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정다면체 Regular Polyhedron |
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플라톤 다면체 (볼록 정다면체) |
정사면체 · 정육면체 · 정팔면체 · 정십이면체 · 정이십면체 |
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케플러-푸앵소 다면체 (오목 정다면체) |
작은 별모양 십이면체 · 큰 별모양 십이면체 · 큰 십이면체 · 큰 이십면체 |
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| 정다면체 중 정이십면체의 모습. |
1. 개요
正 二 十 面 體, Icosahedron[1]꼭짓점 하나에 정삼각형 5개가 만나고 총 스무 개 면으로 이루어진 다면체. 정다면체들 중 면이 가장 많다.
정이십면체에서 두 면이 이루는 이면각의 크기는 [math(\displaystyle\sin^{-1}\frac{-\sqrt{5}}{3}\approx138.19^\circ)]로, 3개의 정이십면체가 한 모서리에서 만난다고 가정하면 414.57°로 360°를 초과하기 때문에 4차원 볼록 정다포체를 만들 수 없다.[2]
정이십면체에서 서로 마주보는 두 오각뿔을 잘라내면 엇정오각기둥이 된다는 점을 이용하면 엇정오각기둥의 한 이면각은 정삼각형 끼리는 약 ~138.1694°, 정삼각형과 정오각형이 만나는 곳은 약 ~106.4513°라는 것을 짐작할 수 있다.
2. 정이십면체에 대한 정보
| 단위/특성 | 개수 | 비고 |
| 슐레플리 기호 | {3,5} | |
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 12 | |
| 모서리(edge), 1차원) | 30 | |
| 면(face, 2차원) | 20 | 정삼각형 |
| 쌍대 | 정십이면체 {5,3} | |
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포함 관계 또는 다른 이름 |
비틀어 늘린 맞붙인 오각뿔 (Gyroelongated bipyramid)[3] 다듬은 사사면체 (Snub Tetratetrahedron)[4][5] |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정이십면체가 있을 때
외접구의 반지름 =[math(\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a)][6]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{12}a)]
겉넓이(surface area) = [math(5\sqrt{3}a^2)]
부피(volume) = [math(\dfrac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3)][7]≈2.1817a3
2.1. 다른 도형들과의 관계
- 정이십면체는 정십이면체와 쌍대(Dual)[8] 도형이다.[9]
- 정팔면체의 12개 모서리들을 잘 황금분할하여 서로 이으면 정이십면체가 된다.
- 정육백포체의 꼭짓점 둘레를 잘라내면 그 단면의 모양이 정이십면체이다.
- 3차원 정다면체들 중 4차원 정다포체의 구성 입체로 사용할 수 없는 도형이다.
3. 현실에서의 예시
- 수많은 바이러스
- 감마- 붕소(γ-boron)[11]
- 골프공[12]
- 지오데식 돔[13]
- 정이십면체 주사위 - TRPG(특히 D&D)의 상징같은 존재. 과거에 d10 (및 d%) 주사위가 없던 시절 십진법 주사위로도 많이 쓰였는데, 11~20을 다른 색을 칠한 면의 1~0에 대응시켜 운용되었다.
- 도직
4. 창작물에서의 예시
- 고양이: 새소년의 곡. 뮤직비디오에 나온다.
- 공주는 죽어서 키운다 - 유일신의 신력
- 메이플스토리 - 얼티메이트-무빙 매터: 검은색 정이십면체가 나온다.
- 별의 커비 64 - 미라클 매터
- Cell to Singularity - Semblance
- R-TYPE 시리즈 - R-TYPE FINAL의 스테이지 6.2 "역류 공간" 및 R-TYPE TACTICS와 R-TYPE TACTICS II에서 "다리스"라는 물체들이 나오는데, 분홍색에 크기가 비교적 작고 내구력도 약한 정사면체 다리스와 파란색에 크기는 비교적 크고 튼튼한 정이십면체 다리스로 총 두 종류가 있다.
- 스페이스 해리어 2 - 10스테이지 보스 Bins Been은 회전하는 정이십면체의 모습으로 플레이어에게 돌진한다.
- 스타크래프트 1: 아비터의 정지장(스테이시스 필드) 효과가 파란색 정이십면체이다.
5. 여담
정이십면체를 각 꼭짓점에서 모서리 부분을 잘라내면 축구공 모양이 나온다.d20으로 점을 칠수있는 Magic 8 Ball이라는 장난감이 있다.
[1]
복수는 Icosahedra
[2]
정이십면체로 오목 정다포체는 만들 수 있다.
[3]
정이십면체는 정오각뿔, 엇정오각기둥 그리고 다시 정오각뿔을 정오각형 면끼리 순서대로 붙여 만들 수 있다.
[4]
아르키메데스 다면체의 다듬기 항목 참조. 정사면체의 각 면을 띄워 놓고 각 꼭지점에 삼각형 5개를 끼워 서로 이어가면 만들어진다.
[5]
정팔면체의 다른 이름이 사사면체다. 이유는 항목 참조.
[6]
여기에서 φ는
황금비이다. [math(\displaystyle(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}))]
[7]
[math(\dfrac{5}{12}({3+\sqrt{5}}))]a^3=[math(\dfrac{5\varphi^2}{6}a^3)]
[8]
어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.
[9]
정이십면체는 한 꼭지점에 정삼각형 다섯 개가 만나기 때문에 {3, 5} 한 꼭지점에서 정오각형이 세 개 만나는 도형인 정십이면체{5, 3}와 쌍대 도형이다.
[10]
정확히는 약간 길쭉한 모양이나, 매우 유사하게 생겼다.
[11]
고압 환경에서 존재하는 붕소의 동소체이다.
[12]
잘 모르겠다면 골프공에 있는 딤플(골프공 표면에 존재하는 홈)을 자세히 보자. 가끔 예외인 골프공도 있을 수 있으나, 대부분의 골프공은 딤플들이 다른 딤플 6개로 둘러싸였는데, 단 12개 딤플만 다른 딤플 5개로 둘러싸였다. 이 12개 딤플을 이으면 정이십면체가 된다.
[13]
골프공과 마찬가지로 반드시 정이십면체 기반으로 만들 필요는 없으나, 대부분의 지오데식 돔의 경우, 정다면체들 중에서는 정이십면체가 구와 가장 가깝기 때문에 정이십면체를 기반으로 만들어진다.