1. 개요
돌림힘 또는 토크(torque)란 물체가 회전운동을 할 때 나타나는 회전의 경향의 척도, 물체를 회전시키기 위해 가한 힘의 작용을 나타낸다. 회전력(回轉力)이라고도 한다.2. 어형과 정의
비틀림 모멘트, 회전 모멘트, 비틀림 응력, 토크(torque), 토션(torsion) 등 참으로 다양한 명칭으로 불리는데, 공식 한국어 명칭은 돌림힘이다. '돌림힘'이란 명칭 때문에 힘(force)이라고 종종 오해받지만, 토크는 힘이 아니라 모멘트(moment)다.[1]힘의 단위는 [math(\rm N)], 돌림힘의 단위는 [math(\rm N{\cdot}m)]인 것을 봐도 알 수 있을 것이다. 힘은 물체를 변위(displacement)시키는 작용인데 돌림힘은 변위를 일으키지 않는다는 것을 생각해보면 쉽게 이해할 수 있다. 예를 들어 렌치로 나사를 돌리는 경우 나사는 제자리에서 회전할 뿐 어느 방향으로도 이동(변위)하지 않는다.[2] 힘(force)이 선형 운동학에서 물체의 가속을 유발하는 벡터량이듯, 토크는 물체의 회전축을 중심으로 하는 회전 가속을 유발하는 벡터량이다.
돌림힘의 본질을 가장 잘 나타내는 표현은 '비틀림 모멘트'지만, 모멘트[3]에 정확히 일치하는 우리말 용어가 없기에 그냥 모멘트라고밖에 쓸 수 없고 배우는 학생에게는 일단 모멘트의 개념부터 이해시켜야 하므로 이상적인 용어는 아니다.
"돌림힘이 힘이 아니라는 것을 도저히 납득할 수 없다"는 학생들은 대개 "꽉 조여진 나사를 풀거나 굳게 닫힌 병뚜껑을 열 때, 분명히 힘이 든다. 그런데도 돌림힘이 힘이 아닌가?"는 이야기를 종종 한다. 분명 꽉 조여진 나사를 푸는 행위는 힘을 가하는 것이 맞다. 이는 유도 항목에서 강체를 회전시키는 데에 드는 에너지를 구할 때 힘 [math(\bf F)]가 쓰인 것만 봐도 명확하다. 그러나 이렇게 힘을 이용하면 질점의 궤적이 원궤도를 그리는 데다 질점마다 회전축으로부터의 거리 역시 다르기 때문에 고려해야할 인자가 많아져서 해석이 까다로워진다.[4]
이때 이 에너지를 해석하는 물리학적인 수식에 수학적인 테크닉을 적용(후술)하면 회전축으로부터의 거리(반지름)에 의존하지 않는 회전량으로 에너지를 해석할 수 있고, 강체 역시 개개의 질점이 아닌[5] 하나의 덩어리로 다룰 수 있게 되기 때문에 해석이 쉬워지는 장점이 생긴다. 이 회전량에 곱해지는 새롭게 정의된 물리량이 돌림힘이며, 유도 항목에서 후술하듯 돌림힘은 힘에 반지름 벡터를 외적으로 곱한 것이기에 물리학에서 말하는 힘의 정의에 부합하지 않을 뿐이다.
참고로 용어에 “힘”이나 “력”이 들어가는 것들 중에 힘이 아닌 것은 돌림힘 말고도 많다. 관성력, 원심력, 압력, 마력, 응력, 기전력, 표면장력, 속력 등도 전부 다 힘이 아니다. 그나마 압력은 힘과 관련이 없진 않지만, 기전력은 힘이 아니라 퍼텐셜 에너지와 관련이 있는 값이다.
2.1. 기호와 표기
주로 쓰는 기호는 [math(bmtau)]이고, 프랑스나 독일 등 유럽권 국가에서는 모멘트에서 유래한 [math(\bf M)]이 쓰이기도 한다. SI 단위는 [math(\rm N{\cdot}m)]( 뉴턴 미터)[6] 또는 [math(\rm J/rad)]이며 후자가 더 엄밀한 표기이지만(후술) 전자의 사용이 더 우세하며, 산업현장에서는 [math(\rm N{\cdot}m)]와 등가인 [math(\rm kgf{\cdot}m)](킬로그램중 미터)를 사용하는 경우가 많다.[7] 지구상에서 [math(1{\rm\,kgf{\cdot}m} = 9.806\,65{\rm\,N{\cdot}m})]이며 흔히 9.8, 9.81, 10 등으로 근사한다.2.2. 유도
토크의 공식은 다음과 같다.| [math(\bm\tau = \bf r \bm\times F)] |
| [math(\bm\tau = \bf r \bm\times F/{\rm rad})] |
예를 들어 시소 위에서 상대방과 내가 평형을 이루고 있을때, 내가 회전축 쪽으로 가까이 가면, 중력은 일정하나, [math(|\bf r|)]이 감소하기때문에, 토크가 감소한다. 상대방이 만드는 토크는 일정하므로, 내가 만드는 토크 < 상대방이 만드는 토크이기때문에 상대방쪽으로 기울어진다. 같은 원리로 내가 회전축에서 멀어지면 [math(|\bf r|)]이 커지기 때문에 내가 만드는 토크 > 상대방이 만드는 토크이므로 내 쪽으로 기울어지게 된다.
