1. 개요
Doppler effect파원에서 나온 파동의 진동수가 실제 진동수와 다르게 관측되는 현상. 1842년, 크리스티안 도플러(Christian Doppler)가 제시한 물리 현상이다.
일상적인 예로 앰뷸런스가 사이렌을 켜고 달려가는 상황을 생각해 보자. 관찰자인 '나'는 이 사이렌 소리를 정지 상태에서 가만히 듣고 있다. 그러면 앰뷸런스가 가까이 올 때는 높은 소리가 들리다가 관찰자를 지나 멀어져가기 시작하면 소리가 낮아진다. 이때 소리는 파동의 일종인데 높은 소리는 진동수가 높고 낮은 소리는 진동수가 낮다. 따라서 '나'는 앰뷸런스가 가까이 올 때 소리의 진동수는 실제보다 높아진 것같이 느끼고 멀어져 갈 때는 실제보다 낮아진 것처럼 느껴진다. 하지만 이는 상대적인 효과이며 실제 앰뷸런스를 운전하고 있는 운전자의 입장에서는 항상 동일한 진동수로 관측된다. 이와 같이 파동의 진동수가 왜곡되는 현상을 도플러 효과라고 한다.
이곳에서 동영상을 시청해보고, 사이렌이 관찰자에 다가올 때와 멀어질 때의 사이렌의 높낮이를 비교해보자.
2. 발생 원인
파원이 움직이고 있을 때, 파동의 진행방향이 같으면 파원과 파동 간의 상대속도가 상쇄되어 파장이 짧아진다. 반면 파원과 파동이 서로 반대로 갈 때는 상대속도가 보강, 파장은 벌어진다. 이 상태에서 관측자는 이렇게 변형된 파장을 감지하는데, 파동이 전달되는 속도는 일정하므로 짧은 파장은 높은 진동수, 긴 파장은 낮은 진동수를 관측하게 된다.이러한 도플러 효과는 소리뿐만 아니라 모든 파동에 적용된다. 즉, 어떤 파원이 다가오고 있을 때 정지한 관찰자는 파동의 파장이 실제보다 짧게 느껴지고, 파동원이 멀어지면 정지한 관찰자는 파동의 파장이 실제보다 길게 느껴진다.
또한 파원이 멈춰있더라도 관측자가 움직이면 파동과 관측자 사이의 상대속도가 달라져 그에 따라 관측하는 진동수도 달라진다.
다만 전자기파의 경우 특수 상대성 이론 때문에 위와 같은 설명이 적용되지 않으며, 다른 방식으로 발생 원리를 설명해야 한다. 도출되는 식도 역학적 파동과는 약간 다르다. 자세한 내용은 상대론적 도플러 효과 참조.
3. 유도
매질에 대한 파원의 속도를 [math(v_{\rm S})], 매질에 대한 관측자의 속도를 [math(v_{\rm O})], 정지한 매질에서의 파동 속도를 [math(v)]라 하자.쉬운 유도를 위해 해당 문단에서 매질은 정지한 상태를 사용한다.
3.1. 관측자가 움직일 때
이 경우 관측자는 동일한 파장 [math(\lambda)]를 관측하게 될 것이나, 자신의 속도로 인하여 파동의 속도가 달라지게 된다. 이때 관측하는 속도는 자신에 대한 파동의 상대 속도[math(v'=v-v_{\rm O})]
따라서 관측하게 되는 파동의 진동수는
[math(\begin{aligned} f'&=\frac{|v'|}{\lambda} \\&= \frac{|v-v_{\rm O}|}{{|v|}/{f}} \\ &=\left| \frac{v-v_{\rm O}}{v} \right|f \end{aligned})]
파원에 다가갈 때는 진동수는 본 진동수보다 크고, 파원에서 멀어질 때는 진동수는 본 진동수보다 작다.
