정다면체

다면체 Polyhedron
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정다면체 Regular Polyhedron
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1. 개요2. 볼록 정다면체

2.1. 성질2.2. 정다면체의 이면각

3. 오목 정다면체4. 선과 점의 개수5. 측정6. 엄밀한 정다면체의 정의7. 둘러보기 틀

1. 개요

파일:external/1.bp.blogspot.com/regular+polyhedrons.jpg

正多面體 / Regular Polyhedron

기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종.

흔히 플라톤의 다면체라고 말하는 볼록 정다면체 5종과 일상적으로는 정다면체라고 부르지 않는 오목 정다면체 4종까지 일컫는 말. 따라서 정다면체는 모두 9개이다. 예로부터 정다면체는 다섯 가지만이 존재한다고 알려져 있었는데, 요하네스 케플러는 이 정의에서 사용하는 면을 오목정다각형까지 확장시켰고, 두 개를 정다면체의 개념에 추가하였다. 이후 푸앵소는 이 정의에서 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수를 분수번까지 확장시켜 케플러가 만든 다면체의 쌍대에 해당하는 두 개의 다면체를 찾아내었다.

주사위에서는 공평함을 위해 정다면체(특히 정육면체)를 쓰는 일이 많다. 반정다면체의 쌍대다면체인 카탈랑 다면체 등도 공평한 주사위로 쓸 수 있으나, 드문 편이다. 또한 10면체 주사위는 각 면이 연꼴(Kite)인 오각 엇쌍각뿔(Pentagonal trapezohedron)을 쓴다.

고대 원소설에 의하면 이 정다면체는 각각 원소를 뜻하며 정팔면체는 공기, 정이십면체는 물, 정십이면체는 에테르(혹은 우주), 정사면체는 불, 정육면체는 땅으로 봤다. 요하네스 케플러는 이것들이 지구를 에워싸고 있다는 우주론을 도상적으로 표현하기도 했다.

2. 볼록 정다면체

일반적으로 정다면체라고 하면 이 볼록 정다면체를 의미한다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체까지 5종류가 존재한다.

2.1. 성질

오로지 다섯 개의 볼록 정다면체만 존재한다는 것은 다음과 같이 매우 간단하게 증명할 수 있다.

다면체에서 최소한 세 개의 면이 있어야 하나의 꼭짓점이 만들어진다.
각 꼭지점과 접하는 면의 개수는 모든 꼭지점이 다 같아야 한다. [1]
각 꼭지각의 합은 360°보다 작아야 한다.
다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같다. 한편, 이런 꼭지각이 최소 세 개로 구성되므로 모든 꼭지각의 크기는 360°÷3=120° 보다 작아야 한다.
내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형 · 정사각형 · 정오각형 뿐이다.
정삼각형: 내각의 크기가 60°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 삼각형면의 개수는 3개 · 4개 · 5개이다. 이것은 각각 정사면체 · 정팔면체 · 정이십면체에 해당한다.
정사각형: 내각의 크기가 90°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 사각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정육면체에 해당한다.
정오각형: 내각의 크기가 108°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 오각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정십이면체에 해당한다.

오일러 지표를 이용하여 증명할 수 도 있으나. 사실상 위의 증명을 수치화한것에 가깝다.

2.2. 정다면체의 이면각

p각형 q개가 한 꼭지점에 만나 이루어진 정다면체 {p,q}의 이면각을 [math(\theta)]라고 하면, 다음 공식이 성립한다.

[math(\displaystyle\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\cos\left(\pi / q\right)}{\sin\left(\pi / p\right)})]

위 식은 {p,q}가 오목이거나 타일링이어도 적용된다.

{{{#!folding [증명]

한 변의 길이가 1이고, 면이 정p각형, 꼭지점 형태가 q각형인 정다면체 {p,q}의 일부를 위 그림과 같이 임의의 꼭지점 [math(\mathrm{V})]와 인접한 면만 남기고 자른다.

