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정다면체 Regular Polyhedron |
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플라톤 다면체 (볼록 정다면체) |
정사면체 · 정육면체 · 정팔면체 · 정십이면체 · 정이십면체 |
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케플러-푸앵소 다면체 (오목 정다면체) |
작은 별모양 십이면체 · 큰 별모양 십이면체 · 큰 십이면체 · 큰 이십면체 |
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| 정다면체중 하나인 정팔면체의 모습. |
1. 개요
正 八 面 體, Octahedron[1]한 개의 꼭짓점에 네 개의 면이 만나고, 총 여덟 개의 삼각형면으로 이루어진 다면체. 3차원 정축체(orthoplex)[2]이다. 또한, 정사각쌍뿔(square bipyramid)이며, 윗면과 아랫면이 정삼각형인 엇각기둥이기도 하다.
2. 상세
정팔면체 단독으로만은 정육면체와 같이 공간을 빈틈 없이 공간을 채울 수 없으나, 정팔면체의 면과 정사면체의 면을 이어붙이는 방식으로 함께 배열할 경우 공간을 빈틈 없이 채울 수 있다.[3]정팔면체 24개를 한 모서리에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 4차원 도형인 정이십사포체를 만들 수 있다. 물론 4차원 방향으로 접어야 하므로 현실에서는 불가능하다.
3. 정팔면체에 대한 정보
| 단위/특성 | 개수 | 비고 |
| 슐레플리 기호 | {3,4} | |
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 6 | |
| 모서리(edge), 1차원) | 12 | |
| 면(face, 2차원) | 8 | 정삼각형 |
| 쌍대 | 정육면체 {4,3} | |
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포함 관계 또는 다른 이름 |
3-정축체(3-Orthoplex) 사사면체(Tetratetrahedron)[4] 정사각쌍뿔(Square bipyramid) |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정팔면체가 있을 때
외접구의 반지름 =[math(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}a)]
모서리접구의 반지름 =[math(\dfrac{1}{2}a)]
내접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}a)]
겉넓이(surface area) = [math(2\sqrt{3}a^2)]
부피(volume) = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}a^3)]≈0.4714a3[5]
3.1. 다른 정다면체들과의 관계
- 정팔면체는 정육면체와 쌍대(Dual)[6] 도형이다. [7]
- 정팔면체의 각 모서리들을 황금분할한 점들을 서로 이으면 정이십면체가 만들어진다.
- 정사면체의 6개 모서리의 중심을 꼭지점으로 하여 정다면체를 만들면 정팔면체가 된다.
- 정팔면체를 단위체로 만들 수 있는 정다포체로 정이십사포체가 있다.
4. 현실에서의 예시
[1]
복수는 Octahedra
[2]
n차원 도형들 중 중심을 원점으로 놓았을 때, 직교좌표의 각 좌표축 방향으로 같은 거리에 있는 지점에 꼭지점이 존재하는 볼록 다면체
[3]
정사면체와 정팔면체의 이포각을 합치면 정확히 180°가 되며, 정오포체와 정육백포체의 이포각을 합치면 정확히 240°, {3,3,5/2}와 정오포체의 이포각을 합치면 정확히 120°로, {3,4,3}, {3,3,4}의 이포각가도 같아져서 그렇다. 120°에서 {3,3,5/2}의 이포각를 빼면 {3,3,3}, {3,3,4}와 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 {3,3,5}와 이포각이 같아지는 점을 이용해서 {3,3,3}, {3,3,4}, {3,3,5}를 각각 하나씩 배치해 유클리드 벌집을 만들 수 있으며 다른 방법으로는 {3,3,5/2}와 {3,3,5} 하나와 {3,3,3} 2개를 붙여서도 만들 수 있다. 3차원에서는 {3,3}과 {3,4}의 이포각의 합이 유클리트 타일링과 같은 180°이므로 유클리드 벌집 중에 면이 같은 {3,6}을 넣어서 {3,3}, {3,4}, {3,6}을 각각 하나씩 배치해야 한다. 사실 그 외에도 {3,5}와 {3,5/2}나 {5,3}와 {5,5/2}, {5/2,3}와 {5/2,5}의 이포각을 합쳐도 180°가 되긴 한다.
[4]
정육면체와 정팔면체를 모서리의 절반 지점까지 절단하면 육팔면체가 되고 정십이면체와 정이십면체의 모서리의 절반 지점까지 절단하면 십이이십면체가 되듯, 사면체 모서리의 절반 지점까지 자르면 정팔면체가 된다. 즉, 사사면체(Tetratetrahedron)는 정팔면체와 같다.
[5]
한 변의 길이가 같은 정사면체의 정확히 네 배이다.
[6]
어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.
[7]
정팔면체는 한 꼭지점에 네 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 4} 한 꼭지점에서 정사각형이 세 개 만나는 도형인 정육면체{4, 3}와 쌍대 도형이다.