1. 개요
프랙털은 수학, 기하학 연구 분야 중 하나로서, 자기유사성을 갖는 기하학적 구조를 뜻한다. 쉽게 말하면 어떤 도형의 작은 일부를 확대해 봤을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형에 관한 연구이다.자기상사, 병리적[1]이라는 다른 단어로 표현하기도 한다.
2. 역사 및 의의
프랙털(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙털의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 예를 들면 카를 바이어슈트라스가 제시한 전구간 미분불능 연속함수는 프랙털의 성질을 보이고 있으며, 더 거슬러 올라가면 야코프 베르누이가 로그함수를 극좌표로 표현하면 자기유사성을 띠는 나선이 됨을 발견한 것이 있다. 어원은 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했다. 어원 정보프랙털 이론은 1975년 망델브로 집합을 연구하면서 시작되었으며, 그 이후로 많은 사례들이 발견되었다. 그 후 자연계가 통계적인 프랙털[2] 모양을 하고 있다는 사실이 밝혀지면서 카오스 이론과 접목시켜서 자연을 모델링 하는데에 굉장히 유용하게 사용된다. 특히 망델브로 집합의 경계면에서는 극도로 미세하게 값이 달라져도 발산하거나 수렴하게 되는데 초기 조건에 극히 민감한 결과를 갖는 시스템이라는 성격에 잘 부합된다.
고사리의 잎 윤곽이나 나무가 가지를 뻗는 양상, 리아스식 해안선의 모양, 브라운 운동의 궤적 등 많은 것들이 자기유사성을 가지고 있다. 심지어 주식의 변동곡선도 하루 동안의 변화, 한 주 사이의 변화, 한 달, 1년 사이의 변화가 비슷한 형태로 나타나는 자기유사성을 띠고 있다.
이러한 프랙털의 자기복제적인 특징들은 아주 간단한 법칙도 되먹임하면 복잡한 양상을 이끌어낼 수 있음을 보여주고 있다. 이것은 전술한 대로 혼돈 이론을 묘사하는 도구 중 하나일 뿐 아니라, 진화론상의 빈틈을 메꿔줄 도구로 사용될 수도 있다. 즉, 생물이 나타내는 복잡한 구조가 반드시 기적적인 우연을 필요로 하는 것은 아닐 수 있다는 주장이다.
<프랙털 항구>
컴퓨터상으로 몇 가지 간단한 재귀함수를 통해 구현할 수 있다. 예를 들면 이런 것.
<프랙털 이론을 응용하여 산의 모습을 만드는 과정>
어디서 많이 보던 형상이 아닌가하고 생각할텐데, 바로 3D 모델링 방법 중 그 유명한 테셀레이션이다. 기술발전이 미미하던 과거에는 프리렌더링용 기법이었지만 DirectX11 이후 리얼타임으로도 구현이 되어 간단한 도형가지고도 복잡한 모델을 구현할 수 있게 되었다.
프랙털 도형의 면적을 구하는 문제가 매년 대학수학능력시험에 출제되고 있으며, 이 경우 무한등비급수의 성질을 이용해 계산하는 문제로 나온다. 사실 무한등비급수를 요약하면 동일 과정의 무한 반복이니 프랙털과 접근법이 똑같기 때문이다.021년 11월 시행된 2022학년도 대학수학능력시험에서는 출제되지 않았다. 단순 등비급수 계산 문항이 출제되었다. 대통령실 수능 개입 파문의 영향인지 2024학년도 대학수학능력시험부터는 출제되지 않고 있다.
마이클 크라이튼 원작 소설 쥬라기 공원에도 소개되는데 등장 인물중 이안 말콤박사가 프랙털 이론을 언급하는 장면이 나온다.
일견 자명해 보이는 조르당 곡선 정리의 증명에 대수적 위상수학을 쓰게 만든 원흉 중 하나이다. 조르당 곡선 정리를 쉽게 말하면 '폐곡선의 안과 밖을 나눌 수 있다'는 간단한 정리인데, 이 프랙털 구조와 실해석학이 만들어낸 온갖 기괴한 모양의 곡선들 때문에 증명이 쉽지 않다는 것을 깨닫았고, 대수적 위상수학을 사용해 어렵게 증명에 성공했으나 오스월드 배블런(Oswald Veblen)에 의해 오류가 있었음이 밝혀졌다가 토마스 C. 헤일즈(Thomas C. Hales)가 조르당의 증명에 문제가 없음을 밝혀냈다. 나중에 이것을 더 강화시킨 조르당-쇤플리스 정리가 있었지만, 3차원에서는 알렉산더의 뿔난 구라는 괴물을 만나서 고차원으로의 확장은 맥없이 무너졌다.