[math(\mathrm{V})]와 이웃하고, 순서대로 놓인 세 개의 꼭지점을 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})], [math(\mathrm{C})]라고 한다.
꼭지점 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})]를 포함하는 정다각형의 중심을 [math(\mathrm{E})]라고 하고, [math(\mathrm{B})]와 [math(\mathrm{C})]를 포함하는 정다각형의 중심을 [math(\mathrm{F})]라고 한다.

[math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{C})]에서 모서리 [math(\overline{\mathrm{VB}})]에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라고 한다.

마지막으로 면의 한 내각을 [math(\alpha)]라고 한다.

i. 이면각을 [math(\theta)]라고 하면, [math(\theta = \angle{\mathrm{HAC}})]다.

[math(\triangle{\mathrm{HAC}})]는 [math(\overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{CH}})]인 이등변삼각형이므로,

[math(\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\overline{\mathrm{AC}} }{2\overline{\mathrm{AH}} } )]
다.

ii. [math(\overline{\mathrm{AH}})]의 길이를 구하자.

[math(\triangle{\mathrm{VAB}})]의 넓이는
[math(\displaystyle = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{VA}} \times \overline{\mathrm{VB}} \sin{\alpha} = \sin{\alpha})]다.

또한, 선분 [math(\overline{\mathrm{AH}})]는 [math(\mathrm{A})]에서 [math(\overline{\mathrm{VB}})]에 내린 수선의 발이므로,
[math(\displaystyle \triangle{\mathrm{VAB}}\text{의 넓이} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{VB}} \times \overline{\mathrm{AH}} \\ = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AH}})]다.

따라서 [math(\overline{\mathrm{AH}} = \sin{\alpha})]다.

iii. [math(\overline{\mathrm{AC}})]의 길이를 구하자.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{AC}} &= 2 \overline{\mathrm{AB}} \cos\left( \frac{\pi}{q} \right) \\ &= 4\cos\left( \frac{\pi}{p} \right) \cos\left( \frac{\pi}{q} \right) \end{aligned})]다.[2]

iv. (ii), (iii)의 결과를 (i)에 대입하자.

[math(\displaystyle \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{2 \cos\left( \pi/p \right) \cos\left( \pi/q \right)}{\sin{\alpha}})]다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{\alpha} &= \sin\left( \frac{\left( p-2 \right)\pi}{p} \right) \\ &= \sin\left( \frac{2\pi}{p} \right) \\ &= 2\sin\left( \frac{\pi}{p}\right)\cos\left( \frac{\pi}{p} \right) \end{aligned})]
이므로,

[math(\displaystyle\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\cos\left(\pi / q\right)}{\sin\left(\pi / p\right)})]

이다.
}}}

3. 오목 정다면체

오목 정다면체에는 네 가지 다면체( 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체)가 존재한다.

4. 선과 점의 개수

아래에서 모든 볼록 정다면체의

V-E+F=2

가 나온다.
이를 오일러 지표라고 하는데, 모든 볼록 다면체에 대해 성립한다.
오목 다면체는 두 개는 2, 나머지 둘은 -6이다.

정다면체	꼭짓점의 개수(V)	모서리의 개수(E)	면의 개수(F)	면-모서리+꼭지점	구면적을 덮는 갯수(density)
정사면체{3,3}	4	6	4	2	1
정육면체{4,3}	8	12	6	2	1
정팔면체{3,4}	6	12	8	2	1
정십이면체{5,3}	20	30	12	2	1
정이십면체{3,5}	12	30	20	2	1
작은 별모양 십이면체{5/2,5}	12	30	12	-6	3
큰 십이면체{5,5/2}	12	30	12	-6	3
큰 별모양 십이면체{3,5/2}	20	30	12	2	7
큰 이십면체{5/2,3}	12	30	20	2	7

3차원 정다면체의 이포각은 다음과 같다.(오목 정다면체 포함)