물체를 회전시키는 데에 관련한 물리량이라는 점에 의거하여 위의 식을 유도할 수 있다. 아래 식에서 [math(underlinetheta)]는 [math(rm rad)]이 약분된 각도의 수치 [math(underlinetheta = theta/{rm rad})]을 의미한다.
문제를 간단히 하기 위해서 아래의 그림과 같이 질점이 [math(xy)]평면 위에서 원점 [math(\rm O)]를 회전축으로 하여 회전하는데, 힘 [math(\bf F)]를 가하여 [math(\rm A \to B)]로 이동했다고 해보자.
이는 힘 [math(\bf F)]가 [math(\rm A)]의 질점을 [math({\rm d}{\bf l})]만큼 이동시켜서 질점에 일을 한 것과 같다. 각 문서에서도 나와있듯이 [math({\rm d}{\bf l})]은 다음과 같이 주어지는데[9]
| [math(\begin{aligned} {\rm d}{\bf l} &= {\rm d}\underline\theta{\bf\hat n\bm\times r} \\ &= {\rm d}\bm{\underline\theta\times\bf r}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\rm d}W &= {\bf F\bm\cdot({\rm d}\bm{\underline\theta}\bm\times r}) \\ &= {\rm d}\bm{\underline\theta}\bm\cdot({\bf r\bm\times F}) \\ &= ({\bf r\bm\times F})\bm\cdot{\rm d}\bm{\underline\theta}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\rm d}W &= ({\bf r\bm\times F}/{\rm rad})\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\ &= \bm{\tau\cdot{\rm d}\theta} \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle W = \int \bm{\tau\cdot{\rm d}\theta})] |
개요 항목에서 돌림힘의 단위로 [math(\rm J/rad)]을 쓰는 근거가 바로 위와 같은 과정에서 얻어지는 [math(\bm\tau = {\bf r\bm\times F}/{\rm rad})]에 있다. 더불어 현행 국제단위계 지침에서는 각도를 무차원량([math(\sf1)])으로 다루므로 차원 분석을 해보면 [math(\rm N{\cdot}m)]와 [math(\rm J/rad)]의 차원은 [math(\sf ML^2T^2)]으로 동일하나, 각도가 무차원량이 아니라는 분석(차원 [math(sf A)])도 있으며 이 경우 [math(\rm J/rad)]은 차원이 [math(\sf ML^2T^2A^{-1})]이 되므로 일과 구분할 수 있게 된다.[12]
3. 관련된 다른 물리량
힘과 운동량의 관계를 곱씹어보면 [math({\bf F} = m{\bf a} = m\cfrac{{\rm d}{\bf v}}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}(m{\bf v})}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t})]이다. 한편 [math(\cfrac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t}\bm\times{\bf p})]를 살펴보면 [math(\cfrac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t} = {\bf v})]이므로| [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t}\bm\times{\bf p} &= {\bf v\bm\times p} \\ &= {\bf v}\bm\times(m{\bf v}) \\ &= m{\bf v\bm\times v} \\ &= \bf 0{\rm\,kg{\cdot}m^2/s^2}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\bm\tau &= {\bf r\bm\times F}/{\rm rad} \\ &= ({\bf r\bm\times F} + \bf0{\rm\,kg{\cdot}m^2s^{-2}})/{\rm rad} \\ &= {\left({\bf r}\bm\times\frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t} + \frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t}\bm\times{\bf p}\right)}/{\rm rad} \\ &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}({\bf r\bm\times p})/{\rm rad} \\ &= \frac{{\rm d}{\bf L}}{{\rm d}t}\end{aligned})] |
| [math(\displaystyle {\bf L} = \int{\bm\tau}{\rm\,d}t)] |
한편, 각속도 [math(\omega = \cfrac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t})]를 도입하고 [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})]이라 하면 [math({\bf v} = \cfrac{{\rm d}{\bf l}}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}\underline\theta{\bf\hat n\bm\times r}}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}\underline\theta}{{\rm d}t}{\bf\hat n\bm\times r} = \underline\omega{\bf\hat n\bm\times r} = \bm{\underline\omega\times{\bf r}})]이므로
