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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
補 助 線 / adjoint line기하학에서 주로 증명을 하거나 문제의 해답을 찾기 위하여 긋는, 본디 문제를 나타내는 도형에는 없는 새로운 선을 말한다.
원뿔곡선과 관련해서는 따로 '준선( 準 線, directrix)'이라고 한다.
2. 예시
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[문제] 삼각형 [math(\rm ABC)]에 대하여 [math(\overline{\rm BC})] 위의 점을 [math(\rm P)]라 할 때, [math(\angle \rm A)]의 이등분선을 [math(\overline{\rm AP})]라 하자. [math(\overline{\rm BP})]의 길이 [math(x)]의 값을 구하시오. |
- [풀이 보기]
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문제를 풀기 위하여 다음과 같이 보조선을 긋는다. 그림에서 빨간선으로 표시된 부분이다.
보조선을 이렇게 긋지 않으면 문제를 풀기가 매우 까다로운데[1], 점 [math(\rm C)]에서 선분 [math(\rm AP)]에 평행한 보조선을 긋고, 그 보조선과 선분 [math(\rm AB)]를 연장하여 나오는 또 다른 보조선이 만나는 점을 [math(\rm Q)]라 하자.
그림에서 [math(\overline{\rm AP} \parallel \overline{\rm CQ})]이 성립하므로
[math(\displaystyle \angle{\rm PAC}=\angle{\rm ACQ} \qquad)](엇각)
또,
[math(\displaystyle \angle{\rm BAP}=\angle{\rm AQC} \qquad )](동위각)
따라서 삼각형 [math(\rm ACQ)]는 [math(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AQ})]인 이등변삼각형이므로 [math(\overline{\rm AQ}=7)]을 얻는다. 한편, 두 삼각형 [math(\rm ABP)], [math(\rm QBC)]에서 [math(\angle{\rm BAP}=\angle{\rm AQC})], [math(\angle{\rm B})]는 공통이므로 [math(\displaystyle \triangle{\rm ABP} \sim \triangle{\rm QBC} )] ([math(\rm AA)] 닮음)이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm BA}:\overline{\rm QA}&=\overline{\rm BP}:\overline{\rm CP} \\ 6:7&=x:5 \\ \\ \therefore x&=\dfrac{30}7 \end{aligned} )]
3. 문제점
사실 보조선을 긋는 것은 우연성이 너무 강하다. 특히 경시대회까지 가보면 기상천외한 보조선이 즐비한 것을 볼 수 있다. 하필이면 그곳에, 그런 각도로, 그런 길이로 그어야 하는가? 그것을 어떻게 알 수 있는가? 이것이 바로 기하학의 맹점이다.[2]르네 데카르트는 이 때문에 기하학에 다소 흥미를 잃고 대수학으로 눈을 돌렸다. 이미 알고 있는 사실만으로 새로운 진리를 도출하는 기하학과 달리, 대수학에서는 구하려는 결론을 진리로 상정하고 분석한다. 데카르트는 이러한 대수학의 특성을 기하학과 접목하는 혁신적인 방안을 고안했는데 그것이 바로 다름 아닌 좌표평면이며, 이는 해석 기하학이라는 수학의 하위 분야로 이어진다.
우리나라 수학 교육과정에서 중학교 수학의 도형 단원은 논증 기하학을 다루고 있는데, 이 보조선의 우연성 때문에 중학생들이 도형 단원을 어려워하는 이유가 된다. 해당 단원을 학습하는 중학생들은 최대한 많은 문제를 풀어보고, 정답지를 통해서도 연구해봐서 보조선 긋는 것에 대해 감을 잡는게 중요하다.[3]