1. 개요
moment of inertia물체가 회전 운동을 하는 상태를 계속 유지하려는 성질을 의미한다. 회전 관성이라고도 부르며, 일반적으로 기호는 inertia(관성)에서 유래한 [math(I)][1]를 쓴다. 동일한 물체라도 회전축에 따라 이 값은 얼마든지 달라질 수 있다.
어떤 계에 힘을 주면, 그 계는 어떤 식으로 반응을 한다. 만약 이 계가 선형적이라면, [math({\bf F}=m{\bf a})] 로 나타낼 수 있다.
이는 힘 [math(\bf F)]가 주어지면, 계는 가속도 [math(\bf a)]로 반응을 한다는 것인데, 여기서 해석을 달리하면 질량 [math(m)]은 물체가 힘에 '저항'[2]하는 정도로 생각할 수 있다. 여기서 이 저항 개념을 회전계에서도 그대로 적용할 수 있는데, 문제는 회전계에서는 단순질량만으론 저항을 나타낼 수 없다는 것이다. 가령, 어떤 막대를 두고 돌릴 때, 막대의 중심에서 돌리는 것과 막대의 가장자리에서 돌리는 것에는 차이가 있음을 직관적으로 알 수 있다.
여기서 알 수 있는 것은 회전계에서는 힘에 저항하는 요소가 단순히 질량뿐만 아니라 돌리는 지점의 위치, 나아가서는 '질량중심과 회전축간의 거리'도 포함된다는 것이다. 이렇게 '회전계에서 외부 힘에 저항하는 요소들'을 묶어서 나타낸 것이 바로 이 관성 모멘트이다.
이렇게 굳이 이런 정의를 세워가는 이유는 역학을 일관성 있게 나타낼 수 있기 때문이다. 가령 [math({\bf F}=m{\bf a})]를 예로 들면, 회전계에서 힘과 각가속도 간의 관계는 돌림힘 [math(\bf N)]을 이용하여 [math({\bf N}=I\bm\alpha)]로 나타낼 수 있다. 즉, 일반적인 선운동량의 표현식에서 질량이 해주는 일을 관성 모멘트로 대체하는 것으로 일관적이고 직관적인 서술이 가능하다는 것이다.
이하 아래 서술에서 각과 관련된 운동량에 [math(\underline{~~})](언더 바)가 그어져있는 것은 각도 단위가 약분된 물리량, 즉 [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})], [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})] 등이다.
2. 정의
2.1. 회전 운동 에너지로부터의 도출
관성 모멘트는 회전 운동 에너지를 논의하면서 처음 보게 된다.돌림힘 문서에 설명되어있듯이, 어떤 물체에 외력 [math(\bf F)]가 가해져서 제자리에서 미소 각 변위 [math({\rm d}{\bf l})]만큼 회전하는 경우 미소 회전 운동 에너지 [math({\rm d}T_r = {\bf F}\bm\cdot{\rm d}{\bf l})]이 발생한다. 전체 회전 운동 에너지는 이 미소 에너지의 합(적분)과 같으므로
| [math(\displaystyle T_r = \int{\bf F}\bm\cdot{\rm d}{\bf l})] |
| [math(\displaystyle T_r = \sum_i\int{\bf F}_i\bm\cdot{\rm d}{\bf l}_i)] |
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[math(\begin{aligned}T_r &= \sum_i\int{\bf F}_i\bm\cdot({\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}_i}) \\ &= \sum_i\int{\rm d}\bm{\underline\theta}\bm\cdot({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i) \\ &= \sum_i\int({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i)\bm\cdot{\rm d}\bm{\underline\theta} \\ &= \sum_i\int({\bf r}_i\bm\times{\bf F}_i/{\rm rad})\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\ &= \sum_i\int{\left\{{\bf r}_i\bm\times{\left(m_i\frac{{\rm d}{\bf v}_i}{{\rm d}t}\right)}/{\rm rad}\right\}}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\ &= \sum_i\int{\left\{m_i{\bf r}_i\bm\times{\left(\underline{\bm\alpha}\bm\times{\bf r}_i -|\underline{\bm\omega}|^2{\bf r}_i\right)}/{\rm rad}\right\}}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\ &= \sum_i\int{\left(m_i|{\bf r}_i|^2\underline{\bm\alpha}/{\rm rad}\right)}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\ &= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2\bm\alpha/{\rm rad^2}\right)}\bm\cdot{\rm d}\bm\theta \\ &= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2\frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t}/{\rm rad^2}\right)}\bm\cdot\bm\omega{\rm\,d}t \\ &= \sum_i\int{\left(m_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}\bm{\omega\cdot{\rm d}\omega} \\ &= \sum_i\frac12{\left(m_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}|\bm\omega|^2 \\ &= \frac12{\left(\sum_im_i{r_i}^2/{\rm rad^2}\right)}\omega^2\end{aligned})][4] |
| [math(\displaystyle I\equiv \sum_im_i{r_i}^2/\rm rad^2)] |
| [math(T_r = \dfrac12I\omega^2)] |
2.2. 종합
회전축으로부터 거리가 [math(r)]만큼 떨어진 점질량[5] [math(m)]이 있을 때, 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.| [math(I \equiv mr^2/\rm rad^2)] |
| [math(\displaystyle I \equiv \sum_{i=1}^nm_i{r_i}^2/\rm rad^2)] |
| [math(\begin{aligned} I &= \int r^2{\rm\,d}m/\rm rad^2 \\ &= \int \rho({\bf r})r^2{\rm\,d}V/\rm rad^2 \end{aligned})] |
그러나 매우 얇은 판 등 표면 밀도 [math(\sigma({\bf r}))]나 얇은 줄 등 선밀도 [math(\lambda({\bf r}))]를 이용하여도 관성 모멘트를 구할 수 있는데 이들을 각각 단면 2차 모멘트, 단면 1차 모멘트라 하고 각각 다음과 같이 정의된다.
