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아르키메데스 다면체 Archimedean Solids |
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준정다면체 | 반정다면체 | |||
| 육팔면체 | 깎은 정사면체 | 깎은 육팔면체 | 마름모육팔면체 | 다듬은 육팔면체 | |
| 십이이십면체 | 깎은 정육면체 | 깎은 십이이십면체 | 마름모십이이십면체 | 다듬은 십이이십면체 | |
| 깎은 정팔면체 | |||||
| 깎은 정십이면체 | |||||
| 깎은 정이십면체 | |||||
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| 준정다면체 중 하나인 십이이십면체의 모습. |
1. 개요
十二二十面體 / Icosidodecahedron[1]한 꼭지점에 삼각형 두 개와 오각형 두 개를 배치해 만든 준정다면체. 정십이면체 또는 정이십면체의 각 꼭지점들을 각 모서리의 절반까지 깎아서 만들 수도 있는데, 두 가지 정다면체의 모든 면들을 가지고 있다고 하여 십이 이십면체라고 불린다.
2. 정보
| 슐레플리 기호 |
r{3,5}[2] r{5,3} |
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| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 30개 | |
| 모서리(edge, 1차원) | 60개 | |
| 면(face, 2차원) | 32개 |
정삼각형 20개 정오각형 12개 |
| 쌍대 | 마름모삼십면체 | |
| 이면각 | [math(\cos^{-1}\left(-\sqrt{\dfrac{5+2\sqrt5}{15}}\right))] ≈ 142.62º | |
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포함 관계[3] 또는 다른 이름[4] |
비틀어 붙인 오각둥근지붕(pentagonal gyrobirotunda)[5] | |
한 변의 길이가 [math(a)]인 십이이십면체가 있을 때
외접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}a=\varphi a)][7]
겉넓이(surface area) = [math((5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2)]
부피(volume) = [math(\displaystyle\frac{45+17\sqrt{5}}{6}a^3)]
[1]
복수는 Icosidodecahedra
[2]
r{p,q}는 {p,q}인 정다면체의 각 꼭지점들을 각 모서리의 절반까지 깎는다는 의미이다.
[3]
반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴
고르지 않은 다면체도 포함하는 경우
[4]
반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름
[5]
오각둥근지붕(J6)은 적도의 정십각형 선을 따라 십이이십면체를 절반으로 자른 모습으로,
존슨 다면체이다.
[6]
슐레플리 부호로 [math(\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix})]라고 쓰기도 한다.
[7]
φ는
황금비이다. 이는 적도를 이루는 평면도형이 정십각형이기 때문으로, 한 변의 길이가 a인 정십각형의 외접원의 반지름 또한 φa로 같다.