3.2. 음원이 움직일 때
이 경우 관측자는 파장의 속력 [math(v)]는 같으면서 다른 파장 [math(\lambda ')]를 관측한다. 쉽게 이해하기 위해 아래의 그림을 참조해보자.파면 [math(\rm A)]가 형성되어 있는 상태에서 파원 [math(\rm S)]는 한 주기 [math(T)]동안 [math(v_{\rm S})]로 이동한다. 파면 [math(\rm A)]는 파원이 [math(\rm S')]으로 이동하게 되면 파원이 정지했다고 했을 때 파면 [math(\rm B)]가 될 것이다. 한편, [math(\rm S')]에 이동했을 때 파면 [math(\rm C)]는 파면 [math(\rm A)]가 파원의 이동방향으로 [math(v_{\rm S}T)]만큼 이동한 것이다. 즉, 이 상태에서 새로운 파장은 [math(\lambda'=\overline{\rm EF})]가 된다. 이 파장을 구해보자.
[math(\begin{aligned} \lambda'&=\overline{\rm S'F}-\overline{\rm S'E} \\&=(\overline{\rm SF}-\overline{\rm SS'})-\overline{\rm S'E} \\&=2vT-v_{\rm S}T-vT \\&=(v-v_{\rm S})T \end{aligned})]
그러나 일반적인 상황에서는 음수일 수 있어 절댓값을 씌운다.
[math(\begin{aligned} \lambda'&=|v-v_{\rm S}|T \end{aligned})]
이다. 따라서 관측자가 관측하는 진동수는 다음과 같다.
[math(\begin{aligned} f'&=\frac{|v|}{\lambda'} \\&=\frac{|v|}{|v-v_{\rm S}|}\frac{1}{T} \\&=\left|\frac{v}{v-v_{\rm S}} \right| f \end{aligned})]
파원이 다가올 때 진동수는 본 진동수보다 크고, 파원이 멀어질 때, 진동수는 본 진동수보다 작다.
3.3. 관측자 및 파원 모두 움직일 때
이 경우는 다음과 같이 주어진다.[math(\begin{aligned} f'&=\left|\frac{v-v_{\rm O}}{v-v_{\rm S}} \right| f \end{aligned})]
따라서 파원에 대한 파동의 상대 속도와 관측자에 대한 파동의 상대 속도의 비임을 알 수 있다.
흔히 교과서에서는 [math(v)], [math(v_{\rm S})], [math(v_{\rm O})]를 속도로 쓰지 않고, 속력으로 쓰곤 하는데, 이 경우
[math(\begin{aligned} f'&=\frac{|v| \pm |v_{\rm O}|}{|v| \mp |v_{\rm S}|}f \end{aligned})]
이다. 이때, 부호의 선택은 아래의 표를 따른다.
| <colbgcolor=#f2f2f2,#555555> | [math(\boldsymbol +)] | [math(\boldsymbol -)] |
| 분자 | 관측자가 파원에 접근할 때 | 관측자가 파원에서 후퇴할 때 |
| 분모 | 파원이 관측자에서 후퇴할 때 | 파원이 관측자에 접근할 때 |
4. 대칭성
상대성 원리에 의해 모든 관성 좌표계에서 물리 법칙은 동등해야 한다. 두 좌표계를 준비하는데, 매질은 음원에 대하여 정지해있다고 가정하자. 파동의 속도가 [math(+v)]인 상황에서 좌표계 [math(O)]는 음원에 대하여 정지해있고, 관측자가 [math(+v')]의 속도로 움직인다고 하자. 좌표계 [math(O')]에 대해선 관측자에 대하여 정지해있고, 음원이 [math(-v)]의 속도로 움직이는 상황이라 보자.[math(\begin{aligned} f'(O)&=\frac{v-v'}{v}f \\ f'(O')&=\frac{v}{v+v'}f \end{aligned})]
