4차원이 된다.3.2.3. 스틸체스 적분
3.2.4. 르베그 적분
4. 적분의 기본성질
부정적분이 어떤 도함수의 미분 전 형태를 구하는 연산[14]임을 적용하여 적분의 기초적인 성질을 몇 가지 유도해낼 수 있다.어떤 함수 [math(f, g)]의 부정적분이 존재하고, [math(\alpha)]는 상수라고 하자.[15]
1. 적분의 합규칙:
[math(\displaystyle \int(f + g) = \int f + \int g)]
2. 적분의 상수배규칙:
[math(\displaystyle \int \alpha f = \alpha \int f)]
3. 적분의 선형성[16]:
[math(\displaystyle \int(f + \alpha g) = \int f + \alpha \int g )]
1. 적분의 합규칙:
[math(\displaystyle \int(f + g) = \int f + \int g)]
2. 적분의 상수배규칙:
[math(\displaystyle \int \alpha f = \alpha \int f)]
3. 적분의 선형성[16]:
[math(\displaystyle \int(f + \alpha g) = \int f + \alpha \int g )]
4.1. 증명
부정적분이 어떤 함수의 도함수를 계산하는 연산의 역산임을 고려했을 때, 미분가능한 어떤 함수 [math(u, v)]에 대하여 상수 차이를 무시하면 다음이 성립함은 자명하다:[math(\displaystyle u = \int \mathcal{D}[u] )]
[math(\displaystyle v = \int \mathcal{D}[v] )]
[math(v)]를 [math(\alpha)]배하고 서로 더하면
[math(\displaystyle u + \alpha v = \int \mathcal{D}[u] + \alpha \int \mathcal{D}[v] )]
미분의 선형성 [math(\mathcal{D}[u + \alpha v] = \mathcal{D}[u] + \alpha \mathcal{D}[v] )] 에 따르면
[math(\displaystyle u + \alpha v = \int( \mathcal{D}[u] + \alpha \mathcal{D}[v] ))]
이므로 [math(\displaystyle \int( \mathcal{D}[u] + \alpha \mathcal{D}[v] ) = \int \mathcal{D}[u] + \alpha \int \mathcal{D}[v])]이다.
[math(f = \mathcal{D}[u])], [math(g = \mathcal{D}[v])]라고 놓으면 적분의 선형성의 증명이 끝난다.
5. 기타
고등학교의 정의 방법이었으나 2015 개정 교과부터서는 정의나 서론으로 다루지 않고 '정적분의 활용' 단원에 편입되었다.그리하여 학생들은 적분이 그저 '미분의 역연산'이라고만 아는 상황이 벌어졌다. 실제로 dx의 뜻을 모르는 학생이 난무하다.
닫힌 구간 [math([a,\,b])]에서 연속인 함수 [math(f(x))]에 대한 정적분은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.
| [math(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \Delta x \quad \left( x_{k} = a + k \Delta x,\ \Delta x =\frac{b-a} {n} \right))] |
흔히 ( 고등학교 수학에서) 정적분을 정의할 때는 구간을 [math( n )]개로 등분하고 그 분할간 구간의 오른쪽 끝의 함숫값을 통해 리만합을 정의하고 그 극한을 통해 정적분을 정의하는데, 이것은 특수한 경우이지 일반적인 경우가 아니다. 일반적으로는 리만합은 [math( n )]개로 등분할 필요 없이 구간의 길이가 달라도 [math( n )]개로 분할이기만 하면 되며[17] 굳이 분할한 구간의 오른쪽 끝의 함숫값을 이용할 필요 없이 각 구간에 속하는 임의의 점의 함숫값을 이용하면 된다.[18] 근데 이렇게 '아무렇게나 하면 된다'라는 말이 수학적으로는 오히려 제일 표현하기 어려운 경우라서 고등학교에서는 그냥 '똑같이 나눠서 오른쪽 끝 값을 더한다'라고 "뭉뚱그려서" 표현하는 것이다.[19]
뉴턴이 프린키피아에서 '아무렇게나 하면 된다'라는 방식으로 적분의 개념을 설명한다. 수학 문외한의 입장으로 돌아가서 뉴턴의 설명과 한국 고등학교 교과서의 설명을 비교해보라. 뉴턴의 설명은 그것이 애초에 문외한들에게 설명하기 위한 방식이었음을 감안해도 (일단 그 적분이란 연산을 뉴턴이 만들었으니) 고등학교 교과서의 설명에 비해 이해하기가 매우 어려울 것이다. 이 "아무렇게나 하면 된다는 것"은 코시가 만든 엡실론-델타 논법의 핵심 내용이다.
