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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Euclidean vector이 문서는 물리학의 역학이나 고등학교 수학에서 다루는 기하학적인 벡터를 다룬다.[1] 이 문서의 벡터는 선형대수학에서 다루는 벡터 공간의 원소인 벡터의 일종이라고 볼 수 있다. 편의상, 이 문서에서 다루는 벡터와 구별하기 위해 선형대수학에서 다루는 벡터를 '선형대수학 벡터', 함수인 벡터는 '함수 벡터'라고 하겠다.
표제어에 유클리드 기하학이 붙어 있는 이유는 비유클리드 기하학에서는 이 문서의 내용이 성립되지 않을 수 있기 때문이다.[2]
2. 뜻
크기와 방향을 함께 가지는 양(Quantity which has both magnitude and direction)을[3] 벡터라고 한다. 크기와 방향을 함께 가지는 물리량은 벡터량이라고 부른다.쉽게 말하면 이렇다. 철수가 왼쪽으로 3 m/s의 속력으로 가고, 영희가 오른쪽으로 3 m/s의 속력으로 갔다고 치자. 그러면 둘의 속력은 3 m/s로 같은데, 그러면 물리학에서 얘네 둘을 같은 운동으로 취급해야 한다. 그런데 왼쪽으로 가는 거랑 오른쪽으로 가는 거랑 똑같이 취급할 수 없기 때문에 '왼쪽으로 3 m/s', '오른쪽으로 3 m/s'처럼 방향을 붙여줘서 계산하는 거다. 이런 식으로 '동남쪽으로 7', '북서쪽으로 10'처럼 방향이랑 크기를 같이 붙인 숫자를 만들었고 이걸 벡터라고 부르게 된 것이다.
2.1. 벡터의 표현
선분 AB를 크기로 하고, 점 A에서 시작해 점 B에서 끝나는 벡터를 기호로 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]와 같이 나타낸다. 이때 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]에서 점 A를 시점, 점 B를 종점이라고 한다. 또한 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]의 크기는 [math(|\overrightarrow {\mathrm {AB}}|)][4]와 같이 나타낸다.한 문자로 [math(\vec a)], [math(\bold a)][5] 와 같이 나타낼 수 있다. 이때 화살표를 떼거나 이탤릭체로 적은 [math(a)]는 벡터의 크기를 의미한다.
공간 상의 점의 좌표를 표현하는 것과 헷갈리기 쉬운데, 공간상의 점은 일반적으로 대문자 알파벳으로 표기하며, [math(A(a, b, c))]와 같이 알파벳과 좌표 정보를 붙여 쓴다. 그러나 벡터는 보통 소문자 알파벳으로 표현하며 [math(\vec v = (a, b, c))]와 같이 문자와 좌표 사이에 등호가 들어간다.
3. 위치 벡터
시점을 특정한 한 점으로 고정할 때, 벡터는 어떤 점 하나에 유일하게 대응된다. 이때의 벡터를 위치 벡터라고 한다.원점 [math(\mathrm{O})]를 시점으로 하는 위치 벡터는 점처럼 순서쌍으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 점 [math(\mathrm{P}(a, b))]에 대응되는 위치 벡터 [math(\overrightarrow{\mathrm{OP}})]를 [math((a, b))]로 나타낼 수 있다.
벡터 [math(\vec{v} = (a_1, a_2, \cdots, a_n))]을 행렬로 나타낼 때[6]는 원소를 한 열 안에 순서대로 나열한다.
[math(\vec{v} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix})]
열이 1개만 있다는 점에서 이러한 행렬을 열벡터라 한다.
다음과 같이 [math(\vec{v})]의 전치 [math(\vec{v}{\,}^T)]도 생각할 수 있다.
[math(\vec{v}{\,}^T = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix})]
행이 1개만 있다는 점에서 이러한 행렬을 행벡터라 한다.
한편, 벡터의 각 성분의 개수를 벡터의 차원이라고 하며, [math(\dim \vec{a})]로 나타낸다.
4. 성질과 연산
4.1. 같은 벡터
-
크기와 방향이 같은 두 벡터 [math(\vec a)], [math(\vec b)]에 대하여 [math(\vec a=\vec b)]
[math(\vec a = (a_1, a_2, a_3))]이고 [math(\vec b = (b_1, b_2, b_3))]이면 [math(a_1=b_1, a_2=b_2, a_3=b_3)]일 때를 의미한다.
-
크기가 같고 방향이 반대인 두 벡터 [math(\vec a)], [math(\vec b)]에 대하여 [math(\vec a=-\vec b)]
[math(\vec a = (a_1, a_2, a_3))]이고 [math(\vec b = (b_1, b_2, b_3))]이면 [math(a_1=-b_1, a_2=-b_2, a_3=-b_3)]일 때를 의미한다.
