다면체

1. 개요

• 0차원: 꼭짓점은 변이 끝나는 점이다.
• 1차원: 변 또는 모서리는 꼭짓점과 꼭짓점을 연결하는 선이며, 면과 면의 경계선이기도 하다.
• 2차원: 면은 변들로 둘러싸여 있으며, 대체로 다각형이라는 평면 도형의 형태를 취한다.
• 3차원: 포(cell) 혹은 내부(body)는 면들로 둘러싸인 안쪽 부분을 말한다.

2. 공통 성질

• 유클리드 공간의 경우 곡면이 없다.
• 당연하다면 당연한 거지만 한 변엔 꼭짓점이 두 개고, 한 꼭짓점엔 적어도 변 세 개가 있다. 볼록다면체 한정.
• 오일러 지표 : 볼록다면체 한정으로 꼭지점의 수 - 모서리의 수 + 면의 수 = 2라는 등식이 항상 성립한다.[4] 오목다면체의 경우 2가 아닌 경우가 많다.
• 가향성(Orientability)
• 꼭짓점 도형(Vertex figure) : 한 다면체의 한 꼭짓점과 연결되는 다른 모든 꼭짓점들을 연결해 만든 평면도형. 이 도형이 정다각형일 경우, 이 다면체는 정다면체다.

• 쌍대성(Duality) : 모든 다면체는 원래 다면체와 같은 개수의 모서리를 갖고, 원래 다면체의 꼭짓점 자리에 면이 있으며 같은 오일러 쌍대다면체가 존재한다. 위 사진에서 정육면체의 쌍대는 정팔면체고, 정팔면체의 쌍대는 정육면체다.

3. 용어

• 점추이(Isogonal, Vertex-transitive) : 쉽게 말하자면 한 점에 모인 면들의 개수와 종류가 일정하다는 것. 예를 들어 한 꼭짓점에 정사각형, 정삼각형, 정오각형 각각 한개씩 모이면 다른 꼭짓점에도 똑같은 배치로 한 개씩 모여있다면 점추이.
• 변추이(Isotoxal, Edge-transitive) : 똑같이, 한 변에 모인 면의 크기, 종류와 배치가 일정한 것. 한 변에 삼각형, 오각형이 모여있으면 다른 변에도 같은 배치로 모여있다면 변추이. 여기서 toxal이란 말은 그리스어로 원호라는 뜻.
• 면추이(Isohedral, Face-transitive) : 한 면에서 모이는 면의 순서와 종류, 배치가 같은 것을 면추이라고 한다.
• 쌍대(Dual) : 쉽게 말하자면 면의 중심을 꼭짓점삼아 만든 짝도형. 정육면체- 정팔면체가 대표적인 쌍대이다.

3.1. 슐레플리 기호

• 정다면체는 {p, q}로 표시한다. p는 한 면에 있는 변의 개수, q는 한 꼭짓점에 있는 면의 개수를 의미한다. 예로 정사면체는 {3, 3}, 정육면체는 {4, 3}이다.
• {p, q}의 쌍대는 묘하게도 {q, p}가 된다.
• 준정다면체는 [math(\displaystyle\left\{p\atop q\right\})]로 표시하는데, p와 q 각각 두 쌍대 {p, q}와 {q, p}의 알파벳을 의미한다. 즉 준정다면체는 두 쌍대다면체 한쌍이 합쳐진 꼴.
• 더 자세히 들어가면 q는 다면체의 꼭짓점 도형의 변의 개수. 오목한 다면체에서는 이렇게 정의한다.
• 각기둥은 {n} × { }, 엇각기둥은 { } ⨂ {n}로 표시하는데, 여기서 { } 는 이각형 또는 선분을 의미한다.