| [math(\begin{aligned} I &\equiv \int \sigma({\bf r})r^2{\rm\,d}a/\rm rad^2 \\ I &\equiv \int \lambda({\bf r})r^2{\rm\,d}l/\rm rad^2 \end{aligned})] |
차원 분석을 하면 [math(I \equiv mr^2/{\rm rad^2})]이므로 (현행 국제단위계 기준)[math(\dim I = \dim(mr^2/{\rm rad^2}) = {\sf ML^21^{-2}} = {\sf ML^2})]이지만 엄밀하게 따지면 각도는 무차원량이 아니며 각도의 차원을 [math(\sf A)]라고 하면 [math(\dim I = {\sf ML^2A^{-2}})]이며 따라서 표준 단위는 [math(\rm kg{\cdot}m^2/rad^2)]이다.[6] 비록 스테라디안이 라디안의 제곱([math(\rm sr = rad^2)])이기는 하나 본 단위는 구심가속도 [math(a = r\omega^2/\rm rad^2)]의 경우와 마찬가지로 입체각과는 아무런 관련이 없다. 다만 위와 같은 단위 표기로부터 관성 모멘트가 회전 운동과 매우 밀접한 관련이 있다는 점은 유추할 수 있다.[7]
3. 관성 모멘트 목록
매번 적분을 계산하기 힘들기 때문에, 물체의 강체의 모양 따른 관성 모멘트를 나타낸 목록이 존재한다. 이 문서에서는 자주 나오는 여섯 종류의 강체만 소개한다.아래의 모든 강체의 질량은 [math(M)]이며, 밀도는 균일하다.
| 회전축이 중심에 있는 길이 [math(\bm L)]인 얇은 막대 |
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| [math(I=\dfrac1{12}ML^2/\rm rad^2)] |
| 회전축이 막대 끝에 있는 길이 [math(\bm L)]인 얇은 막대 |
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| [math(I=\dfrac13ML^2/\rm rad^2)] |
| 속이 꽉 찬 반지름이 [math(\bm R)]인 구 |
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| [math(I=\dfrac25MR^2/\rm rad^2)] |
| 반지름이 [math(\bm R)]인 구 껍질 |
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| [math(I=\dfrac23MR^2/\rm rad^2)] |
| 반지름과 높이가 각각 [math(\bm R)], [math(\bm h)]인 원판 |
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| [math(I=\dfrac12MR^2/\rm rad^2)] |
| 반지름과 높이가 각각 [math(\bm R)], [math(\bm h)]인 속이 빈 원판[8] |
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| [math(I=MR^2/\rm rad^2)] |
이 외에도 여러 도형의 관성 모멘트 식이 알려져 있으며, 자세한 것은 이곳을 참고할 것.
4. 관련 정리
4.1. 평행축 정리
평행축 정리(parallel-axis theorem)는 한 물체의 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다.