| [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}{\bf v}}{{\rm d}t} &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\bm{\underline\omega\times{\bf r}}) \\ &= \frac{{\rm d}\bm{\underline\omega}}{{\rm d}t}\bm\times{\bf r} + \bm{\underline\omega}\bm\times\frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t} \\ &= \bm{\underline\alpha}\bm\times{\bf r} + \bm{\underline\omega}\bm\times(\bm{\underline\omega\times{\bf r}}) \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}{\bf v}}{{\rm d}t} &= \bm{\underline\alpha}\bm\times{\bf r} -|\bm{\underline\omega}|^2{\bf r} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \bm\tau &= m{\left({\bf r}\bm\times\frac{{\rm d}{\bf v}}{{\rm d}t}\right)}/{\rm rad} \\ &= m{\left\{{\bf r}\bm\times{\left(\bm{\underline\alpha}\bm\times{\bf r} - |\bm{\underline\omega}|^2{\bf r}\right)}\right\}}/{\rm rad} \\ &= m{\left\{{\bf r}\bm\times(\bm{\underline\alpha}\bm\times{\bf r}) - |\bm{\underline\omega}|^2{\bf r\bm\times r}\right\}}/{\rm rad} \\ &= m{\left\{\bm{\underline\alpha}({\bf r\bm\cdot r}) - {\bf r}({\bf r}\bm\cdot\bm{\underline\alpha}) - |\bm{\underline\omega}|^2{\bf r\bm\times r}\right\}}/{\rm rad} \\ &= m(|{\bf r}|^2\bm{\underline\alpha} - {\bf0{\rm\,m^2s^{-2}}} - {\bf0{\rm\,m^2s^{-2}}})/{\rm rad} \\ &= m|{\bf r}|^2\bm{\underline\alpha}/{\rm rad} \\ &= m|{\bf r}|^2\bm\alpha/{\rm rad}^2 \\ &= (m|{\bf r}|^2/{\rm rad}^2)\bm\alpha \\ &= I\bm\alpha \\ &= I\frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t} \end{aligned})] |
유도 항목의 적분식
| [math(\displaystyle W = \int \bm{\tau\cdot{\rm d}\theta})] |
| [math(\begin{aligned} W &= \int I\frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\ &= \int I\frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t}\bm\cdot\bm\omega{\rm\,d}t \\ &= \int I\bm\omega\bm\cdot\frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t}{\rm\,d}t \\ &= \int I\bm{\omega\cdot{\rm d}\omega} \\ &= \frac12I|\bm\omega|^2 \end{aligned})] |
한편, 유도 항목의 미분식 [math({\rm d}W = \bm{\tau\cdot{\rm\,d}\theta})]의 양변을 [math({\rm d}t)]로 나누면 [math(\cfrac{{\rm d}W}{{\rm d}t} = P)]로 일률이 얻어지므로
| [math(\begin{aligned} P &= \bm\tau\bm\cdot\frac{{\rm d}\bm\theta}{{\rm d}t} \\ &= \bm{\tau\cdot\omega}\end{aligned})] |
4. 실생활과 돌림힘
돌림힘은 우리 실생활에서는 엔진, 특히 내연기관과 관련해 자주 접하게 되는 개념이다. 대부분의 엔진은 회전축을 돌림으로써 작동하는 방식이라, 자연히 회전축을 돌리는 돌림힘으로 그 출력을 표현하게 되기 때문이다. 돌림힘 외에도 그 엔진이 할 수 있는 일률인 킬로 와트([math(\rm kW)])로도 엔진의 출력을 표현하기도 하는데, 엔진의 돌림힘과 출력을 환산하는 공식은 다음과 같다.| 돌림힘([math(\rm N{\cdot}m)]) [math(\times)] 분당 회전수([math(\rm rpm)]) [math(\div \, 9550=)] 출력([math(\rm kW)])[16] |
| 돌림힘([math(\rm lbf{\cdot}ft)]) [math(\times)] 분당 회전수([math(\rm rpm)]) [math(\div \, 5252=)] 마력([math(\rm hp)])[17] |
위 공식을 보면, 돌림힘이 같다면 [math(\rm rpm)]이 높을수록 마력이 상승함을 알 수 있다. 때문에 높은 [math(\rm rpm)]에서 최적의 돌림힘을 발휘하도록 설계된 엔진들은, 낮은 [math(\rm rpm)]에서 최적의 돌림힘을 발휘하도록 설계된 엔진보다 대개 마력이 높다. 전자의 경우는 고속 스포츠카나 경주용 오토바이에 탑재되기에 적합한 엔진이며, 후자의 경우는 화물차나 버스, 크루저 오토바이(무겁고 느린[18] 장거리 여행용 오토바이)에 탑재되기에 적합한 엔진이다.
자동차나 오토바이의 파워플랜트에 들어가는 엔진은 대개 내연기관이며, 내연기관은 복잡한 이유로 인해[19] 모든 회전수에서 동일한 돌림힘을 발휘하지 못한다. 내연기관은 2행정이건 4행정이건 간에 특정한 회전수 대역에서 최적의 돌림힘이 나오는 특성을 가지며, 때문에 기어박스(변속장치)라는 복잡한 장치를 이용해 다양한 속도(회전수가 아니라 차량의 주행 속도) 범위에서 최적의 돌림힘을 낼 수 있도록 안배한다.
