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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
圖 形 / shape도형은 기하학에서 다루는 모든 객체를 부르는 말이다. 보통 객체 그 자체를 말하거나 그것의 둘레 같은 경계부분을 말하기도 한다. 예를 들면 삼각형 같은 경우 속이 꽉 찬 삼각형 그 자체를 도형이라고 부르기도 하고 삼각형의 세 변의 모임만을 도형이라고 부르기도 한다. 그냥 기하학에서 다루는 "눈에 보이는 그림으로 묘사할 수 있는 개체"를 모두 말한다고 생각하면 편하다. 다만 보통은 경계가 유한한 객체만 도형이라고 부르고 있다. [1] 평면도형, 입체도형, 공간도형이 있으며 평면도형과 입체도형은 주로 초등학교 수학과 중학교 수학]]에서, 고등학교 이과생들이 배우는 기하와 벡터에서는 중1 때 배운 위치관계와 벡터를 접목한 공간도형을 다룬다. 일반화된 표현으로 다양체(manifold)가 있다.
2. 분류
도형은 워낙 광범위한 개념이기 때문에 상당히 많은 하위항목을 가지고 있다. 1차원 직선 위에 선분들의 모임도 도형이라고 부를 수 있으며, 실제로 묘사할 수 없는 4차원 이상의 객체도 도형이라고 부른다. 하지만 우리는 평면 위에 존재하는 평면도형과 우리가 있는 3차원 공간 안에 존재하는 입체도형을 주로 다룬다. 또한 그렇기에 점, 선, 면은 엄밀히 따져서 3차원에서 그릴 수 없다. 아무리 작게 점을 찍고 아무리 가늘게 선을 긋고 매우 얇은 면을 그리더라도 크기가, 폭이, 두께가 있기 때문.점, 선, 등등 모두 다 도형이다.
다만 단순하게 점을 크기가 없는 것, 선을 점이 모여 만들어진 도형이라고 정의하면 무언가 정의가 붕 뜨는 느낌을 주기 때문인지 아드리앵마리 르장드르의 정의를 따라 평행하지 않는 1차원 도형(선)/2차원 도형(면)이 만나는 부분이라고 정의하기도 한다. 그리고 이를 확장한게 바로 앙리 푸앵카레의 차원정리.
2.1. 점
0차원에 속하며, 크기라는 개념이 없는 가장 단순한 도형이다.2.2. 선
1차원에 속하며, 여러 개의 점들이 모여 이루어진 도형이다.2.3. 평면도형
말 그대로 2차원 공간 위에 있는 도형이다. 종이 위에 그릴 수 있는 도형이라고 생각하면 편하게 정의할 수 있다. 경계선이 직선 또는 곡선 여러 개로 이루어져 있다.2.4. 입체도형
3차원 공간 위에서 존재하는 도형이다. 경계는 곡면 또는 평면 여러 개로 이루어져 있다.2.5. 초입체도형
4차원 이상의 공간 위에 존재하는 도형이다.
[1]
해석학에서는 이 성질을 폐포(closure, 어떤 집합을 포함하는 최소한의 닫힌 집합, 쉽게 말하자면 그 집합 그 자체와 경계선에 있는 모든 점을 포함하는 집합이라고 보면 된다.)가
컴팩트(compact)하다고 부른다.