질량이 [math(M)]인 질점계의 질량중심을 [math(\rm CM)]이라 하고, 그 점을 수직으로 지나가는 회전축 [math(\rm I)]에서 측정된 계의 관성 모멘트를 [math(I_{\rm CM})]이라 하자. 또, 계에서 [math(i)]번째 질점을 [math(m_i)]라 놓고, 회전축 [math(\rm I)]를 기준으로 [math(i)]번째 질점까지의 위치 벡터를 [math({\bf r'}_i)][9]라 하면,
| [math(\begin{aligned} I_{\rm CM}{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^n m_i({\bf r'}_i\bm\cdot{\bf r'}_i) \\ &= \sum_{i=1}^n m_i{{r'}_i}^2 \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} I_{\rm P}{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^nm_i({\bf R'}_i\bm\cdot{\bf R'}_i) \\ &= \sum_{i=1}^nm_i{\left\{({\bf r'}_i-{\bf a})\bm\cdot({\bf r'}_i-{\bf a})\right\}}\end{aligned})] |
| [math(\displaystyle I_{\rm P}{\rm\,rad^2} = \sum_{i=1}^nm_i{{r'}_i}^2 + \sum_{i=1}^nm_ia^2 - 2{\bf a}\bm\cdot\sum_{i=1}^nm_i{\bf r'}_i)] |
| [math(\displaystyle I_{\rm P}{\rm\,rad^2} = \sum_{i=1}^nm_i {{r'}_i}^2 + \sum_{i=1}^nm_ia^2)] |
| [math(I_{\rm P} = I_{\rm CM} + Ma^2/{\rm rad^2})] |
4.2. 수직축 정리
수직축 정리는 서로 수직한 세 회전축에 대한 관성 모멘트의 관계이다. [math(xy)]평면 위에 놓인 판 모양의 물체에 대해[11], 서로 수직한 세개의 축을 각각 [math(x)]축, [math(y)]축, [math(z)]축이라 하고, 각각의 축에서 측정된 관성 모멘트를 각각 [math(I_x)], [math(I_y)], [math(I_z)]라 하자.
이때, 각 축에 대한 [math(i)]번째 질점까지의 거리를 [math(r_{ix})], [math(r_{iy})], [math(r_{iz})]라 놓으면, [math(n)]개의 질점계에 대해
| [math(\displaystyle I_z = \sum_{i=1}^nm_i{r_{iz}}^2/\rm rad^2)] |
| [math(\begin{aligned} I_z{\rm\,rad^2} &= \sum_{i=1}^nm_i{\left({r_{ix}}^2 + {r_{iy}}^2\right)} \\ &= \sum_{i=1}^nm_i{r_{ix}}^2 + \sum_{i=1}^nm_i{r_{iy}}^2\end{aligned})] |
| [math(I_z = I_x + I_y)] |
5. 관성 텐서
6. 관련 문서
[1]
전기기기 서적 등 전기와 관련된 서적에서는 전류와 구별하기 위해 [math(J)]를 쓰는 경우도 있다.
[2]
이를 엄밀히 정의한 것이 '관성의 법칙'이다.
[3]
참고로 회전 운동이기 때문에 질점간에 선속도는 다르지만 각속도와 각가속도는 동일하다.
[4]
중간에 [math({\rm d}\bm{\underline\theta} = {\rm d}\bm\theta/{\rm rad})]의 [math(\rm/rad)]이 [math(\bf r\bm\times F)] 쪽으로 넘어가는 이유는 (회전 운동 에너지)[math(=)](돌림힘)[math(\times)](각도)의 관계에 있어 결과적으로 (돌림힘)[math(=)](회전 운동 에너지)/(각도), 즉 돌림힘이 각도 당 회전 운동 에너지 차원이라는 점을 드러내기 위해서이다. 따라서 일반적으로 알려진 돌림힘의 단위 [math(\rm N{\cdot}m)]도 정확하게는 [math(\rm rad)]을 살려서 [math(\rm N{\cdot}m/rad = J/rad)]으로 나타내는 것이 정확하며, 이는 일률 [math(P)]와 돌림힘의 관계식 [math(P = \bm{{\bf N}\cdot\omega})]으로부터 얻어지는 단위 관계 [math(\rm J/s = (J/rad){\cdot}(rad/s))]와도 일관된다는 점을 알 수 있다. 운동 방정식에 이렇게 단위가 끼어드는 게 어색할 수 있는데, 물리량만으로 구성되는 여타 일반적인 방정식과는 달리, 회전 운동 에너지에는 각도 그 자체가 아닌 각도의 수치가 포함되는 수치 방정식이기 때문에(
물리량 문서 참고) 단위를 포함시켜서 쓰는 게 맞다.
[5]
질량이 한 점에 모여있는 입자를 말한다. 즉, 질점.
[6]
현행 국제단위계에서는 [math(\rm rad = 1)]로 약속하고 있으므로 익숙한 단위 [math(\rm kg{\cdot}m^2)]이 도출되기는 한다.
[7]
달리 말하자면 [math(\rm rad)]을 생략하는 현행 표기법상으론 관성 모멘트에 대한 지식이 없으면 [math(\rm kg{\cdot}m^2)]만 봐서는 이게 회전 운동과 관련 있는 단위인지 전혀 유추할 수 없다는 뜻이기도 하다.
[8]
단, 원판의 두께는 무시할 수 있을 만큼 얇다고 가정할 때 성립한다.
[9]
프라임은 회전축으로부터 측정된 벡터임을 강조하기 위한 것이다.
[참고]
총 질량이 [math(M)]인 질점계의 질량중심 벡터 [math(\bf M)]은 [math(\displaystyle {\bf M} \equiv \frac1M\sum_{i=1}^nm_i{\bf r'}_i)]이다.
[11]
모든 물체에 대해 성립하지는 않는다.