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다면체 Polyhedron |
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1. 개요
角 錐 臺(각추대) / frustum
각뿔을 밑면과 평행한 면으로 자른 도형을 말한다. 흔히 각뿔대라고 하며 각추대나 절두체라고도 한다.
2. 특징
일단 뿔대에 속하기 때문에 뿔대처럼 밑면과 윗면은 항상 닮음이다. 모든 옆면들은 항상 사다리꼴이며, 밑면이 [math(n)]각형이라고 하면 다음 특징을 만족한다.| 개수 | |
| 면 | [math(n)][1]+[math(2)][2] |
| 꼭짓점 | [math(2n)] |
| 모서리 | [math(3n)] |
각뿔의 이름을 붙일때는 밑면의 도형 종류에 따라 이름이 붙여진다.
쌍대는 쌍각뿔이다.[3]
2.1. 부피
각뿔대의 부피는 원래 각뿔의 부피에서 잘려나간 부분의 부피를 빼주면 된다. 예를 들어 원래 형태의 각뿔의 부피를 [math(V_1)], 잘려나간 부분의 부피를 [math(V_2)]라고한다면, 부피는 다음과 같다.| [math(V=V_1-V_2)] |
원래 형태의 각뿔의 높이를 [math(h_1)], 잘라 만든 각뿔대의 높이를 [math(h_2)], 밑면의 넓이를 [math(S)]라고 한다면 부피는 다음과 같다.
| [math(V=\dfrac{S}3(\dfrac{(h_1)^3-(h_2)^3}{(h_1)^2}))] |
2.2. 겉넓이
각뿔대의 겉넓이는 4개의 사다리꼴의 넓이와 윗면과 밑면의 넓이를 더해주면 된다. 그런데 만약 밑면이 모든 변의 길이가 같은 마름모나 정다각형이라면 옆면들이 모두 평행해진다. 그래서 모든 변의 길이가 같은 [math(n)]각형의 밑면의 넓이를 [math(S_1)], 윗면의 넓이는 [math(S_2)]라고 하고 옆면의 넓이는 [math(s)]라 한다면 다음과 같다.|
[math(S=S_1+S_2+ns)] (단, 밑변의 모든 변의 길이는 같음) |
만약 밑면의 변의 길이가 서로 다르다면 옆면의 넓이도 하나하나 구한 다음에 더해줘야 한다.
2.3. 여담
- 중국의 피라미드가 각뿔대 모양이다.
- 각뿔은 오목한 다면체도 있는 방면, 각뿔대는 오목한 다면체가 없다.
-
각뿔의 대가리를 처낸것이라고 외우면 이름 외우기 쉽다.