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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
半 直 線 / half-line한 점에서, 한 쪽으로만 무한히 뻗어나가는 직선이다. 선분과의 차이점은 길이가 무한이라는 것, 직선과의 차이점은 시작점이 존재한다는 것이다. 이 때문에 AB로 표시하나 BA로 표시하나 차이가 없는 선분이나 직선과는 달리, 반직선은 AB냐 BA냐에 따라 크게 달라진다. 두 점 중 하나는 시작점을 의미하기 때문이다. 위 그림에서 위쪽 반직선은 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}} )], 아래쪽 반직선은 [math( \overrightarrow {\mathrm {BA}} )]로 표시하며, 시작점은 각각 A, B이다.
반직선을 수식으로 표현할 때는 x+y-1=0, x≥0처럼 직선의 방정식에서 한 변수의 범위를 (~ 이상/이하)로 제한하는 방법을 사용할 수 있다.
쏠 사( 射) 자를 쓴 '사선(射線, ray)'이라고도 불린다. 실제로는 총에서 쏜 탄환이 곧게 나아가지 않으며, 언젠가는 뻗어감을 멈추겠지만 일종의 비유적 개념어. 무언가에 수직이 아니고 비스듬한 선인 '사선(斜線)'과 한국 한자음이 같아서 그런지 자주 쓰이는 용어는 아니다.
2. 1차원 수직선 위에서의 반직선 기술
우선 수직선 위의 어느 한 점과 직교하는, 상수 [math(a)] 를 원소로 갖는 법선 벡터[math(\mathbf n = \left( a \right))]
를 고려하자. 그리고 점 [math(\left( x_0 \right))]이 반직선을 지난다고 할 때, 이 점을 시점으로 하고 반직선 위의 임의의 점 [math(\left( x \right))]을 종점으로 하는 벡터를
[math(\mathbf p = \left( x - x_0 \right))]
라 놓을 수 있다. 이 때 두 벡터의 내적이 0보다 크거나 같은 경우, 즉
[math(\mathbf n \cdot \mathbf p = a \left( x - x_0 \right) \ge 0)]
으로 나타나는 부등식을 통해 1차원 수직선 상에서 반직선을 기술할 수 있다.
3. 서로 같은 반직선
시작점과 방향만 같으면 같은 반직선이다. 예를 들어 점 A, B, C가 한 직선 위에 이 순서대로 있을 때, 반직선 AB와 반직선 AC는 시작점이 A이고 방향이 동일하므로 같은 반직선이다.- 수직선상에서 어떤 점 (x)을 시작점으로 하고 a(a>x)를 지나는 반직선은 모두 서로 같다. 마찬가지로 b(b<x)를 지나는 반직선들도 모두 서로 같다. 따라서 어떤 수직선상에서의 반직선은 양의 방향과 음의 방향의 반직선으로 구분할 수 있다.
- 좌표평면에서 어떤 점 (x, y)를 시작점으로 하고 (x+ka, y+kb)(단, k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선들은 모두 서로 같다.
- 예를 들어 점 (2, 4)를 시작점으로 하고 점 (4, 6)을 지나는 반직선은 위 식에서 x=2, y=4이고 점 (4, 6)에서 k=1이라고 하면 a=b=2이다. 따라서 점 (2, 4)를 시작점으로 하고 (2+2k, 4+2k)(k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선은 모두 이 반직선과 같다.
- 원점을 시작점으로 하는 경우, (ka, kb)(k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선들은 모두 서로 같다.
- k>0인 경우의 반직선과 k<0인 경우의 반직선은 서로 같지 않다. 예를 들어 점 (2, 4)를 시작점으로 하고 점 (4, 6)을 지나는 반직선과 점 (0, 2)를 지나는 반직선은 서로 다르다.
- 좌표공간에서도 마찬가지로 적용할 수 있다. 어떤 점 (x, y, z)를 시작점으로 하고 점 (x+ka, y+kb, z+kc)(단, k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선들은 모두 서로 같다.
- 원점을 시작점으로 하는 경우, (ka, kb, kc)(k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선들은 모두 서로 같다.
4. 예시
- 좌표평면에서 x, y축의 양 또는 음의 방향을 나타내는 반직선 또는 x축의 양의 방향과 이루는 각이 [math(\theta (0<\theta<2\pi))]인 반직선. 이 반직선은 시작점이 원점이다.