일반적으로 [math(f'(O) \neq f'(O'))]이다. 언뜻 봐서는 상대성 원리에 부합하지 않는 것 처럼 보인다. 그러나 이 문제는 [math(O')]에서 매질의 운동을 고려하지 않았기 때문에 생긴 것이다. 이 경우 매질은 [math(-v)]로 움직이는 것으로 보인다. 따라서 좌표계 [math(O')]에서는 음파의 속력이 [math(v)]가 아닌 [math(v-v')]이 된다. 이것을 [math(f'(O'))]에 대입하면 [math(f'(O) = f'(O'))]이다. 즉, 매질의 움직임까지 생각해줘야 함을 뜻한다. 이 사실은 [math(O)]에 대하여 [math(+u)]로 움직이는 좌표계 [math(O'')]에서 성립한다. 이때 매질의 속도는 [math(-u)], 음파의 속도는 [math(v-u)] 관측자의 속도는 [math(v'-u)], 음원의 속도는 [math(-u)]이기 때문에 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned} \begin{aligned} f''(O)&=\frac{(v-u)-(v'-u)}{(v-u)-(-u)}f\\&=\frac{v-v'}{v}f\\&=f'(O) \end{aligned} \end{aligned})]
5. 매질의 운동
윗 문단의 좌표계 [math(O)]의 상황에서 매질이 [math(+u)]의 속도를 가진다고 하자. 이때, 파동 속도를 유지한 채 도플러 효과를 적용하려면 매질과 함께 움직이는 좌표계 [math(O')] 즉, [math(O)]에서 [math(+u)]로 움직이는 좌표계를 생각한다. 여기서 관측자의 속도는 [math(v'-u)], 음원의 속도는 [math(-u)]가 된다. 또한 이 두 속도는 매질에 대한 상대 속도이다.[math(\begin{aligned} f'(O')&=\frac{v-(v'-u)}{v-(-u)}f=\frac{(v+u)-v'}{v+u}f \end{aligned})]
허나, [math(O)]에서 직접 적용하려면, 음파의 속도는 [math(v+u)], 관측자의 속도는 [math(+v')]임을 이용하여야 한다.
[math(\begin{aligned} f'(O)&=\frac{(v+u)-v'}{(v+u)}f \end{aligned})]
여기서도 마찬가지로 [math(f'(O)=f'(O'))]을 얻는다.
그러나 빛은 오로지 파원과 관측자 사이의 상대 속도로만 결정된다. 상대론적 도플러 효과 참고. 이는 빛의 매질은 없다는 이야기를 암시한다.
위의 논의는 다음을 얻는다.
- 매질이 운동할 때는 매질의 속도 또한 고려해줘야 한다.
- 정지한 매질의 파동의 속도를 그대로 적용하려면 매질과 같이 움직이는 좌표계에서 도플러 효과를 적용하여야 한다.
- 매질이 움직이는 상황에서 도플러 효과를 그대로 적용하려면 파동의 원래 속도와 매질의 속도를 합성한 속도를 사용하여 도플러 효과를 적용하여야 한다.
5.1. 예
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그림과 같이 [math(v_{2})]의 속력으로 운동하는 벽에 다가가는 주파수 [math(f_{0})]의 음파를 발생시키고 [math(v_{1})]의 속력으로 운동하는 음파 발생기가 있다. 바람이 [math(u)]의 속력으로 불고 있을 때, 음파 발생기가 측정한 벽에 반사된 음파의 진동수를 구해보시오. (단, [math(v_{2}<u)]이고, [math(v)]는 음속이며, 음파 발생기, 벽, 바람의 운동 방향은 수평면과 평행하다.) |
- [해설 보기]
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이 문제를 어렵게 하는 요소는 벽의 움직임이다. 상대성 원리가 있으므로 좌표계를 조금 바꾸자. 벽과 같은 속도로 움직이는 좌표계를 설정하자. 이 좌표계에서 속도는 아래 그림과 같다.
우선 벽의 입장에서는 음원이 [math(v_{1}+v_{2})]의 속력으로 다가오며, 이 파를 반사시킨다. 그런데, 매질의 운동 방향과 소리의 운동 방향은 서로 반대여서 이 좌표계에서 음속은 [math(v-(u-v_{2}) )]가 됨에 유의한다. 따라서 벽이 반사하는 파의 진동수는
[math( \displaystyle \begin{aligned} f_{1} &=\frac{v-u+v_{2}}{v-u+v_{2}-(v_{1}+v_{2})}f_{0} \\ &=\frac{v-u+v_{2}}{v-u-v_{1}}f_{0} \end{aligned})]
이 파를 음파 발생기가 관측하게 되는데, 이때는 관측자가 음원에 [math(v_{1}+v_{2})]의 속력으로 다가가는 상황이고, 이때 반사된 소리는 매질의 운동 방향과 평행하여 음속이 [math(v+(u-v_{2}))]이 됨에 유의한다.
