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| 구면 상 하나의 선분으로 구성된 일각형. |
一 角 形 / monogon
오직 한 개의 변과 한 개의 각으로 이루어진 도형. 오직 하나의 점 자기 자신을 선분으로 이어 다시 만나게 만들 방법이 없는 유클리드 기하학에서는 당연히 불가능한 도형이지만 최단거리의 정의가 유클리드 기하학과 다른 비유클리드 기하학에서는 가능하다. 대표적으로 직선을 그었을 때 그 직선이 자기자신과 다시 만나게 되는 구면기하학에서 가능하다.[1] 자기 자신의 경선이 이루는 각은 무조건 180º가 된다. 그리고 구면기하학에서 일각형이 들어간 정다면체는 {2,1}, {1,2}만 나타낼 수 있기도 하다. {1,1}, {3,1}, {1,3}과 같은 형태는 구면기하학 상에서도 그릴 수 없다는 말도 된다.[2] 4차원에서도 {2,2,1}, {1,2,2}, {2,1,2}, {1,2,1}, {n,2,1}, {1,2,n} 형태만 초구에서 나타내는 것이 가능하며 모든 차원에서 1은 반드시 2가 이웃한 것들만 n차원 구면 기하학에서 나타내는 것이 가능하다.[3] 즉 4차원에서도 {3,2,1}, {1,2,3} 이런 형태는 가능하지만 {3,1,3}, {1,3,1}, {3,3,1}, {1,3,3} 이런 형태는 구면기하학에서조차 나타낼 수 없다는 뜻이다.
구면에서는 어떤 점에 대해 줄자를 대고 그으면 자연스럽게 일각형이 만들어진다. 물론 정확한 구여야 하며 타구에서는 안만들어지는 경우도 있다. 구면에서의 직선은 3차원 관찰자가 바라봤을 때 무조건 반지름이 구면과 같은 원(대원)이므로, 어떤 경로를 선택하든 만들어진 일각형은 모두 정일각형이며, 모두 변의 길이가 같은 합동이다.
일각형은 이각형에 비해서도 많은 조건들을 만족시키지 못한다. 퇴화(degenerate polytope)라고도 불린다. 구면 기하학에서는 그릴 수 있지만 평면 상에서는 절대로 그릴 수 없는 도형이기도 하다.
[1]
이는 직선이 기본적으로 '선분의 양 끝을 무한히 연장시킨 도형'이라는 것에서 기인한다. 구면기하학에서의 선분은 3차원 관찰자인 우리가 바라보았을 때 원호의 형태와 같은데, 원호를 같은 방향으로 구면 위에서 무한히 연장하면 당연히 구면 위의 직선, 즉 원이 되기 때문이다. 직선에 대한 개념을 유클리드 평면에서의 경우와 혼동하지 않도록 주의가 필요하다.
[2]
구면기하학에서 다각형의 최소 임계점은 [math(4\pi)]/([math(2\pi)]- 다각형의 구면 내부에서의 외각의 총합)에서 구면 전체를 덮는 1이 나오는 값에 해당하며 대수적으로만 따져도 {2,1}, {1,2} {3,6/5}, {6/5,3}, {4,4/3}, {4/3,4}, {5,10/7}, {10/7,5}, {6,3/2}, {3/2,6} 등이 해당된다. 이 이하는 구면기하학에서 조차 나타낼 수 없는 새로운 형태이며 하이퍼볼릭 공간으로 넘어가는 것들도 존재한다. {2,1}과 {1,2}는 바로 임계점에 해당하는 형태이기도 하다.
[3]
이는 듀오프리즘 원리와도 비슷하다.