또한 테트레이션 연산을 복소수에 무한 번 적용할 경우 프랙탈이 형성됨을 볼 수 있으며, 수렴에서 나오는 값이 발산하는 수에 비해 훨씬 많음이 최근의 연구를 통해 확인되었다. #1 #2 #3
3. 차원
프랙털 이론에서는 차원을 정의하는 방식을 달리하여 정수가 아닌 차원까지 생각할 수 있는데, 이를 하우스도르프 차원이라고 한다.4. 프랙털 도형의 종류
- 코흐 곡선
- 시어핀스키 삼각형 / 양탄자 / 피라미드[3]
- 시어핀스키 카펫
- 드래곤 커브
- 멩거 스펀지
- 리아스식 해안선 - 해안선 역설
- 뉴턴 프랙털[4]
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칸토어 집합
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좀 특이한 집합인데, 총 측도(길이)는 0[5], 그런 주제에 구멍이 듬성듬성한데도 집합 농도는 실수와 같은 집합이다.[6] - 쥘리아 집합[7]
- 망델브로 집합[8]
- 알렉산더의 뿔난 공 - 원환면을 부분을 잘라서 다른 원환면을 만들어 교차하고 무한반복한 결과물로 그 결과 구와 동형이 되는 다양체이다.
- 종이를 구겨서 만든 공 - 농담이 아니라 실제로 임의로 생성된 프렉털로 간주되는 도형이다 #
- 브로콜리와 콜리플라워 - 국내 과학자가 하우스도르프 차원을 측정한 논문이 있다. 브로콜리의 하우스도르프 차원은 ~2.7 #
5. 관련 영상
아래의 2D, 3D등의 분류는 해당 프랙털이 어느 좌표계( 복소평면 등) 위에 그려지느냐에 따라 임의로 나뉜 기준으로, 실제 프랙털은 하우스도르프 차원을 가진다.5.1. 2D 프랙털
프랙털 도형은 특정한 과정을 무한히 반복해서 만들어지는 도형이고, 넓이는 유한하지만 표면적(2차원에서는 둘레)이 무한하기 때문에 특정 부분을 확대하면 특정 패턴이 무한히 반복된다.아래는 인터넷에 한때 유행했던 프랙털 도형 확대 영상들이다.
- 망델브로 집합
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일반적인 확대 영상
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도형 속에서 여러가지 작품을 찾아보는 영상
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지루한 확대와는 달리 이 영상은 초고속 확대를 시도한다.
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패턴이 움직이는 영상
이러한 영상들을 끝낼 때는 마지막에 첫 도형과 같은 도형으로 끝내는 경우가 일반적이다.
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줄리아 집합
보는 사람에 따라서 어지러울 수도 있다.
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구글의 인공지능 '
Deep Dream'이 생성한 프랙털. 갈수록 사람에 따라 심기가 불편할 수 있다.
열람 주의
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무한 지수 탑 함수
무한 지수 탑 함수 (Power Tower 함수)는 수렴하는 값과 발산하는 값으로 나뉘어지며 그것에 따라 복소평면에 표시할 경우 손가락이 무수히 돋아난 특유의 프랙털을 발견할 수 있다. -
해설이 포함된 영상 (한국어)
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직접적으로 확대하는 영상
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z의 628,318,530
제곱 함수의 프랙털 구조. 무한 지수 탑 함수의 것과는 한없이 작지만, 그 프랙털의 특징은 가시적으로 확실히 드러나는 편이다. 무한지수 탑 함수와 달리 수렴값의 전체적인 모습이 원으로 바뀌어 있는데,
이는 지수가 628,318,530로 어마어마하게 크더라도, 지수 탑으로 바꿀 경우 무한 지수 탑 함수의 지수 탑 규모에 비해 한없이 작으며 결국 유한하기 때문이다.
5.2. 3D 프랙털
이하는 3D 애니메이션으로 구현한 프랙털 도형들. 잘 만들어진 영상은 그 특유의 장엄함으로 인해 인기를 끌기도 한다.개인에 따라 조금 징그럽단 느낌이 들 수 있으니 주의.
동영상 제목이 Like in a dream (꿈만 같은)이다. 이미 꿈의 스케일을 벗어난 듯한 동영상이지만.
시에르핀스키 정이십면체.[9]
위의 2D 프랙털 영상과 합쳐놓은 듯한 컨셉의 영상. 처음에는 장엄하게 가다가 확대를 시작한다.
시에르핀스키. 이번에는 축소하는 동영상이다.