반면 전기 모터의 경우 흡기·배기용 밸브가 없기 때문에, 내연기관과 달리 매우 넓은 회전수 대역에서 일정한 돌림힘을 낼 수 있다. 때문에 전기 모터는 대개 변속용 기어박스를 갖지 않으며 그냥 모터 자체의 [math(\rm rpm)]이 차륜의 회전수에 정비례하는 방식이 많다.
돌림힘은 또한 렌치로 나사를 조이는 힘의 강도를 표시하는데도 사용된다. 대부분의 나사는 적절한 수준으로 조여둬야 하며, 조이는 힘을 돌림힘으로 표시함으로써 나사가 적절히 조여지도록 할 수 있다. 너무 느슨히 조인 나사는 기계 작동 중에 풀어질 수 있으며, 나사를 너무 꽉 조일 경우 나사나 기계가 파손될 수 있기 때문이다. 특히 비철금속 기계( 탄소섬유 등)의 경우 정격 돌림힘을 반드시 준수해야 한다.
이를 위해 정격 돌림힘을 지정해줄 수 있는 돌림힘 렌치(토크 렌치)란 공구가 존재하며, 돌림힘 렌치는 정해진 돌림힘보다 센 돌림힘이 가해지면 드르륵 소리를 내며 헛돌아 무리한 돌림힘이 나사에 전달되는 것을 막는다.
5. 돌림힘과 일(에너지)은 같은가?
결론부터 말하자면 다르다.돌림힘을 나타낼 때 일반적으로 사용되는 단위인 뉴턴미터([math(\rm N{\cdot}m)])는, 공교롭게도 일(work)을 나타내는 단위인 뉴턴미터와 똑같이 생겼다. 때문에 돌림힘이 뭔지 이해하지 않고 단위만 보면 마치 돌림힘이 일(에너지)의 개념이라 착각할 수도 있다.
SI 단위계에서 돌림힘의 표준 단위는 뉴턴미터([math(\rm N{\cdot}m)]), 일의 표준 단위는 줄([math(\rm J)])로 정함으로써 이런 오해를 가급적 줄이려고 노력했지만, [math(1{\rm\,J}=1{\rm\,N}\times1{\rm\,m})], 즉 [math(1{\rm\,J}=1{\rm\,N{\cdot}m})]이기 때문에 여전히 혼동의 여지는 존재한다.
일에서의 [math(\rm N{\cdot}m)]는 힘(force)과 변위(displacement)를 곱한 것으로, 물체를 얼마만큼의 힘으로 얼마만큼 움직였는지를 나타내는 것인 반면, 돌림힘의 [math(\rm N{\cdot}m)]는 힘과 지렛대의 길이를 곱한 것이라 일과는 전혀 다르다. 수학적으로 봤을 때 일(에너지)은 스칼라인 반면, 돌림힘은 벡터이다. 갑자기 지렛대란 용어가 튀어나왔는데, 돌림힘은 지렛대와 밀접한 관계가 있는 물리량으로 지렛대에 대해 자세히 알면 돌림힘에 대해 확실히 이해할 수 있다. 애당초 돌림힘 개념을 최초로 정리한 아르키메데스가 돌림힘이란 개념을 만들어낸 이유가 바로 지렛대 때문이었다.
지렛대(lever)는 바퀴(wheel)와 더불어 인간이 최초로 만들어낸 기계 중 하나로서, 제1종 지레는 힘을 증폭할 수 있다. 이 1종 지레를 이용하면 인간의 힘으로도 거대한 바위를 움직이는 것도 가능하다. 힘의 증폭률은 지렛대의 받침점(fulcrum, 지렛대를 지지하는 점)에서 힘점(effort, 사람이 지렛대에 힘을 가하는 점)까지의 거리가 멀수록 그리고 받침점에서 작용점(load, 움직이려는 질량이 위치하는 점)까지의 거리가 가까울수록 더 커진다. 따라서 이상적인 힘 증폭 지렛대는 받침점과 작용점의 거리는 [math(0{\rm\,m})]이고, 받침점과 힘점은 가능한 한 멀리 떨어진 지렛대이다. 받침점과 작용점간의 거리가 [math(0{\rm\,m})]인 지렛대의 대표적인 예로 나사를 비틀어 조이거나 느슨하게 만드는 도구인 렌치가 있다.
아르키메데스는 이상적인 지렛대의 힘점에 가해지는 힘과 지렛대 길이를 곱하면 작용점에 전달되는 우력(偶力; 짝힘)을 계산할 수 있음을 발견, 이를 수학 공식으로 정리했는데, 이것이 바로 돌림힘이다. 예를 들어 받침점에서 힘점까지의 거리가 [math(1{\rm\,m})]인 지렛대로 [math(10{\rm\,N})]의 힘을 가했을 때와, 거리가 [math(10{\rm\,m})]인 지렛대에 [math(1{\rm\,N})]의 힘을 가했을 때 작용점에 전달되는 우력은 서로 같으며, 짧은 지렛대의 경우 [math(1{\rm\,m}\times10{\rm\,N} = 10{\rm\,N{\cdot}m})], 긴 지렛대의 경우 [math(10{\rm\,m}\times1{\rm\,N} = 10{\rm\,N{\cdot}m})]로 동일하다. 이 “[math(10{\rm\,N{\cdot}m})]”가 바로 이 예에서의 돌림힘이다. 보다시피 여기서 미터는 물체의 변위(이동거리)를 지칭하는 것이 아니라 지렛대의 길이를 나타내는 것이며, 돌림힘과 일의 단위는 [math(\rm N{\cdot}m)]로 같지만 이는 우연의 일치일 뿐이며 돌림힘이 일이나 에너지의 개념이 아님을 이해할 수 있을 것이다.