{3,3} 정사면체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{3}\right))]≈70.52878° 부피≈0.1179a³
{4,3} 정육면체 [math(\cos^{-1}\left(0\right))]=90° 부피=1a³
{3,4} 정팔면체 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{3}\right))]≈109.47122° 부피≈0.4714a³
{5,3} 정십이면체 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right))][A]≈116.56505° 부피≈7.6631a³
{3,5} 정이십면체 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right))]≈138.18969° 부피≈2.1817a³
{5,5/2} 큰 십이면체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right))][B]≈63.43495°
{5/2,5} 작은 별모양 십이면체 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right))][A]≈116.56505°
{3,5/2} 큰 이십면체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right))]≈41.81031°
{5/2,3} 큰 별모양 십이면체 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right))][B]≈63.43495°

위에서 보듯이 {5,5/2}, {5/2,3}은 ≈63.43495° {5/2,5}, {5,3}은 ≈116.56515° 로 서로 이포각이 같다.

5. 측정

정다면체	슐레플리 기호	부피	근삿값	외접구의 반지름	근삿값
정사면체	{3,3}	[math(\dfrac{\sqrt2}{12}a^3)]	0.11785	[math(\dfrac{\sqrt6}{4}a)]	0.61237
정육면체	{4,3}	[math(a^3)]	1	[math(\dfrac{\sqrt3}{2}a)]	0.86603
정팔면체	{3,4}	[math(\dfrac{\sqrt2}{3}a^3)]	0.47140	[math(\dfrac{\sqrt2}{2}a)]	0.70711
정십이면체	{5,3}	[math(\dfrac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3)]	7.66312	[math(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a)]	1.40126
정이십면체	{3,5}	[math(\dfrac{15+5\sqrt{5}}{12}a^3)]	2.18169	[math(\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a)]	0.95106

6. 엄밀한 정다면체의 정의

정다포체는 그 flags[7]이 군의 작용 아래 추이적인 도형을 말하며, 유클리드 공간에서는 유클리드 군의 부분군에서 정의한다. 정다면체의 종류는 3차원에서만 이미 48가지이다. 심지어 {4,3,4}를 기반으로 한 uniform 벌집을 기반으로 만든 정다면체도 있는데 이들은 4차원으로 올라가면 정다포체나 아르키메데스 다포체를 응용한 상태로 하면 면의 수가 유한개일 수도 있다.[8]

위의 영상을 보충설명을 하자면 전개도 문서를 보면 평면은 곡률이 항상 0인데 비해 구는 곡률이 양수이기 때문에 아무리 구를 무한번 자른다 해도 무한정다면체를 만들 수 없으며 이들 꼭지점을 이을 수도 없다. 따라서 {6,3}, {3,6}, {4,4} 이들 타일링은 아무리 구를 무한번 자른다 해도 만들어지지 않는다. [9]

예외로 무한정다각형은 두가지로 나뉘는데 원을 무한번 잘라서 꼭지점들을 선분으로 이은 것, 내각이 180°라 원이 안만들어지며 직선에서 발산하는 것 이렇게 두가지 타입으로 나눌 수 있다. 다른 차원의 구와 달리 원은 전개도가 존재해서 그렇다.

군	도형
3차원 직교군 O(3)	볼록 정다면체(플라톤 입체) 5종
3차원 직교군 O(3)	오목 정다면체( 케플러-푸앵소 다면체) 4종
2차원 점군	정타일링 3종
3차원 점군	거듭정사면체
	거듭정육면체
	거듭정팔면체
-	앞의 언급한 것들의 페트리 쌍대 15
2차원 점군	섞인 무한면체 12종
	섞인 정타일링 3종
	나선 정타일링 3종
	섞인 페트리 정타일링 3종
	나선 페트리 정타일링 3종
3차원 점군	이분 거듭정육면체
	페트리 이분 거듭정육면체
	페트리 이분 거듭정육면체 쌍대
2차원 점군	삼중나선 정사각 타일링
2차원 점군	사중나선 정삼각 타일링
3차원 점군	꼬인 거듭정팔면체

그러나, 보통은 3차원 공간에서 구분되면서 동시에 유한한 플라톤 다면체와 오목 다면체 9종만을 정다면체로 간주한다. 이외에 정다면체의 일부 정의를 만족하는 같은 도형을 무한히 평평하게 배열하는 무한다면체인 정타일링 3종(정삼각타일링, 정사각타일링, 정육각타일링)만을 추가로 무한정다면체로 간주한다.[10][11] 해당 도형들은 유클리드 타일링이며 한 꼭지점에 모이는 정다각형의 내각의 합이 360° 이며 이면각이 [math(\cos^{-1}{-1})] = 180°이다.