Ray Marching 기법을 이용한 특수한 렌더링 엔진으로 여러 가지 3D 프랙털을 실시간 렌더링하는 모습. 이 동영상에서 원리가 설명되어 있다.
5.3. 4D 프랙털
망델브로 집합을 4D에 구현한 영상.
6. 용례
- 마블 시네마틱 유니버스 영화인 앤트맨, 닥터 스트레인지와 가디언즈 오브 갤럭시 VOL.2에서 신비로운 분위기를 연출하기 위해 3D 프랙털을 사용하였다.
- 리듬게임 BGA 중에서는 Aleph-0가 3D 프랙털을 적극적으로 활용하여 수학적 컨셉을 웅장하게 살렸고, Hypernaid는 초현실적인 분위기를 연출하기 위해 잠깐 활용하였다.
- 니팔자야 뮤직비디오의 초반에 망델브로 집합을 확대하는 장면이 있다.
- 쥬라기 공원에도 프랙털을 이용한 CG가 이용되었다.
- 카도: The Right Answer에서 카도의 모양이 3D 프랙털이다.
- 태영건설 데시앙 CF에서 프랙털을 사용하였다.
- 시리악 해리스의 작품에도 프랙털이 많이 등장한다.
- 퍼즐 인디 게임 중에는 특정한 공간이 내부에서 무한히 반복되는 기믹이 자주 활용된다. 그 대표적인 예시가 'game inside a game inside a game'과 ' Patrick's Parabox'.
7. 여담
- 나무위키 주석으로 프랙털[10]을 구현할 수 있었으나 서버에 큰 부담을 주게되는 기능인 탓에 수정되었다. 현재는 할 수 없다.
- 카오스 게임(Chaos Game)으로 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있다. 방법은 다음과 같다.
- 삼각형 안의 아무 점에서 시작한다.
- 그 점과 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나를 선택해서 중점을 구한다.
- 2에서 구한 중점을 표시하고 다시 그 중점과 다시 아무 꼭짓점 사이의 중점을 구한다.
- 3을 무한히 반복하면 삼각형 위에 표시한 중점이 시에르핀스키 삼각형을 이룬다.
- 고사리의 잎모양이 프랙털과 관련이 있다. 프랙털 도형처럼 작은 잎과 큰 잎의 모양구조가 뜯어보면 상당히 유사하기 때문이다. 참고
[1]
'병리적'이라는 단어는
실해석학의 시각에서 본 단어인데, 일반적인 수학적 대상(그 중에서도
함수)과는 동떨어진 성질을 갖고 있어서 붙여진 이름이다.
[2]
완벽한 프랙털은 아니지만 대충 프랙털처럼 생긴 것.
[3]
사실 이것 말고도 문자로도 구현이 가능하다.
[4]
3Blue1Brown의 설명. 뉴턴-랩슨법이 어떻게 프랙털로 연결이 되는지 시각화해서 보여준다.
[5]
매 과정을 거칠 때마다 길이가 [math(\frac{2}{3})]배로 줄어들기 때문에, 이 과정을 무한히 반복하면 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( \frac{2}{3} \right)^n=0)]이 되기 때문이다.
[6]
구간 [math(\left[ 0,1 \right])]의 수직선 구간에서 만들어진 칸토어 집합은 3진법으로 [math(0.a_{1} a_{2} a_{3} \cdots)]으로 표현할 수 있으며, 각 자리가 0 혹은 2가 된다. 즉, 칸토어 집합을 [math(C)]라고 하면, [math(\displaystyle \forall x \in C, x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{3^k})](단, [math(a_k)]는 0 혹은 2)을 만족한다. 그런데, 3진법 소수에서 2진법 소수로의 대응함수 [math(f)]를 [math(\forall x \in C, f \left( x \right) = f \left( \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{3^k}} \right) = \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2^{k+1}}})]와 같이 대응시킬 수 있다. 이 함수의 치역은 2진법 소수로 [math(\left[ 0,1 \right])]의 구간이기 때문에, 칸토어 집합과 [math(\left[ 0,1 \right])] 사이에 일대일대응이 성립하여, 실수 집합과 농도가 같게 된다.
[7]
만델브로 집합의 일부분이기도 하다.
http://www.youtube.com/watch?v=px4mqU9ZTSA
[8]
가끔 사상 최악의 방사능 오염치를 보였다는 미스테리 서클 사진으로 올라오고는 하는데 믿지 말자. 말했다시피 이건 프랙털 이미지일 뿐이다.
[9]
참고로 베이스가 되는 건
정이십면체이다.
[10]
순환참조에 가깝다.