참고로, 위에서 돌림힘을 '우력'으로 지칭했는데, 우력이란 크기가 같은 두 힘이 서로 다른 방향으로 작용할 때 발생하는 모멘트를 나타낸다. 돌림힘은 대표적인 우력으로, 본 문서의 윗부분에서 돌림힘이 힘이 아니라고 계속 강조하는 이유가 바로 우력과 힘이 서로 같은 개념이 아님을 지적하는 것이다. 돌림힘같은 순수한 모멘트는 물체의 움직임(변위)을 유발하는 것이 아니라 회전(rotation)만을 발생시킨다.
5.1. 혼동이 일어나는 근본적인 원인
사실 근본적으로 이러한 혼동은 물리량으로서의 각도에 대한 엄밀한 고찰 없이 돌림힘을 해석하는 데에 원인이 있다. 유도항목에서 전술한 것처럼 (돌림힘)[math(\times)](각도)[math(=)](일)이기 때문에, 돌림힘은 회전당 에너지로 해석되는데, 현행 국제단위계에서는 각도를 무차원량으로 간주하는 데다 [math(rm rad = 1)]이라고 잘못 정의[20]하고 있기 때문에 결과적으로 (에너지)/(회전)이 (에너지)가 되어 둘을 구분할 수 없게 된 것이다. 즉 돌림힘의 단위를 [math(\rm N{\cdot}m/rad = J/rad)]라고 규정하면 힘이나 일 또는 에너지와 혼동할 여지가 전혀 없으며, 나아가 각도를 무차원량이 아닌, 차원이 [math(\sf A)]인 물리량으로 간주하면 돌림힘은 차원이 [math(\sf ML^2T^2A^{-1})]인 물리량이고, 일은 [math(\sf ML^2T^2)]이 되므로 차원 분석으로도 둘을 구분할 수 있다.6. 교육과정에서
- 7차 교육과정: 교육과정에 포함되지 않음.
- 2009 개정 교육과정: 물리Ⅰ
- 2015 개정 교육과정: 물리학Ⅱ
2009 개정 교육과정에서 융합노선을 강조하면서 유체역학과 함께 교육과정에 포함되었다. 당시 물리1 수험생들에게 인식은 그야말로 최종 보스 그 자체였는데, 써야 하는 공식은 많지 않지만 화학의 양적관계, 중화반응 마냥 계산이 매우 복잡했기 때문에 물리1의 타임어택화에 큰 기여를 했고, 결국 지나치게 어렵다는 비판을 받자 2015 개정 교육과정에서 물리학Ⅱ로 격상되었다. 격상되고 나서도 수능에서 고정 18~19번을 맡는 등 고등 물리학에서도 매우 까다롭고 어렵다고 평가받는다.
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| 기계공학 교육 · 연구 | ||
| 관련 분야 | 항공우주공학 · 로봇공학 · 메카트로닉스 · 제어공학 · 원자력공학 · 나노과학 | |
| 학과 | 기계공학과 · 항공우주공학과 · 조선해양공학과 · 로봇공학과 · 금형공학과 · 자동차공학과 · 기전공학과 · 원자력공학과 | |
| 과목 | 공업수학 · 일반물리학 · 4대역학(동역학 · 정역학 · 고체역학 · 유체역학 · 열전달) · 수치해석 · 프로그래밍 · 캡스톤 디자인 | |
| 관련 기관 | 국가과학기술연구회( 과학기술분야 정부출연연구기관) | |
| 자격증 | ||
| 기계제작 계열 |
기능사 컴퓨터응용선반기능사 · 컴퓨터응용밀링기능사 · 기계가공조립기능사 · 전산응용기계제도기능사 · 정밀측정기능사 |
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산업기사 및 기사 컴퓨터응용가공산업기사 · 기계조립산업기사 · 기계설계산업기사 · 정밀측정산업기사 · 일반기계기사 |
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기능장 및 기술사 기계가공기능장 · 기계기술사 |
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| 항공 계열 |
기능사 항공기정비기능사 · 항공전기·전자정비기능사 |
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산업기사 및 기사 항공산업기사 · 항공기사 |
||
|
기능장 및 기술사 항공기관기술사 · 항공기체기술사 |
||
| 기타 | ||
[1]
단,
라그랑주 역학 관점에서는 엄연히 힘에 해당한다. 이는 벡터량을 사용하지 않기 때문이다.
[2]
학생들이 가장 이해하기 힘들어하는 부분이 “회전은 변위(이동)가 아니란 말인가?”이다.
