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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
正 弦 法 則 / sine law삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다.
삼각형에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 삼각함수를 이용해서, 그 중에서도 이 정리는 [math(\sin)]을 이용하여 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다.
|
[math(\triangle{\mathrm{ABC}})]의 세 각의 크기 [math(A)], [math(B)], [math(C)], 대변의 길이 [math(a)], [math(b)], [math(c)], 그리고, 그 삼각형에 외접하는 외접원의 반지름 길이 [math(R)]에 대해 다음이 성립한다. [math( \displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R )] |
한편, [math((\sin x)^{-1} = \csc x)]가 성립하므로 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math( \displaystyle a \csc A = b \csc B = c \csc C =2R )]
2. 증명
2.1. 삼각형의 높이를 이용한 증명
삼각형 [math(\rm ABC)]의 꼭짓점 [math(\rm A)]에서 밑변 [math(a)]에 수선을 내려서 높이 [math(h)]를 만들고,
[math(\displaystyle h = c\sin{B} = b\sin{C} )]
로 표현할 수 있음을 삼각비의 정의로부터 보일 수 있다. 즉,
[math(\displaystyle \frac{c}{b} = \frac{\sin{C}}{\sin{B}})]
가 성립하고 이것을 다른 변에 대해서도 똑같이 하면 사인 법칙을 얻을 수 있다.
가장 원론적이고 간단한 증명이라 할 수 있지만 외접원과의 관계는 알 수 없다.
2.2. 원주각을 이용한 증명
[math(\triangle \mathrm{ABC})]의 외접원의 중심을 [math(\mathrm{O})]라 하고, [math(\overline{\mathrm{BO}})]의 연장선이 원과 만나는 점을 [math(\mathrm{A'})]라 하자. 그렇게 하면, [math(\overline{\mathrm{BA'}})]은 외접원의 지름이므로, [math(\overline{\mathrm{BA'}}=2R)]가 된다. 또한,[math(\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a\qquad \qquad \overline{\mathrm{AC}}=b \qquad \qquad \overline{\mathrm{AB}}=c)]
임을 참고하라.
(ⅰ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때
위 그림에서 원주각의 성질에 따라
[math(\displaystyle \angle{A}=\angle{A'} )]
이고,
[math(\displaystyle \angle{\mathrm{BCA'}}=90\degree )]
이다. 따라서
[math(\displaystyle \sin{A}=\sin{A'}=\frac{a}{2R} )]
이고 이것을 정리하면,
[math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )]
가 얻어진다.
(ⅱ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 둔각 삼각형일 때
위 그림에서 원주각의 성질에 따라
[math(\displaystyle \angle{A}=180\degree-\angle{A'} )]
이고,
[math(\displaystyle \angle{\mathrm{A'BC}}=90\degree )]
이다. 따라서
[math(\displaystyle \sin{A}=\sin{(180\degree-A')}=\sin{A'}=\frac{a}{2R} )]
이고[1] 이것을 정리하면,
[math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )]
가 얻어진다.
(ⅲ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 직각 삼각형일 때
위 그림에서 [math(\angle{A}=90\degree)]이다. 따라서
[math(\displaystyle \sin{A}=1 \qquad \qquad a=2R )]
이므로
[math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )]
가 성립한다.
2.3. 벡터곱을 이용한 증명
임의의 벡터에 대해 자기 자신과의 외적은 항상 영벡터다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{B} \times \mathbf{B}=\mathbf{0} )]
따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다.
[math(\displaystyle (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B}=\mathbf{A \times B} )]
이때, 새로운 벡터 [math(\mathbf{C})]를 아래와 같이 정의해보자.
[math(\displaystyle \mathbf{C} \equiv \mathbf{A-B} )]
이제 벡터 [math(\mathbf{A})], [math(\mathbf{B})], [math(\mathbf{C})]는 서로 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 각각 편의상 [math(A)], [math(B)], [math(C)]라 부르고, 각각의 벡터의 길이를 아래와 같이 부르자.
[math(\displaystyle \left| \mathbf{A} \right| \equiv a \qquad \qquad \left| \mathbf{B} \right| \equiv b\qquad \qquad \left| \mathbf{C} \right| \equiv c )]
이렇게 하면, 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다.
[math(\displaystyle \left| (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B} \right|=bc\sin{A} )]
우변은,
[math(\displaystyle \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right|=ab\sin{C} )]
위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에 이를 잘 조합하면,
[math(\displaystyle \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c} )]
이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 정보를 제공하지 않는다는 단점이 있다.[2]
3. 활용
-
각을 변으로 바꾸기
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A} &=\frac{a}{2R} \\ \sin{B}&=\frac{b}{2R} \\ \sin{C}&=\frac{c}{2R} \end{aligned} )] }}}
-
변을 각으로 바꾸기
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned} a&=2R\sin{A} \\ b&=2R\sin{B} \\ c&=2R\sin{C} \end{aligned} )] }}}
-
변의 비와 각에 따른 사인값의 비
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle a:b:c=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C} )] }}}
그 외에도 삼각형에서 삼각함수의 등식을 증명하거나, 넓이를 찾을 때에는 위 세 가지 변형과 코사인 법칙을 잘 활용하면 쉽게 해결할 수 있다.
===# 예제 #===
사인법칙과 제2코사인법칙을 이용하여 아래 문제를 풀 수 있다.
|
|
| 2020년 9월 고2 10번 |
- [풀이]
- ------
세 변의 길이 비가 [math(2k:3k:4k)]임을 알 수 있으므로, 제2코사인 법칙에 의해
[math( \cos{C}= \dfrac{(2k)^2+(3k)^2-(4k)^2}{2\cdot 2k\cdot 3k}=-\dfrac{1}{4})]
이다. 정답은 ②번.
4. 비유클리드 기하학에서
유클리드 평면 위의 삼각형이 아니라 비유클리드 기하학의 삼각형에서는, 다음과 같은 공식이 성립한다.4.1. 구면기하학에서
삼각형이 구 위에 있으면 이 식의 형태가 바뀌게 된다.[math( \displaystyle \frac{\sin a}{\sin{A}}=\frac{\sin b}{\sin{B}}=\frac{\sin c}{\sin{C}}=2R )]
즉 사인이 분자에까지 적용된다는 이야기이다.
4.1.1. 타원기하학으로의 일반화
구면뿐만 아니라 모든 타원면으로 일반화할 수 있으며, 이 경우 야코비 타원 함수를 이용해 아래의 식으로 표현할 수 있다. [math(\rm sn)] 함수에서 이심률에 해당하는 두번째 변수가 0일 경우 [math(\sin)]과 동치가 된다.[math( \displaystyle \frac{{\rm sn}(a;\,k_1)}{{\rm sn}(A;\,k_2)}=\frac{{\rm sn}(b;\,k_1)}{{\rm sn}(B;\,k_2)}=\frac{{\rm sn}(c;\,k_1)}{{\rm sn}(C;\,k_2)}=2R \quad )](단, [math(k_1,\,k_2 \in [0,\, 1))])
4.2. 쌍곡기하학에서
쌍곡기하학에서는 더해서[math( \displaystyle \frac{\sinh a}{\sin{A}}=\frac{\sinh b}{\sin{B}}=\frac{\sinh c}{\sin{C}}=2R )]
분자가 쌍곡선 함수로 바뀐다.
5. 관련 항목
[1]
내접 사각형의 대각의 합이 [math(180\degree)]인 것을 이용했다.
[2]
다만, 위의 식에서 [math( \dfrac{\sin{C}}{c} = \dfrac{1}{2R})]로 보고 외접원의 반지름 정도는 구할 수 있다.