이때 [math(\vec b)]는 [math(\vec a)]의 역벡터이며, 동시에 [math(\vec a)]도 [math(\vec b)]의 역벡터이다.
4.2. 벡터의 합과 차
- 벡터 [math(\vec a=(a_1, a_2, a_3), \vec b=(b_1, b_2, b_3))]에 대해서 [math(\vec a+\vec b=(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3))]을 나타낸다.
- 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {AC}})]를 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}})]와 벡터 [math(\overrightarrow {\mathrm {BC}})]의 합이라 하고, [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}}+\overrightarrow {\mathrm {BC}}=\overrightarrow {\mathrm {AC}})]와 같이 나타낸다.
- [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}} = (b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3), \overrightarrow {\mathrm {BC}} = (c_1-a_1, c_2-a_2, c_3-a_3))]일 때, [math(\overrightarrow {\mathrm {AC}} = (c_1-b_1, c_2-b_2, c_3-b_3))]이다. 또한 이때 [math((b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3) + (c_1-b_1, c_2-b_2, c_3-b_3) = (c_1-a_1, c_2-a_2, c_3-a_3))]이 성립한다.
- 벡터의 합은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.
- [math(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a)]
- [math((\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c))]
- 마찬가지로 벡터의 차를 [math(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b))] 와 같이 정의한다.
- [math(\vec a-\vec b=(a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3))]
- [math(\vec a+(-\vec b)=(a_1+a_2+a_3)+((-b_1)+(-b_2)+(-b_3))=(a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3))]
- [math(\overrightarrow {\mathrm {AA}})]와 같이 시점과 종점이 같은 벡터를 영벡터라고 하며 [math(\vec 0)]으로 나타내고, [math(\vec 0=(0, 0, 0))]이다. 영벡터의 크기는 0이며 방향은 생각하지 않는다. 또한 영벡터는 벡터의 합의 항등원이다.
4.3. 스칼라 배
벡터 [math(\vec a = (a_1,\,\cdots,\,a_n))]에 대해서 스칼라 [math(k)]의 곱 [math(k\vec{a})]는 [math((ka_1,\,\cdots,\,ka_n))]이 된다. 이를 ' 선형성을 띤다'라고 한다. 이때 [math(k = 0)]일 경우 영벡터가 되며, [math(k = -1)]일 경우 [math(\vec a)]의 역벡터가 된다.벡터의 스칼라에 대해서 [math(\vec a=(a_1, a_2, a_3), \vec b=(b_1, b_2, b_3))]이고, [math(k, l)]이 각각 스칼라일 때 다음의 성질이 성립한다.
-
[math(k\vec a+l\vec a=(k+l)\vec a)]
증명: [math(k\vec a+l\vec a = (ka_1, ka_2, ka_3) + (la_1, la_2, la_3) = ((k+l)a_1, (k+l)a_2, (k+l)a_3) = (k+l)\vec a)] -
[math(k\vec a+k\vec b=k(\vec a + \vec b))]
증명: [math(k\vec a+k\vec b = (ka_1, ka_2, ka_3) + (kb_1, kb_2, kb_3) = (k(a_1+b_1), k(a_2+b_2), k(a_3+b_3)) = k(\vec a+\vec b))]
4.4. 내적과 두 벡터 사이의 각
유클리드 공간은 내적 공간의 일종이기 때문에 내적이 정의되며, 다음과 같이 구할 수 있다.[7][8]-
[math(\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)]
[math(\theta)]는 두 벡터의 사이각, [math(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3)]는 [math(\vec a)]와 [math(\vec b)]의 성분들이다. 원칙대로라면 [math(\vec a)], [math(\vec b)]중 하나의 성분들에 켤레가 취해져야 하나[9], 고전역학이나 고등학교 과정에서는 실벡터만 다루기 때문에 보통은 생략한다.[10]
내적 연산 역시 다음과 같이 교환법칙이 성립한다.
- [math(\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = b_1a_1 + b_2a_2 + b_3a_3 = \vec b \cdot \vec a)]
벡터 사이의 각은 앞에서 구한 내적을 응용해서 두 벡터 [math(\vec{a}, \vec{b})] 사이의 각을 [math(\cos\theta = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{|\vec a||\vec b|})]으로 구할 수 있다.