물리학에서는 제자리에서 빙빙 도는 회전은 변위(이동)가 아니라고 본다. 학교 물리학 선생님들이 종종 “줄자로 잴 수 있어야 이동이고, 각도기로 재야 한다면 회전이다”라고 말하는 게 그 얘기다.
[3]
굳이 번역어를 찾아본다면 '경향성' 혹은 '됨됨'과 의미가 가깝다. 중국어로는
矩로 번역한다.
[4]
원운동은 선속도의 방향이 변하는 가속도 운동이다. 강체를 구성하는 어떤 질점의 선속도를 변화시키는 구심 가속도는 이웃한 다른 질점과의 결합력이나 회전 관성에 대한 응력과 같은 상호작용에서 기인하므로, 직선 운동에서처럼 (힘)[math(~\bm\cdot~)](거리)를 이용한 방법으로 회전 운동을 해석하는 것은 방법론 관점에서 그다지 효율적이지 않다.
[5]
엄밀하게 따지면 이 개개의 질점에 대한 해석은
관성 모멘트, 나아가
관성 텐서한테 떠넘긴(…) 것이긴 하다.
[6]
[math({\rm J} = {\rm N{\cdot}m})]이지만 국제단위계에서는 [math(\rm J)]이 일(에너지)의 단위이기 때문에 혼동을 막기 위해 돌림힘의 단위를 [math(\rm N{\cdot}m)]으로 쓸 것을 권장한다. 그러나 사실 이는 국제단위계에서 [math(\rm rad = 1)]로 잘못 간주하고 있는 것에서 기인하며 돌림힘의 단위는 [math(\rm rad)]이 나눠진 단위, 즉 [math(\rm N{\cdot}m/rad)]으로 써야 맞다.
[7]
제국 단위계를 비롯한
야드파운드법,
미국 단위계에서는 질량의 단위로
[math(rm lb)]를 쓰므로 [math(\rm kgf{\cdot}m)]와 비슷하게 [math(\rm lbf{\cdot}ft)](파운드포스 피트)를 사용한다. 물론 이 역시 [math(\rm lbf{\cdot}ft/rad)]과 같이 각도가 포함된 단위로 쓰는 게 더 정확하다.
[8]
외적의 경우 두 피연산자 위치를 바꾸면 부호도 같이 바꿔야 한다.
[9]
해당 문서에서는 [math(\bf r)]이 회전축과 수직하지 않은 경우의 회전이지만, [math({\bf r'} = {\bf r'}_\parallel + {\bf r'}_\perp)], [math({\bf r} = {\bf r}_\parallel + {\bf r}_\perp)]이고 [math({\bf r'}_\parallel = {\bf r}_\parallel)]이므로 [math(\Delta{\bf r} = ({\bf r'}_\parallel + {\bf r'}_\perp) - ({\bf r}_\parallel + {\bf r}_\perp) = {\bf r'}_\perp - {\bf r}_\perp)]으로서 결과적으로 회전축에 수직한 성분만의 연산을 다루는 경우와 같으므로 본 상황에도 그대로 적용이 가능하다.
[10]
현행 국제단위계에서는 (
비록 틀린 정의이긴 하나) [math({\rm rad} = 1)]로 규정하고 있기 때문에 [math({\bf r\bm\times F}/{\rm rad} = {\bf r\bm\times F})]이다.
[11]
힘을 돌림힘에, 변위를 각 변위에 대응시킨다.
[12]
단, 이렇게 단위를 옮기는 행위가 작위적이라고 비판하는 학자들도 적지 않다. [math(({\bf r\bm\times F})\bm\cdot{\rm d}\bm\theta/{\rm rad} = ({\bf r\bm\times F}/{\rm rad})\bm\cdot{\rm d}\bm\theta)]가 가능하다면, [math(l = r\theta/{\rm rad} = (r/{\rm rad})\theta)]도 타당하냐는 논리이다. 각도가 무차원량이 아니라는 점에 동의하는 학자들 사이에서도, 엄밀한 방식으로 수정되어야 할 물리학 공식에 대해서는 저마다 의견이 갈리고 있는 상황이다. 물론 돌림힘의 경우엔 회전 운동 에너지를 일으키는 물리량이라는 타당한 근거가 있기 때문에, 마냥 작위적인 조작이라고 치부할 수는 없다.
[13]
[math(\omega{\bf\hat n} = \bm\omega)]로 나타낸 것에 불과하므로 [math(\cfrac{{\rm d}\bm{\underline\omega}}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}(\underline\omega{\bf\hat n})}{{\rm d}t} = \cfrac{{\rm d}\underline\omega}{{\rm d}t}{\bf\hat n} = \underline\alpha{\bf\hat n} = \bm{\underline\alpha})]로, 각가속도의 방향이 각속도의 방향 [math(\bf\hat n)]으로 같음을 알 수 있다.
[14]
구심가속도이다.
[15]
그리고 [math(\bm\tau = \cfrac{{\rm d}{\bf L}}{{\rm d}t})]였으므로 [math({\bf L} = I\bm\omega)]가 된다.