전 차원을 통틀어[12] 정삼각형 타일링, 정육각형 타일링과 정십육포체 벌집, 정이십사포체 벌집만이 유클리드 벌집 계열 중에서는 자기쌍대가 아니다.

정다면체 타일링의 면, 모서리, 꼭지점의 갯수의 비는 다음과 같다.

정육각타일링 {6,3} 1:3:2
정사각타일링 {3,6} 2:3:1
정사각타일링 {4,4} 1:2:1

===# 쌍곡과 기타 도형들 #===
구면 상에서 다각형의 넓이를 구하는 [math(4\pi)]/([math(2\pi)]- 다각형의 구면 내부에서의 외각의 총합)을 해서 구하는 방법도 있다. 구면은 양수, 유클리드는 무한대, 쌍곡은 음수가 나오며 3차원에서 정다면체의 면의 수를 구하는 원리를 근본적으로 파악할 수 있는 방법이기도 하다.
{7,3}, {3,7}의 계열이나 {5,4}, {4,5}, 기타 {p,q}에서 [math(\displaystyle \frac{\left(p-2\right)q}{p}\times 180 \degree)]가 360°를 초과하는 경우는 hyperbolic tiling으로 따로 분류한다. 이들 중 콤팩트 쌍곡인 경우 푸앵카레 원반에 나타낼 수 있으며, 이들은 3차원에선 이면각이 음수로 나온다.[13] 그리고 이경우에는 3차원에서 면체 수가 음수로 나오게 되는 등, 일반적인 공식을 사용하면 직관을 벗어난 결과가 도출된다. {∞,n}, {n,∞}, {∞,∞}는 3차원에서 파라콤팩트가 된다. -∞≤cos<-1이거나 1<cos≤∞인 iπ/λ각형을 사용하면 3차원도 논콤팩트가 가능할 수도 있다.

또한 {7/2,7}, {7,7/2}, {9/2,9}, {9,9/2}, {n/2,n}, {n,n/2}, {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5}, {5,5/2,5,3} 와 같은 스타 쌍곡 벌집도 존재한다. n이 홀수일때만 성립한다. 구면, 유클리드[14], 쌍곡을 합쳐서 오직 2~5차원에서만 존재하는 형태이기도 하다.[15]

3차원에서 함수적으로 정다면체의 면수를 구하는 공식을 이용할 시 다음과 같다. 꼭짓점의 수를 구하는 공식은 {m,n}일 때, 360°에서 한 이포각의 크기가 p°인 정m각형이 한 꼭짓점에 n개만큼 모였을 때의 각도 즉 pn°의 값으로 720°를 나누는 것이다. 즉 정m각형의 한 내각이 p°일 때, 720°/(360°-pn) 인 셈. 이 공식을 이용했다면 면과 꼭짓점의 수를 모두 구할 수 있겠고, 이에 따라서 모서리의 수도 면과 꼭짓점의 개수의 합에서 2를 뺀 값이라는 것을 알 수 있다. 특히 그중에서도 자기쌍대라면 그냥 면과 꼭짓점의 수가 같으므로 이 값의 2배에 2를 빼주기만 하면 된다. 이 공식을 이용할 때 값이 정수와 나올 때도 있지만, 정수가 아닌 유리수가 되는 경우도 있이며 density를 고려하지 않은 값이다.

쌍곡	면	모서리	꼭지점
{7,3}	-12	-42	-28
{3,7}	-28	-42	-12

다만 {7,3}, {3,7} 같은 하이퍼볼릭 타일링의 경우 함수적으로 구할 시 이런 값이 나오지만 타일링을 정의할 수가 없어서 값이 없다고 하는게 옳다.