4. 다면체의 종류

• 볼록 다면체 : 볼록. 모든 면끼리 교차하지 않는다. 오일러 지표가 2다.
• 오목 다면체 : 오목. 면들이 교차하기도. 오일러 지표가 제멋대로다. 한 꼭짓점에 들어가는 면들의 내각의 합이 360도 이상.
• Regular Polyhedron : 영어로 정다면체를 의미한다. 하지만 한국에서 사용하는 의미의 정다면체랑 약간 다른데, 정다면체라는 건 모든 면이 정다각형이며 합동이고, 한 꼭짓점에 들어오는 면의 개수가 같은 것을 의미하는데 별 정다면체의 경우 역시 한 면이 다른 면과 교차한다고 보는 것. 그리고 다각형 문서에 보면 정다각형에 또 펜타그램같은 도형이 포함되어있다. 그 결과로 이 두가지 볼록하고 오목한 두 다면체 분류가 하나로 나온 것이다. 점추이, 면추이, 변추이다. 재밌는 건 이 다면체의 쌍대는 이중의 다른 다면체라는 것.
• 정다면체(Platonic solids) : 정다면체. 모든 면이 합동이며, 한 꼭짓점에 들어가는 면의 개수가 같다. 그리고 결정적으로 볼록하다. 서양에서는 플라톤 다면체란 말로 별 정다면체와 구분하고 있다. 모든 정다면체의 개수는 5개이다. 유클리드는 각각의 다면체가 하나의 원소를 나타낸다고 생각했다. 다시말해 4원소설.[5]
• 정사면체({3, 3})
• 정육면체({4, 3})
• 정팔면체({3, 4})
• 정십이면체({5, 3})
• 정이십면체({3, 5})
• 케플러-푸앵소 다면체(Kepler-Poinsot Polyhedron) : 정다면체는 정다면체인데, 오목하게 들어가는 정다면체이다. 즉 오일러 지표가 2가 아니다. 총 4가지가 있다. 2개는 요하네스 케플러가, 2개는 푸앵소가 발견.
• 작은 별모양 십이면체
• 큰 십이면체
• 큰 별모양 십이면체
• 큰 이십면체
• 준정다면체(Quasiregular Polyhedron) : 변추이인 다면체. 이 정의로 자연스럽게 모든 면이 정다각형이다. 준정다면체는 위에서 알 수 있듯 서로 쌍대인 정다면체 1쌍이 합쳐진 꼴이다.
• 반정다면체(Semiregular Polyhedron) : 점추이지만 변추이와 면추이는 아니고 모든 면이 정다각형인 것들. 이것도 정의가 두가지인데, 어떤 사람들은 변추이와 면추이는 아니라는 사람이 있고, 어떤 사람은 '아닌' 게 아니라는 사람도 있다.
• 아르키메데스 다면체(Archimedean solid) : 기둥들을 뺀 모든 볼록 반정다면체들. 이중 2개는 준정다면체도 겸한다. 여기서 알 수 있듯이 아르키메데스가 연구를 시작했고 르네상스때 재발굴되어서 요하네스 케플러가 연구를 끝냈다.
• 각기둥(Prism)과 엇각기둥(Antiprism) : 위아래가 정다각형이고 옆면이 모두 직사각형인게 각기둥, 위아래가 정다각형이며 뒤틀리게 꼬인 각기둥이 엇각기둥.
• 고른 다면체(Uniform polyhedron) : 정다각형을 면으로 가지며 점추이인 다면체.
• 귀족 다면체(Noble polyhedron) : 점추이이고 면추이이지만 변추이는 아닌 특이한 다면체.
• 단체(Simplex) : 정다면체 중에서 가장 간단한 도형.
• 초입방체(Hypercube) : 정다면체 중 각각의 꼭지점이 직각을 이루는 도형.
• 정축체(Orthoplex) : 정다면체 중 각각의 꼭지점이 좌표축과 평행을 이루는 도형.

5. 확장

6. 다면체론과 관련 자료

7. 관련 문서

• 다각형
• 다포체
• 정다면체
• 준정다면체
• 빛나는 부등변다면체
• 축구공 - 피버노바까지 한정, 다만 일반용은 아직도 쓴다.
• 위상수학