[16]
여기서 9550은 [math(\cfrac{30000}\pi)]의 근삿값이다. 단위를 분석해보면 [math({\rm rpm} = \cfrac\pi{30}{\rm\,rad/s})]이므로 [math({\rm rad/s} = \cfrac{30}\pi{\rm\,rpm})]이다. 양 방정식 [math(P = \bm{\tau\cdot\omega})]를 수치 방정식으로 바꿔보면 [math(P)]의 단위가 [math({\rm kW} = 1000{\rm\,W} = 1000{\rm\,J/s} = 1000{\rm\,(J/rad){\cdot}(rad/s)} = 1000{\rm\,(J/rad){\cdot}\cfrac{30}\pi\,rpm} = \cfrac{30000}\pi{\rm\,(J/rad){\cdot}rpm})]이므로
[math(\begin{aligned} \frac P{\rm kW} &= \frac{\bm{\tau\cdot\omega}}{\dfrac{30000}\pi{\rm(J/rad){\cdot}rpm}} \\ &= \frac1{\dfrac{30000}\pi}\frac{\bm\tau}{\rm J/rad}\bm\cdot\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\end{aligned})]
따라서 일률의 단위가 [math(\rm kW)]일 때, 돌림힘의 단위가 [math({\rm N{\cdot}m} = {\rm J/rad})], 각속도의 단위가 [math(\rm rpm)]이라면 결과값을 [math(\cfrac{30000}\pi\fallingdotseq 9550)]으로 나눠야 한다. [17] 5252라는 수치는 본래 5184이지만 [math(1{\rm\,hp})]을 정의하는 과정에서 반올림이 적용되어 5252가 되었다. 1마력은 [math(180{\rm\,lbf})]의 힘으로 반지름이 [math(\rm12\,ft)]인 연자방아(돌림힘 [math(180\times12{\rm\,lbf{\cdot}ft/rad})])를 1분당 [math(2.4)]회전(각속도 [math(2.4\times2\pi{\rm\,rad/min})])시키는 데에 드는 일률로 정의되기 때문에 [math(1{\rm\,hp} = 180\times12\times2.4\times2\pi{\rm\,lbf{\cdot}ft/min} = 5184\times2\pi{\rm\,lbf{\cdot}ft/min}\approx32\,572{\rm\,lbf{\cdot}ft/min})]인데 이걸 편의상 반올림하여 [math(1{\rm\,hp} = 33\,000{\rm\,lbf{\cdot}ft/min})]으로 정의한다. [math({\rm rpm} = 2\pi{\rm\,rad/min})]이므로 [math({\rm rad/min} = \cfrac1{2\pi}{\rm\,rpm})]이며 이걸 마력의 정의에 대입하면 [math({\rm hp} = 33000{\rm\,lbf{\cdot}ft/min} = 33000{\rm\,(lbf{\cdot}ft/rad){\cdot}(rad/min)} = 33000{\rm\,(lbf{\cdot}ft/rad){\cdot}\cfrac1{2\pi}\,rpm} = \cfrac{33000}{2\pi}{\rm\,(lbf{\cdot}ft/rad){\cdot}rpm})]이다. 앞선 경우와 마찬가지로 양 방정식 [math(P = \bm{\tau\cdot\omega})]를 수치 방정식으로 바꿔보면
[math(\begin{aligned}\frac P{\rm hp} &= \frac{\bm{\tau\cdot\omega}}{\dfrac{33000}{2\pi}{\rm\,(lbf{\cdot}ft/rad){\cdot}rpm}} \\ &= \frac1{\dfrac{33000}{2\pi}}\frac{\bm\tau}{\rm lbf{\cdot}ft/rad}\bm\cdot\frac{\bm\omega}{\rm\,rpm} \\ &\fallingdotseq \frac1{5252}\frac{\bm\tau}{\rm lbf{\cdot}ft/rad}\bm\cdot\frac{\bm\omega}{\rm\,rpm} \end{aligned})]
따라서 돌림힘과 각속도를 곱한 값을 [math(5252)]로 나눠야 하는데 이 값은 [math(5184\times2\pi)]를 반올림한 값을 [math(2\pi)]로 나눈 값이므로 반올림 없이 엄밀하게 계산하면 5184로 나누는 게 맞긴 하다. [18] 오토바이 치고는 느리다는 의미이다. 크루저 역시 시속 [math(150\rm\,km)] 정도는 낼 수 있다. 오토바이에서 “빠르다”는 것은 시속 [math(200\rm\,km)] 이상을 얘기한다. [19] 단순하게 설명하자면, 내연기관은 공기를 실린더 안으로 들여보내고 실린더 안의 연소기체를 밖으로 내보내는 흡기, 배기 밸브가 달려있는데, 이 밸브가 여닫히는 속도가 일정한 범위로 정해져있기 때문에 그보다 더 느리거나 더 빠르게 엔진이 작동할 경우 돌림힘이 크게 저하하기 때문이다. [20] 간단하게 얘기하자면 입체각의 단위인 [math(\rm sr)]은 [math({rm sr} = {rm rad^2})] 관계를 만족하는데, 엄연히 질적으로 다른 두 물리량인 입체각과 평면각을 같은 것으로 볼 수 있다는 모순([math({\rm sr} = {\rm rad})])에 빠지게 되므로 [math({\rm rad} = 1)]은 잘못된 정의이다.