그리고 정적분은 분할된 구간 중 가장 긴 구간의 크기를 0에 수렴하는 극한을 취한 리만합의 값으로 정의한다. 즉, 수식으로 따지면 다음과 같다.
|
[math(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \lim_{\max{\Delta x_k} \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n}f(x_k^*) \Delta x_{k} \right) \quad \left( \Delta x_{k} = \left| P_{k} \right|, \forall k\neq l, P_{k}\cap P_{l}=\varnothing, \bigcup_{k=1}^{\max{k}}P_{k}=\left(a,b\right)\right))] 여기서 [math(P_{k})]란 집합(구간)의 분할이며, [math(\left|P_{k}\right|)]는 [math(P_{k})]의 구간의 크기를 의미한다. 또한 [math(x_{k}^{*})]는 [math(P_{k})]에 속하는 임의의 점을 의미. |
특정한 함수의 특정 구간에서의 정적분을 구해야 하는데 그 함수의 부정적분을 구할 수 없을 때는 수치적분을 이용하면 근삿값을 구할 수 있다. 이를 이용하면 정의역을 적절한 개수로 분할하고, 분할점에서의 함숫값을 구한 다음 이를 토대로 정적분의 대략적인 값을 구할 수 있다. 고등학교에서 배우는 좌리만합과 우리만합을 이용할 수 있고, 이 둘보다 일반적으로 더 정확한 중점리만합을 쓸 수도 있다. 그러나 이 셋보다는 훨씬 오차가 작은 사다리꼴 공식과 포물선 공식(Simpson's rule), Hermite's rule 을 수치적분용으로 많이 쓴다. 일반적으로(함수의 종류에 따라 다르기는 하지만) 포물선 공식과 Hermite's rule이 상당히 정확한 값을 낸다. 당연하지만 많이 분할할 수록 일반적으로 더 정확한 값을 얻을 수 있다. 분할하는 구간이 2자리수가 되면 컴퓨터나 공학용 계산기를 쓸 수밖에 없다. 계산기 중에서 간단한 프로그래밍 기능 등이 있어서 함수식을 저장하고 독립변수의 값에 따라 종속변수의 값을 내게 할 수 있다면 편리하게 구할 수 있다.[20]
요즘은 컴퓨터 프로그램도 많이 좋아져서 매스매티카 등 계산 프로그램에서 부정적분, 정적분은 구하는데 해석학적 지식이 필요한 것이라도 어지간한 건 다 구해준다. Wolfram Alpha 같은 사이트 역시 마찬가지다.
그리고 정적분 값을 구해야 하는데 부정적분을 알 수 없을 때 치환 적분을 하거나 극좌표 혹은 구좌표계로 변환하는 방법을 쓰면 수학적으로 정확한 값을 구할 수 있는 경우가 있다. 대학교 수학(Calculus)에서 수많은 예를 보게 될 것이다. 또한 대학교에서는 여기서 끝나지 않고 차원을 확장해 이중, 삼중 적분(multiple integral)을 하거나, 특정 선 혹은 면을 따라 적분하는 선 적분(line integral), 표면 적분(surface integral), 부피 적분(volume integral) 등의 응용을 배우게 된다.
선적분, 면적분, 부피적분은 각각 단일적분, 이중적분, 삼중적분 기호 가운데에 고리가 들어가 있는 경우가 있는데([math(\oint)], [math(\oiint)], [math(\oiiint)]), 고리는 닫힌 형태의 구간을 의미한다. 시작점과 끝 점이 같기 때문에 구간을 표현할 때 보통 아래쪽 1개의 항만 적는다.
자연계열을 지망한다면 전공불문 피해갈 수 없으니 미리 적분과 친해지자.
