1. 개요
파동의 형태를 기술하는 편미분방정식으로 라플라스 방정식의 변형이다. 1747년 장바티스트 르 롱 달랑베르가 1차원 파동방정식(Wave Equation)을 발견했고[1], 1759년 레온하르트 오일러가 3차원 파동방정식을 발견한다.그 형태는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u )]
파동방정식은 평행이동, 회전, 로런츠 변환, 등각 변환에 대해 불변이다.
파동방정식에 [math(\frac{\partial u}{\partial t})]를 곱하면 다음을 만족시킨다.
[math(\displaystyle 0=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 u \right) \frac{\partial u}{\partial t} \\= \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) ^2 + \frac{1}{2}c^2 |\nabla u|^2 \right)-c^2 \nabla \cdot\left( \frac{\partial u}{\partial t} \nabla u\right))]
위 식을 전체 공간에 대해 적분하면 시간에 대해 보존되는 양이 존재함을 알 수 있고 이를 파동의 에너지로 정의할 수 있다. 파동이 가지는 전체 에너지는 다음과 같이 표현된다.
[math(\displaystyle E=\frac{1}{2}\iiint\left(\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right) ^2+ c^2 |\nabla u|^2 \right) d\bm{x})]
파동방정식에서 에너지는 시간에 대해 보존되며, 첫번째 항은 운동 에너지에, 두번째 항은 퍼텐셜 에너지에 해당한다. 파동방정식의 해에 해당하는 평면파를 가정하자.
[math(\displaystyle u=A\sin(kx-\omega t))]
그러면 평면파의 에너지는 진폭의 제곱과 진동수의 제곱에 비례함을 확인할 수 있다.
[math(\displaystyle E\propto\omega^2 A^2)]
2. 달랑베르 연산자
파동방정식 [math(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u )] 으로부터[math( \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}u = \nabla^2 u )]
[math( \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}\cancel{u} = \nabla^2 \cancel{u} )]
[math( \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2}= \nabla^2 )]
[math( \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2} - \nabla^2= 0 )]에서
[math( \square^2 = \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2} - \nabla^2 )]
달랑베르 연산자(d’Alembert operator, 기호 [math( \square^2)] ,달랑베르시안)를 얻을수있다.
또는 역부호에서[2]
[math( \square^2 = \nabla^2 - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 }{\partial t^2} )]
3. 관련 문서
[1]
Jean-Baptiste le Rond d'Alembert , Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 3, pages 214-219. Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1747
https://books.google.com.au/books?id=lJQDAAAAMAAJ&pg=PA214&redir_esc=y
[2]
Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDL
https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85