참고로, 3차원에서 슐레플리 기호가 {m,n}인 정다면체의 다각형의 수를 구하는 공식을 써보면 4n/(2m+2n-mn)이므로 이 성질을 이용하면 쌍곡 타일링은 면, 모서리, 꼭짓점의 수가 음수개인데, 이는 그것의 쌍대의 꼭짓점의 개수와 같으므로 슐레플리 기호를 거꾸로 뒤집은 쌍대의 면의 개수까지 구했다면 꼭짓점과 면의 수의 합에서 2를 뺀 값이 바로 모서리의 개수이다. 오목정다각형(유리수각형)이나 무리수각형, 심지어 이각형, 일각형, 영각형, 음수(마이너스)각형까지도 알 수 있다.

오목 쌍곡 타일링의 면, 모서리, 꼭지점의 갯수는 다음과 같다. density 고려한 값이 3이 나온다. 그리고 {n/2,n}, {n,n/2}도 추상적인 벌집이긴 하지만 density를 고려하여 면, 모서리, 꼭짓점의 수를 계산하면 {n,3}, {3,n}을 따라가는 걸 알 수 있을 것이다.

===# 오목 벌집의 조건 #===
왜 오목 벌집 중에서{n/2,n}, {n,n/2}만 쌍곡이 가능한지 설명한다면 이포각이 쌍곡인 것 뿐만 아니라 해당 쌍곡 타일링 내에서 선분들이 교차하는지까지 고려해야 오목 쌍곡 벌집이 성립한다. 쌍곡일 때 {n,3} 타일링에서는 계속 선분들을 연장할 시 {n/2}만 교점이 생기는데 이게 한점에 n개[16]만큼 모이다 보니 {n/2,n}가 만들어지는 것이며 쌍대인 {n,n/2}도 가능한게 된다. {n,3} 타일링에서 선분을 계속 연장할 시 {n/3}은 아예 교점이 생기지 않게 되어서 {n/3,?}, {?,n/3}에 들어가는 면이나 꼭지점의 갯수를 정의가 불가능하며 {n/4} 이상도 마찬가지이다. {n,4} 타일링에서는 아예 {n/2}조차 교점이 생기지 않아서 이들로는 오목하는 쌍곡 벌집을 만들 수 없게 된다. 결국 해당 쌍곡 내에서 선분을 연장시킬때 교점이 생기는 {n/2,n}, {n,n/2}의 형태만 가능하다는 것이며 {10/3,10}, {11/3,11}, {11/4,11}, {13/4,13}, {13/5,13}, {14/5,14}, {16/5,16}, {17/5,17}, {17/6,17}이나 이들의 쌍대도 추상적인 숫자라 볼 수 있다. 결국 이들은 몇개의 구면, 유클리드 평면 혹은 쌍곡 평면을 덮는 density값이 결정되지 않는다는 뜻이기도 하다. 그리고 정삼각형 6개가 한 점에 모이게 되면 360°가 되고, 그 이상이면 360°를 넘어서 쌍곡의 각도가 되는데, {5/2,3} 큰 별모양 십이면체, {3,5/2} 큰 이십면체도 실제로도 만들어질 수 있었다는 특성을 고려해본다면 {n,3}의 선분을 계속 연장할 때 해당 선분들로 삼각형을 만들려 하면 아예 삼각형의 점들이 만나지 않아서 이들도 만들 수 없다. 이 역시 {n,3} 타일링이라 할 때 해당 다각형의 꼭지점을 중심으로 반대되는 선분들끼리 이어서 삼각형이 만들어지면 {3,m/n}, {m/n,3}이 가능하다. 이때 n이 짝수각형이면 꼭지점에 반대되는게 꼭지점이라 불가능.[17] {3,3}도 반대되는 선분으로 만드는게 가능하지만 {3,3/2}이으로, 이각형 미만의 도형이라 구면상에서만 가능하며 {5,3}은 가능한 케이스이며 이렇게 이으면 삼각형이 만들어져 {3,5/2}가 되며 쌍대도 가능해진다. {7,3}나 이 이상은 삼각형을 만들려 하면 교점이 안생겨서 이포각이 쌍곡 이더라도 아예 불가능하다. 따라서 이러한 경우도 추상적인 형태가 되며 n이 5보다 큰 홀수일 때[18], 오로지 {n,n/2}, {n/2,n}의 형태만 가능하단는걸 알 수 있겠다.