6. 참고 문서
- 급수(수학)
- 미분
- AP 미적분학
- 면적분
- 미적분의 기본정리
- 미분방정식
- 미적분과 통계 기본
- 부분적분
- 부피적분
- 선적분
- 적분과 통계
- 중적분
- 치환적분
- 부정적분표
-
몬테 카를로 방법: 특정 구간에서 함수의 적분값을 근사적으로 구하는 방법이다. 수학적으로 엄밀한 방법은 아니지만 실용적으로 많이 사용한다.
7. 관련 문서
[1]
보통 이중적분을 표현하기 위해 사용함
[2]
보통 삼중적분을 표현하기 위해 사용함
[3]
보통 닫힌 영역(닫힌 곡선, 닫힌 곡면, 닫힌 부피 등) 위에서의 적분을 표현하기 위해 사용함
[4]
사실 깊이 들어가면 정적분도 마냥 간단하지만은 않지만, 구적법에 비하면 새발의 피이다.
[5]
뉴턴과
라이프니츠가 다른 분야를 연구하다 동시대에 독자적으로 개발하였다는 설이 지배적이다.
[6]
꼭 연속일 필요는 없다.
[7]
맥락에 따라 함숫값의 평균이 될 수도 있고, 함수 그래프 아래의 넓이가 될 수도 있다.
[8]
한국어에서 "적분"이라는 단어는 연산과 연산값 모두에 사용되는 반면,
영어의 경우에는 연산의 경우 integration(동사형: integrate) 연산값의 경우 integral로 구분하여 사용한다. 부정적분도 마찬가지로, 미분의 역연산으로서의 부정적분은 indefinite integration, 그 결과로서의 부정적분은 indefinite integral이라고 한다.
[9]
다만 integral은 '
정수(integer)'의 형용사형이기도 하여, 저자에 따라서는 integral number라고 쓰고 정수를 의미하기도 한다. 맥락에 주의.
[10]
최근에는
부정적분이라는 용어보다는
역도함수라는 용어가 더 자주 쓰이는 추세이다.
[11]
고등학교 교육과정에서는 [math(C)]가 사용된다.
[12]
이미 다른 적분상수가 있거나,
프레넬 코사인 함수를 쓰는 경우 등 [math(C)]가 이미 쓰였을 경우.
[13]
혹은 적분상수를 0을 선택한 것으로 보아도 무방하다.
[14]
[math(\displaystyle \int \mathcal{D} \left[f \right] = f + C )]
[15]
편의상
미분형식 [math(\mathrm{d}x)]는 생략했다.
[16]
위의 2가지 성질을 통합한 것이다.
[17]
단, 분할한 구간의 최대 길이는 [math(n)]이 무한히 커짐에 따라 [math(0)]으로 수렴해야 한다.
[18]
다만, 리만적분 가능성 자체가 보장된 상황이어야 한다. 리만적분이 불가능한 상황에서는, 분할을 어떻게 잡느냐, 또 분할된 각 소구간에서 sample point를 어떻게 잡느냐에 따라 값이 달라질 수 있다. 가령, 구간[math([0,1])]에서 리만합으로 리만적분을 계산할 때, 각 분할된 소구간 내에는 항상 유리수점과 무리수점이 존재하여서, sample point로 유리수점만 취한다면 리만합의 극한이 1이 나오고, 무리수점만 취하면 리만합의 극한이 0이 나온다. 요컨데, 리만적분가능성이 보장된 상태에서, 값을 구하고 싶을 때에 계산하기 편한 형태로 잡으면 되는 것이다.
[19]
비교해서 설명하자면, 미국 고등학교
AP 미적분학 BC 과정의 경우 오른쪽 리만 합(Right Riemann sum), 왼쪽 리만 합(Left Riemann sum), 중점 리만 합(Midpoint Riemann sum), 사다리꼴 근사(Trapezoidal approximation) 등을 모두 배우며, 리만 합을 사용할 때 굳이 해당 구간을 n등분하지 않는 경우 역시 가르친다.
[20]
카시오 9860G2는
베이직, Ti-nSpire 시리즈, 카시오 9860G3는
파이썬.