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정다면체 Regular Polyhedron |
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플라톤 다면체 (볼록 정다면체) |
정사면체 ·
정육면체 ·
정팔면체 정십이면체 · 정이십면체 |
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케플러-푸앵소 다면체 (오목 정다면체) |
작은 별모양 십이면체 ·
큰 별모양 십이면체 큰 십이면체 · 큰 이십면체 |
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| 정다면체중 하나인 정육면체의 모습. |
1. 개요
正 六 面 體, Regular hexahedron, (3-)Cube입방체라고도 부르며[1], 정식 영어 명칭은 Regular hexahedron 이지만, 보통 편하게 큐브라고 부른다. 한 개의 꼭짓점에 세 개의 면이 만나고, 여섯 개의 정사각형면으로 이루어진 다면체이다. 정육면체는 자기자신만으로 3차원 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 유일한 정다면체이다.[2]
사각기둥의 일종이기도 하다. 밑면이 정사각형이고, 옆면의 높이와 밑면의 변의 길이가 같은 직각기둥이 바로 정육면체이다.
이웃하지 않은 꼭짓점만 이어주면 정사면체를 얻을 수 있다.
구와 함께 매우 단순한 3차원 도형이기 때문에 물리에서 단순화된 계산에 사용할 때 매우 적합하며, 직교좌표계에서의 부피소는 정육면체 형태이다.
이것을 4차원으로 확장할 경우, 정팔포체라는 도형을 만들 수 있는데, 8개의 정육면체를 빈틈없이 이어줘야 한다. 정육면체 8개를 이어 만든 초입방체의 전개도는 3차원 공간인 현실 세계에서는 접는 것이 불가능하다.
2. 정육면체에 대한 정보
| 단위/특성 | 개수 | 비고 |
| 슐레플리 기호 | {4,3} | |
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 8 | |
| 모서리(edge), 1차원) | 12 | |
| 면(face, 2차원) | 6 | 정사각형 |
| 쌍대 | 정팔면체 {3,4} | |
| 포함 관계 |
3-입방체(3-Cube) 입방체(Cube) 정사각기둥(Square prism) |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정육면체가 있을 때
외접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]
겉넓이(surface area) = [math(6a^2)]
부피(volume) = [math(a^3)]
3. 육면체
일반적으로 육면체라고 한다면 보통 사각형인 면 6개로 이루어진 도형을 떠올리지만, 다른 평면 도형으로 만들 수 있는 육면체가 더 있다. 볼록 육면체는 다음과 세가지 방법으로 만들수 있다.- 6개의 사각형으로 만들어진 육면체. 밑면이 사각형인 각기둥이 모두 여기에 해당된다. 여기에서 사각형이 모두 직사각형이면 ' 직육면체'가 되고, 사각형이 모두 정사각형이면 정육면체가 된다.
- 6개의 삼각형으로 만들어진 육면체. 간단하게 2개의 정사면체를 붙이면 만들 수 있다. 삼각쌍뿔이라고 부른다.
- 1개의 오각형과 5개의 삼각형으로도 육면체를 만들 수 있다. 간단히 말해 오각뿔
오목 육면체를 고려하면 더 다양한 도형이 존재한다.
4. 관련 문서
[1]
입방체로 검색해도 이 문서에 들어올 수 있다.
[2]
둘 이상의 도형을 사용 가능하다면 정팔면체와 정사면체를 조합하여 공간을 빈틈없이 채울 수 있다.
[3]
정육면체 형태의 결정격자는 세 가지 형태가 존재한다. 꼭지점 부분에만 원자가 위치하는 SC(Simple Cubic, 단순입방격자), 꼭지점과 내부 중심에 원자가 위치하는 BCC(Body Centered Cubic, 체심입방격자), 꼭지점과 각 면의 중심에 원자가 위치하는 FCC(Face Centered Cubic, 면심입방격자)의 세 종류. 이 외에도 결정격자의 형태는 여러 가지가 있으나 이 셋을 제외한 나머지는 정육면체 형태가 아니다. 참고로 BCC와 FCC는 안정적이기 때문에 흔히 찾아볼 수 있는 형태이지만, SC의 경우는 불안정해서 이러한 형태의 결정을 이루는 경우는 매우 드물다.
[4]
정육면체에서 출발하는 프랙털 도형이다.
[5]
금속을 입방체로 만든 것을 좋아하는 입방체 덕후가 존재한다.