[math(\begin{aligned} \frac P{\rm kW} &= \frac{\bm{\tau\cdot\omega}}{\dfrac{30000}\pi{\rm(J/rad){\cdot}rpm}} \\ &= \frac1{\dfrac{30000}\pi}\frac{\bm\tau}{\rm J/rad}\bm\cdot\frac{\bm\omega}{\rm rpm}\end{aligned})]
따라서 일률의 단위가 [math(\rm kW)]일 때, 돌림힘의 단위가 [math({\rm N{\cdot}m} = {\rm J/rad})], 각속도의 단위가 [math(\rm rpm)]이라면 결과값을 [math(\cfrac{30000}\pi\fallingdotseq 9550)]으로 나눠야 한다. [17] 5252라는 수치는 본래 5184이지만 [math(1{\rm\,hp})]을 정의하는 과정에서 반올림이 적용되어 5252가 되었다. 1마력은 [math(180{\rm\,lbf})]의 힘으로 반지름이 [math(\rm12\,ft)]인 연자방아(돌림힘 [math(180\times12{\rm\,lbf{\cdot}ft/rad})])를 1분당 [math(2.4)]회전(각속도 [math(2.4\times2\pi{\rm\,rad/min})])시키는 데에 드는 일률로 정의되기 때문에 [math(1{\rm\,hp} = 180\times12\times2.4\times2\pi{\rm\,lbf{\cdot}ft/min} = 5184\times2\pi{\rm\,lbf{\cdot}ft/min}\approx32\,572{\rm\,lbf{\cdot}ft/min})]인데 이걸 편의상 반올림하여 [math(1{\rm\,hp} = 33\,000{\rm\,lbf{\cdot}ft/min})]으로 정의한다. [math({\rm rpm} = 2\pi{\rm\,rad/min})]이므로 [math({\rm rad/min} = \cfrac1{2\pi}{\rm\,rpm})]이며 이걸 마력의 정의에 대입하면 [math({\rm hp} = 33000{\rm\,lbf{\cdot}ft/min} = 33000{\rm\,(lbf{\cdot}ft/rad){\cdot}(rad/min)} = 33000{\rm\,(lbf{\cdot}ft/rad){\cdot}\cfrac1{2\pi}\,rpm} = \cfrac{33000}{2\pi}{\rm\,(lbf{\cdot}ft/rad){\cdot}rpm})]이다. 앞선 경우와 마찬가지로 양 방정식 [math(P = \bm{\tau\cdot\omega})]를 수치 방정식으로 바꿔보면
[math(\begin{aligned}\frac P{\rm hp} &= \frac{\bm{\tau\cdot\omega}}{\dfrac{33000}{2\pi}{\rm\,(lbf{\cdot}ft/rad){\cdot}rpm}} \\ &= \frac1{\dfrac{33000}{2\pi}}\frac{\bm\tau}{\rm lbf{\cdot}ft/rad}\bm\cdot\frac{\bm\omega}{\rm\,rpm} \\ &\fallingdotseq \frac1{5252}\frac{\bm\tau}{\rm lbf{\cdot}ft/rad}\bm\cdot\frac{\bm\omega}{\rm\,rpm} \end{aligned})]
따라서 돌림힘과 각속도를 곱한 값을 [math(5252)]로 나눠야 하는데 이 값은 [math(5184\times2\pi)]를 반올림한 값을 [math(2\pi)]로 나눈 값이므로 반올림 없이 엄밀하게 계산하면 5184로 나누는 게 맞긴 하다. [18] 오토바이 치고는 느리다는 의미이다. 크루저 역시 시속 [math(150\rm\,km)] 정도는 낼 수 있다. 오토바이에서 “빠르다”는 것은 시속 [math(200\rm\,km)] 이상을 얘기한다. [19] 단순하게 설명하자면, 내연기관은 공기를 실린더 안으로 들여보내고 실린더 안의 연소기체를 밖으로 내보내는 흡기, 배기 밸브가 달려있는데, 이 밸브가 여닫히는 속도가 일정한 범위로 정해져있기 때문에 그보다 더 느리거나 더 빠르게 엔진이 작동할 경우 돌림힘이 크게 저하하기 때문이다. [20] 간단하게 얘기하자면 입체각의 단위인 [math(\rm sr)]은 [math({rm sr} = {rm rad^2})] 관계를 만족하는데, 엄연히 질적으로 다른 두 물리량인 입체각과 평면각을 같은 것으로 볼 수 있다는 모순([math({\rm sr} = {\rm rad})])에 빠지게 되므로 [math({\rm rad} = 1)]은 잘못된 정의이다.