===# 3차원에서 내각의 합이 360°인 값 #===
이포각의 크기에 따라 내각의 합이 360°이며 이포각이 180°가 되는 조건을 찾아본다.
n/m에서 n=2m+2인 경우 {n/m,n}나 {n,n/m}는 내각의 합이 360°가 되며 (n-2)(m-2)=4일때 타일링이 성립한다. {6,3}, {3,6}, {4,4}, {5,10/3}, {10/3,5}, {5/2,10}, {10,5/2}, {7,14/5}, {14/5,7}, {7/2,14/3}, {14/3,7/2}, {7/3,14}, {14,7/3}, {8,8/3}, {8/3,8}, {18,9/4}, {9/4,18}, {9/2,18/5}, {18/5,9/2} 등이 꼭지점에 모이는 내각의 합이 360°이며 이면각이 180°인 조합이다. 무리수로 넘어가면 {2+2√2,2+√2}, {2+√2,2+2√2} 등도 이게 성립한다. 한편 일각형 이하로 넘어가면 {1,-2}, {-2,1}, {-1,2/3}, {2/3,-1}, {-3,6/5}, {6/5,-3}, {-4,4/3}, {4/3,-4} {-6,3/2}, {3/2,-6} 등이 그래프 상으로는 이러하겠지만 이들은 어차피 이각형 미만의 도형이 들어가 다이곤, 스패리셀, 유클리드, 쌍곡을 논할 수가 없다. 이각형 미만이 다이곤, 스패리샐, 유클리드 쌍곡 중 어느것도 결정되지 않아서 그렇다. 3가지 예외도 있는데 이중에서도 영각형과 이각형이 들어간 {∞,2}[19], {2,∞}[20], {0,0}[21]이들은 여러가지 특징을 갖고 있다. 다만 이들 중 정규 타일링으로 만들어지는 것은 {6,3}, {3,6}, {4,4} 뿐이다.

이포각이 180° 미만이나 내각의 합이 360° 미만이어도 만들 수 없는 도형도 있는데 {3,7/2}, {7/2,3} 등이 이러하다. 이런 경우도 오목 정다면체가 만들어지지 않으며 구면 상에서 발산하는 형태로 나온다.

* 쌍곡다각형을 푸앵카레 원반에 나타낼 때의 경우
쌍곡다각형을 반지름이 2인 푸앵카레 원반에 나타낼 때는 공식이 다음과 같이 나온다.
구면다각형은 일반적인 다각형에 대해서 ([math(2\pi)] - 외각의 총합)이지만 쌍곡다각형은 푸앵카레 원반 상에서 일반적인 다각형에 대해서 -([math(2\pi)] - 외각의 총합)이 성립한다. 주의할 사항이 있다면 구면에서 면적이 양수인 다각형을 푸앵카레 원반에 놓으면 면적이 음수가 되며 반대로 푸앵카레 원반에서 양수인 다각형이 구면에 놓으면 면적이 음수가 된다.