[math( \displaystyle \begin{aligned} f &=\frac{v+(u-v_{2})+(v_{1}+v_{2})}{v+(u-v_{2})}f_{1} \\ &=\frac{v+u+v_{1}}{v+u-v_{2} }f_{1} \end{aligned})]
따라서 구하는 진동수는 아래와 같다.
[math( \displaystyle f=\frac{v+u+v_{1}}{v+u-v_{2}}\frac{v-u+v_{2}}{v-u-v_{1}}f_{0} )]
만약 [math(u=v_{2}=0)]이라면
[math( \displaystyle \begin{aligned} f&=\frac{v+v_{1}}{v}\frac{v}{v-v_{1}}f_{0} \\ &= \frac{v+v_{1}}{v-v_{1}} \end{aligned})]
으로 익숙한 답이 나온다.
6. 적색편이와 청색편이
도플러 효과로 인해 파장이 상대적으로 짧아질 때를 청색편이(blue shift), 파장이 상대적으로 길어질 때를 적색편이(red shift)라고 한다. 이는 가시광선에 빗대어 말한 것으로 짧은 파장인 청색과 긴 파장인 적색에 각각 대응하는 개념이다.적색, 청색은 서로 상반되는 이미지를 가지고 있기에 사실상 은유적인 표현이라 보면 된다. 원래 가시광선에서 파장이 가장 짧은 건 보라색(violet)이지만 보통 빨간색과 대조되는 색상으로 파란색을 더 많이 이야기하기 때문.
빅뱅 당시 발생했던 빛인 우주배경복사가 우리 눈에 보이지 않는 이유도 이 적색편이 때문. 허블 팽창으로 별과 행성사이의 거리가 멀어지고 진행하던 빛이 적색편이로 점점 붉은색이 된다. 결국 전파의 파장이 가시광선의 주파수 영역을 벗어나 적외선이 되어버려 우리 눈엔 관측이 불가한 것이다.
7. 이용
이러한 도플러 효과로 인해 발생하는 파동의 파장 변이를 통해 파장을 내는 물체(파동원)의 운동상태를 쉽게 알 수 있다. 따라서 이 도플러 효과를 이용하면 우리가 직접 거리를 느낄 수 없는 물체의 운동 상태를 알 수 있다. 대표적인 응용이 바로 스피드건이다.근접신관의 시초인 VT신관은 신관에서 발산된 전파가 전투기에 반사되어 되돌아올 때 청색편이되는 전파를 감지하여 작동된다.
구축함이 능동 음파 탐지기를 사용하여 잠수함을 탐지한 경우 발신한 소리보다 잠수함에서 반사된 탐지음이 높으면 잠수함과의 상대적인 거리가 가까워진다는 뜻이고 잠수함의 반사음이 발신한 소리보다 낮다면 잠수함이 멀어지고 있다는 뜻이 된다.
현대 전투기 역시 지면이나 새떼 같은 허위표적을 걸러내기 위해 도플러 효과를 이용한 펄스도플러 레이더를 사용한다. 도플러 편이를 이용해 표적의 속도를 구한 후 너무 속도가 느리면 비행기가 아닌 허위표적으로 분류하여 레이더 스코프에 도시하지 않는 것.
예컨대, 공기의 입자는 너무 작아 눈에 잘 보이지 않지만 이 입자가 반사해 내는 빛은 감지해 낼 수 있다. 이 빛[1]의 파장이 실제보다 짧아졌는지 늘어났는지를 조사하여 공기의 흐름, 예컨대 상승기류나 하강기류 같은 것을 감지해 낼 수 있다. 이러한 공기의 흐름의 파악은 기상학에서 매우 중요하며 특히 궤멸적인 재앙을 내는 토네이도의 징후를 미리 파악할 수 있는 도플러 레이더의 원리가 되기도 한다.