- x축의 양, 음의 방향을 나타내는 반직선은 각각 원점과 단위벡터 <1, 0>, <-1, 0>로 나타낼 수 있다. 마찬가지로 y축의 양, 음의 방향을 나타내는 반직선은 각각 단위벡터 <0, 1>, <0, -1>로 나타낼 수 있다.
- x축의 양의 방향과 이루는 각이 [math(\theta)]인 반직선은 단위벡터 [math(\cos \theta)], [math(\sin \theta)]로 나타낼 수 있다.
- 좌표공간에서 x, y, z축의 양 또는 음의 방향을 나타내는 반직선. 역시 시작점이 원점이다. 좌표평면에서처럼 시작점과 각 축의 성분만을 1 또는 -1로 하고 나머지 성분은 모두 0인 단위벡터로 나타낼 수 있다.
5. 반직선의 교점
5.1. 수직선에서
- 어떤 점 (a)를 시작점으로 하는 양의 방향의 반직선과 그 점을 시작점으로 하는 음의 방향의 반직선의 교점은 (a) 하나뿐이다.
- 어떤 점 (a)를 시작점으로 하는 양의 방향의 반직선과 다른 점 (b)를 시작점으로 하는 음의 방향의 반직선의 교점은 a>b일 때 없고, a<b일 때 a≤x≤b 구간이 반직선에 포함되므로 무수히 많다.
5.2. 좌표평면, 좌표공간에서
- 어떤 점 (a, b) 또는 (a, b, c)를 시작점으로 하는 서로 다른 반직선들 중 2개 이상을 선택했을 때, 그 반직선의 교점은 어떤 반직선을 선택하든 그 점뿐이다. 또, (a, b) 또는 (a, b, c)는 그 점을 시작점으로 하는 무수히 많은 반직선들의 공통 교점이다.
- 교점이 하나뿐인 두 직선의 교점을 A라고 하고, 이 직선의 일부에 해당하는 두 반직선을 가정하자. 이때 두 반직선 모두 시작점에서 A 방향으로 향하는 반직선일 때만 교점이 존재하고, 그렇지 않으면 존재하지 않는다.
- 예를 들어 좌표평면에서 교점이 원점인 두 직선 x축, y축에 대하여 그 일부인 반직선의 시작점이 각각 (1, 0), (0, 1)일 때, 두 반직선 모두 원점으로 향하면 교점인 원점에서 수직으로 만난다. x축의 일부인 반직선 l은 원점으로 향하지만 y축의 일부인 반직선 m은 y축의 양의 방향으로 향하는 경우 원점을 지나는 반직선은 l뿐이므로 원점은 교점이 아니다.
- 두 직선이 서로 같은 경우, 이 직선을 수직선으로 놓으면 앞의 '수직선에서'에서 설명한 것과 같다.
6. 반직선의 이용
- 중학교 과정에서 각을 두 반직선이 서로 붙었을 때 꼭짓점 부분에서 생기는 공간으로 정의한다.
- 극좌표 등 각을 이용하여 정의할 수 있는 것을 정의할 때 반직선을 이용하기도 한다. 극좌표를 설명할 때는 원점에서 출발하여 x축의 양의 방향으로 향하는 반직선이 주로 쓰인다.
- 작도를 할 때 이용하기도 한다.
7. 기타
- 일직선상에 서로 다른 n개의 점이 있는 경우, 이 n개의 점 중 하나를 시작점으로 하여 만들 수 있는 반직선의 개수는 2n개이다. 점 하나를 선택한 후 일직선상의 두 방향 중 하나를 선택하는 것이기 때문에 당연한 이치.
- n개의 점 중 2개를 선택하여 반직선을 만드는 경우, 각 방향의 끝 점을 시작점으로 하고 그 방향으로 향하는 반직선 2개를 제외해야 하므로 2(n-1)개가 된다.
- 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 경우, n개의 점이 있을 때 2개의 점을 연결하여 만들 수 있는 반직선의 개수는 n(n-1)개이다. 2개의 점을 선택하는 경우의 수는 n(n-1)/2이고, 각 경우에 대하여 2가지의 반직선이 존재하기 때문.