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[1] 정사각형 6개를 붙여 육면체를 만들 수 있지만 어떤 꼭지점은 3개, 어떤 꼭지점은 4개의 면이 접하기 때문에 정육면체는 아니다. [2] 위 예시에서는 q=3으로, 빨간 선이 정삼각형이기 때문에 [math(\overline{\mathrm{AC}})]가 [math(\overline{\mathrm{AB}})], [math(\overline{\mathrm{BC}})]와 같으나, q=3가 아닌 경우 [math(\overline{\mathrm{AC}})]는 q각형의 대각선이므로 이와 같이 구해야 한다. [A] 약분하면 [math(\cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right))]이다. [B] 약분하면 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right))]이다. [A] [B] [7] ... - 면 - 선 - 점으로 이루어진 사슬 [8] 예를 들면 정팔포체의 모서리를 삼각형 모양이 뚫린 삼각기둥으로 만들면 유한개의 정사각형으로 {4,6}을 나타낼 수 있으며 토러스 형태인{4,4}도 4차원에서는 유한개의 정사각형으로 만들 수 있다. 엇각기둥 형태의 토러스라면 {3,6}도 유한개로 가능하다. 이외에도 정다면체를 4차원에서 나타낼 수 있는 것까지 고려한다면 영상에 나온 것보다 많이 존재한다. 다만 이들은 이면각이 일정하지가 않아서 밑에 있는 대수값 쌍곡을 적은것과는 성질이 다르다. [9] 군론의 언어로 설명하면, 구면 대칭군이 R^3 위의 점군에 엄격히(strictly) 속한다. [10] {6,3}, {3,6}, {4,4}의 경우 유한개로도 만들 수 있지만 이때는 해당 차원에서 정다각형으로 만들 수 없기에 정다면체의 정의에서 벗어나며 원환면 모양이 된다. {7,3}이나 {3,7}은 klein quartic의 형태로 만들 수 있으며 클라인 쿼틱 {7,3}은 면 24개, 모서리 84개, 꼭지점 56개이며 클라인 쿼틱 {3,7}은 면 56개, 모서리 84개, 꼭지점 24개가가 나온다. 4차원 이상에서 면추이를 만족하는 조건을 포함하면 정다각형도 가능해진다. [11] 차원을 더 늘려서 {4,3,4}의 경우 원환면 모양으로 구멍이 뚫린 원환면 모양으로 만들 수 있다. 다만 구환체 모양이나 타이거 형태는 아니며 다이토러스(ditorus) 형태이다. [12] 3차원 2개, 5차원 2개. [13] 3차원에서 이각형 이상의 자연수각형인 쌍곡 타일링은 이면각이 [math(\cos^{-1}{n})]에서 n값이 ∞≤n<-1이 된다. 즉 이면각의 cos값이 -1보다 낮아진다는 뜻이며 각도로 나타낼 수 있는 범위를 벗어나게 된다. 이때 sin값은 허수로 나오며 역시 각도로 나타낼 수 있는 범위를 벗어난다. [14] 유클리드은 별모양 벌집 형태가 없다. [15] 다만 3차원에서의 {7/2,3}, {3,7/2} 등과 같이 한 꼭짓점에서의 이포각의 합이 360° 미만이어서 이포각 측정이 가능한 것이 존재한다. {7/2,5}, {5,7/2}, {9/2,4}, {4,9/2}처럼 내각의 합이 360° 초과하여 쌍곡의 이포각 각도가 나오더라도 쌍곡 내에서 결정이 안되어 추상적인 숫자가 되어버리는 경우도 존재한다. {10/3,10}, {10/3,10} 등과 같이 n이 3 이상의 자연수일 때, {m/n,m}, {m,m/n}, {m/n,3}, {3,m/n} 계열이나 k가 4 이상의 자연수일 때, {m/n,k}, {k,m/n} 계열 역시 쌍곡의 각도가 나오게 된다 하더라도 쌍곡이 될 수 없다. [16] 각도가 (360/n)° [17] 예외로 {6,3}은 유클리드 타일링이라 좀 다른 형태로 이을때 교점이 무수히 많이 생기지만 그 교점들을 이으면 비율이 커진 {3,6} 타일링이다. [18] 구면상에선 2 이상 [19] 꼭지점에 모이는 내각의 합이 360°이지만 이면각이 0°가 된다. [20] 꼭지점에 모이는 내각의 합이 0°이지만 이면각이 180°가 된다. [21] 그래프 상으로는 타일링이지만 다면체 수가 1이라 여기서도 논하기가 좀 어려워진다.