빛의 도플러 효과는 천문학에서 매우 중요한 도구로 사용되고 있다. 별들은 매우 멀리 떨어져 있기 때문에 이것들의 운동상태를 직접 알기가 어려운데, 별이 내는 빛의 스펙트럼을 분석해 이미 정확한 파장을 알고 있는 발머선[2] 등의 파장이 얼마나 변했는지 측정하면 별이 지구로부터 얼마나 빨리 멀어지는 지 혹은 가까워지는 지 정확하게 알 수 있다. 광원이 멀어질 때에는 빛의 파장이 늘어나기 때문에 적색 편이, 반대의 경우를 청색 편이라고 부른다. 광원의 속도가 빛의 속도에 가깝게 빨라지면 이 현상은 고전적 도플러 효과와는 약간 달라지게 된다. 이를 상대론적 도플러 효과라고 부른다.
대표적인 예로 미국의 천문학자인 에드윈 허블은 거의 모든 은하들이 적색 편이를 하고 특히 멀리 있는 은하일수록 그 거리에 비례해 후퇴 속도가 늘어난다는 점을 통해 우주가 팽창하고 있다는 사실을 발견하기도 했다. 너무 어두워서 직접 관측이 어려운 외계 행성의 존재를 추적하는 데에도 이용될 수 있는데, 행성이 별 주변을 공전하면 별 또한 행성과의 무게중심을 느린 속도로 공전하기 때문이다. 이 별의 스펙트럼을 관측하면 적색 편이와 청색 편이가 주기적으로 반복되는 것을 볼 수 있다.
의외로 원자로에서 핵분열 중에 일어나는 도플러 효과도 있다. [math({}^{238}{\rm U})] 원자핵이 가만히 있을 때 흡수할 수 있는 중성자는 생각보다 많지 않다. 중성자가 정확히 요구되는 에너지를 가지고 있어야지 흡수가 가능하다. 그런데 원자핵이 열운동을 하면, 중성자의 에너지가 딱 맞는 양이 아니더라도 원자핵 시점의 상대적 에너지가 맞으면 흡수할 수 있다. 원자핵이 중성자 쪽으로 움직이면 상대적 에너지가 작아지고, 멀리 가면 상대적 에너지가 커지고 하는 식이다. 이렇게 [math({}^{238}{\rm U})] 원자핵이 중성자를 먹어치우기 때문에 [math({}^{235}{\rm U})]에 충돌해 핵분열을 일으킬 중성자는 줄어들게 된다. 이 도플러 효과는 핵연료 온도가 상승하면 자연히 벌어지는 현상이기 때문에 원자로의 고유안정성을 일정 부분 부여해 준다.
8. 기타
- 음파에 의한 도플러 효과는 1845년 네덜란드의 과학자 보이스 발로트에 의해 실험적으로 증명되었다. 그는 위트레흐트와 암스테르담을 잇는 뚜껑 없는 열차에 트럼펫 연주자들을 태우고 실험을 진행하였다.
- 과학을 엉망으로 배운 사람들은 도플러 효과를 '파장'이나 '진동수'의 변화가 아닌 '진폭'의 변화로 잘못알고 있는 경우가 많다. 도플러 효과는 소리의 높낮이(음계)가 달리 들리는 현상이지, 소리의 세기(음량)가 변하는 현상이 아니다. 쉽게 말해 음악을 연주한다면 도레미파솔라시도처럼 음이 바뀌는 것이지 소리가 크게 들리는 것이 아니다. 빛도 마찬가지로 색이 달리 보이는 것이지, 광량이 달라지는 현상이 아니다. 물론 우리의 눈이 감지할 수 있는 가시광선 영역에서 멀어지면 빛이 희미해지는 것처럼 보일 수 있는데 이는 진동수가 적외선이나 자외선 등 비가시 영역으로 넘어간 것이다. 도플러 효과와 상관없이 어느 미소지점에서 소리의 세기나 빛의 광량은 관측자와의 거리의 제곱에 반비례하는 관계를 가지며 관측자나 음원・광원의 속도와는 무관하다.
9. 관련 문서
[1]
빛은 일반적으로 파동으로 간주되지 않지만 파동의 성질을 가지고 있다고 한다.
물질파 가설 항목 참고.
[2]
천체의 스펙트럼 편이값은 보통 발머선을 이용해 측정한다. 수소는 거의 모든 천체에 있기 때문이다.