4.5. 외적
3차원 벡터[11]에 한하여, 두 벡터에 모두 수직인 벡터도 정의할 수 있는데 이를 외적이라고 하며, 다음과 같이 정의한다.[12][13] 자세한 것은 외적 문서의 해당 문단 참고.-
[math(\vec a \times \vec b = |\vec a| |\vec b| (\sin\theta) \,\hat n)]
여기서 [math(\theta)]는 두 벡터의 사이각, [math(\hat n)]는 크기가 1인 단위벡터이며 방향은 오른손 손바닥을 펴고 엄지손가락을 제외한 나머지 손가락들이 향하는 방향을 [math(\vec{a})]와 일치시킨 후, [math(\vec{b})] 방향으로 감아쥐었을때 엄지손가락이 가리키는 방향이다. 따라서 [math(\vec{a})]와 [math(\vec{b})]에 동시에 수직이며 연산 순서가 바뀔경우 방향도 반대로 바뀐다.
4.6. 반사
시작점을 원래 벡터의 끝점으로 옮긴 뒤 일부 성분의 부호를 바꾼 것이다.4.7. 변위
4.8. 미분 연산
[math(\vec{f}(t)=(f_x(t),f_y(t),f_z(t)))] 일 때 [math(\displaystyle\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\vec{f}(t)= \!\left( \frac{\rm d}{{\rm d}t}f_x(t),\frac{\rm d}{{\rm d}t}f_y(t),\frac{\rm d}{{\rm d}t}f_z(t) \!\right))]라고 정의한다.[math(f(x,y,z))]에 대한 미분에 관한 것은 델 참고
4.9. 적분 연산
[math(\vec{f}(t)=(f_x(t),f_y(t),f_z(t)))] 일 때\int \!\vec f(t) \,{\rm d}t = \biggl( \int \!f_x(t) \,{\rm d}t, \int \!f_y(t) \,{\rm d}t, \int \!f_z(t) \,{\rm d}t \biggr)
\end{aligned} )]}}}||
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_a^b \vec\nabla f(x(t),y(t),z(t)) \,{\rm d}t = f(x,y,z)|_{t=b} - f(x,y,z)|_{t=a} \end{aligned} )] |
5. 유사벡터(pseudovector)
물리학에서[14] 반사할 때[15] 변위(displacement)와 다르게 계산되는 벡터를 뜻한다. 두 벡터의 가위곱(외적)은 항상 유사벡터가 나온다. 대표적인 예시로 돌림힘, 각속도, 각운동량, 자기장 등이 있는데 죄다 외적으로 구하는 물리량이다.
[1]
고로 우리나라에서 고등학교를 갓 졸업한 평범한 이과생이 벡터에 대해 듣는다면 십중팔구 이걸 떠올릴 것이다.
[2]
비유클리드 기하학의 벡터는 따로
미분기하학이라는 학문에서 다룬다. 구체적으로는 비유클리드 공간에서는 벡터 성분을 정의하는 기저벡터가 위치에 따라 유동적으로 변할 수 있어서 미분기하학을 통해 정의하기 때문이다.
[3]
단, 물리학에서는 반사시켰을 때
변위처럼 변해야 한다는 조건이 붙는다. 그렇지 않으면
유사벡터(Pseudovector)라고 부른다.
[4]
노름(수학)을 써서 [math(\|\overrightarrow{\text{AB}} \|)]로 쓰기도 한다.
[5]
선형대수학에서 주로 사용하는 표기이나 이와 같이 볼드체로 적기도 한다.
[6]
즉 선형대수학적 벡터와 동치로 둔다면
[7]
선형대수학 벡터의 내적은 행렬의
수반 연산자와
행렬식을 이용해서 [math(\left<\bold{a} ,\, \bold{b} \right> = \det \bold{a}^{\ast} \bold{b})]로 정의된다. 또한 단항 연산도 가능하다.
[8]
함수 벡터의 내적은 두 함수의 켤레복소수 곱을
적분한 값으로 정의한다: [math(\displaystyle \left< f ,\, g \right> = \int_{[a,\,b]} f\overline{g}\, {\rm d}x)] 선형대수학 벡터와 마찬가지로 단항 연산이 가능하다.
[9]
정확하게는
반쌍형적 형식(sesquilinear form)
[10]
단,
양자역학에서는 복소수 위의 선형대수학 벡터, 함수 벡터를 사용하므로 내적 시 한쪽 벡터에 켤레를 취하는 것이 당연시된다. 표기 역시 [math(\vec{a}\cdot\vec{b})] 대신
[math(left< a | b right>)]를 쓰는 등 차이가 있다.
[11]
사실 3차원뿐만 아니라 7차원도 외적을 정의할 수 있다.
[12]
선형대수학 벡터의 외적은 단위벡터와
행렬식을 이용해서 [math(\bold{a} \times \bold{b}= \det \begin{bmatrix} \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} & \hat{\bold{z}} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix})]로 정의된다.
[13]
함수 벡터는 일반적으로는 외적이 정의되지 않는다.
[14]
다시 말해 수학에서는 그냥 벡터랑 차이가 없다.
[15]
일반적으론 improper rotation인데 어차피 반사와 회전의 결합이다.