최근 수정 시각 : 2017-11-07 00:53:23

원주각

파일:나무위키프로젝트.png
이 문서는 나무위키 수학 프로젝트에서 다루는 문서입니다.
해당 프로젝트 문서를 방문하여 도움이 필요한 문서에 기여하여 주세요!


1. 개요2. 성질
2.1. 원주각을 이루는 두 선분의 길이가 같을 때
3. 증명
3.1. 원주각과 중심각 크기의 관계3.2. 원주각과 대응하는 호의 길이의 비례


圓周角 / Inscribed angle

1. 개요

파일:원주각_1.png
위의 세 점을 잡아 만들 수 있는 각을 말한다. 원 위의 서로 다른 세 점 A, B, P를 잡았을 때, 각 APB를 호 AB에 대한 원주각이라 한다. 이 원의 중심을 O라고 할 때 각 AOB는 호 AB에 대한 중심각이라 한다.

2. 성질

  • 원주각 및 중심각은 대응하는 호의 길이에 비례한다.
  • 원주각의 크기는 대응하는 호의 길이가 같은 중심각 크기의 절반이다.
    • 중심각의 크기는 360º 미만이므로 원주각의 크기는 항상 180º 미만이다.
  • 한 원에서 같은 원주각을 가지는 두 현은 길이가 같다.

2.1. 원주각을 이루는 두 선분의 길이가 같을 때

파일:원주각_7.png
1. 원주각의 크기와 원주각을 이루는 두 선분의 길이의 관계
위 그림에서 두 선분 AP, BP의 길이가 같다고 하면 삼각형 APB는 이등변삼각형이므로 원주각의 크기를 a라고 하면 AOP=BOP=a2\displaystyle \angle AOP=\angle BOP=\frac{a}{2}가 성립한다. 반지름의 길이를 r라 하면 선분 OA, OB, OP의 길이가 모두 r이므로 삼각형 APO, BPO는 모두 이등변삼각형이다. 따라서 PAO=PBO=a2\displaystyle \angle PAO=\angle PBO=\frac{a}{2}가 성립한다. O에서 선분 AP에 내린 수선의 발을 M, 선분 PB에 내린 수선의 발을 N이라고 하면 선분 AM, MP, BN, NP의 길이는 모두 rcosa2\displaystyle r\cos\frac{a}{2}로 서로 같으므로, 선분 AP, PB의 길이는 이 2배인 2rcosa2\displaystyle 2r\cos\frac{a}{2}이다.

파일:원주각_8.png
2. 삼각형 APB의 넓이
위 그림에서 선분 PQ와 AB의 교점을 X, 반지름을 r라고 하면, 원주각과 중심각의 크기 관계에 의하여 AOX=BOX=a\angle AOX=\angle BOX=a이므로 선분 AX의 길이는 AO¯sina=rsina\bar{AO}\sin a=r\sin a, OX의 길이는 AO¯cosa=rcosa\bar{AO}\cos a=r\cos a이고, 따라서 PX의 길이는 r(1+cosar(1+\cos a이다. 따라서 삼각형 APQ의 넓이는 12×AX¯×PX¯=12r2sina(1+cosa)\displaystyle \frac{1}{2}\times \bar{AX}\times \bar{PX}=\frac{1}{2} r^2\sin a (1+\cos a)이며, 삼각형 APB의 넓이는 대칭성에 의하여 그 2배이므로 r2sina(1+cosa)r^2\sin a (1+\cos a)임을 알 수 있다.

넓이를 앞에서 구한 선분 AP의 길이를 이용하여 구할 수도 있는데, PQ¯=AP¯cosa2,AB¯=2AQ¯=2APsina2\displaystyle \bar{PQ}=\bar{AP}\cos \frac{a}{2}, \bar{AB}=2\bar{AQ}=2{AP}\sin \frac{a}{2}이므로 삼각형의 넓이는 12×AB¯×PQ¯=AP¯2sina2cosa2=12×AP¯2sina\displaystyle \frac{1}{2}\times \bar{AB}\times \bar{PQ}={\bar{AP}}^2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}=\frac{1}{2}\times{\bar{AP}}^2\sin a이다. 이때 AP의 길이는 2rcosa2\displaystyle 2r\cos\frac{a}{2}이므로 구하는 넓이는 2r2sinacos2a2\displaystyle 2r^2\sin a {\cos}^2\frac{a}{2}이다.

이때 r2sina(1+cosa)=2r2sinacos2a2\displaystyle r^2\sin a (1+\cos a)=2r^2\sin a {\cos}^2\frac{a}{2}에서 양변을 r2sinar^2\sin a로 나눈 후 식을 정리하면 두 식이 서로 같아진다는 것을 알 수 있다.

3. 증명

위의 반지름의 길이는 모두 같다는 성질을 이등변 삼각형의 원리를 통해 증명할 수 있다.

원의 정의를 생각해 보면 어쩌면 당연하다. 원이라는 것의 정의 자체가 '특정한 한 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합'인지라... 그러나 정의가 아닌 '정리(증명)을 하려면 위의 성질을 이용할 수 있다는 것이다.

3.1. 원주각과 중심각 크기의 관계

중심각의 크기에 따라 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있지만, 본질적으로는 중심각이 180º일 때 원에 내접하면서 원의 중심을 지나는 삼각형은 직각삼각형이라는 성질을 이용하는 것을 제외하면 모두 서로 같은 방법이라고 할 수 있다.
파일:원주각_5.png
1. 중심각 < 180º(=π)인 경우
선분 PO의 연장선과 원이 만나는 점을 Q라 하자. 이때 OAP=a,OBP=b\angle OAP=a, \angle OBP=b라고 하면 선분 OA, OB, OP는 모두 원의 반지름이므로 서로 같고, 따라서 이등변삼각형의 성질에 의하여 OAP=APO=a,OBP=BPO=b\angle OAP=\angle APO=a, \angle OBP=\angle BPO=b가 성립한다. 삼각형 APO, POB의 내각의 합은 180º이므로 AOQ=2a,QOB=2b\angle AOQ=2a, \angle QOB=2b가 성립한다. 원주각의 크기는 a+b, 중심각의 크기는 2a+2b=2(a+b)이므로 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배이다.
파일:원주각_3.png
2. 중심각 = 180º인 경우
간단하다. 삼각형 APB는 원에 내접하고 원의 중심 O를 지나므로 (원주각)=APB\angle APB=90º가 성립한다. 따라서 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배이다.
파일:원주각_4.png
3. 중심각 > 180º인 경우
역시 OAP=a,OBP=b\angle OAP=a, \angle OBP=b라고 하면 1번과 마찬가지로 선분 OA, OP, OB의 길이가 모두 같고, 따라서 삼각형 AOP와 POB는 이등변삼각형이다. 따라서 마찬가지로 OAP=APO=a,OBP=BPO=b\angle OAP=\angle APO=a, \angle OBP=\angle BPO=b이고, AOP\angle AOP=180º-2a, BOP\angle BOP=180º-2b임을 알 수 있다. 따라서 AOB=AOP+POB\angle AOB=\angle AOP+\angle POB=360º-2(a+b)이고, 따라서 중심각의 크기는 2(a+b)이다. 원주각 APB\angle APB의 크기가 a+b이므로 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배이다.

3.2. 원주각과 대응하는 호의 길이의 비례

반지름이 rr이고 중심각의 크기가 θ\theta인 부채꼴의 호의 길이는 l=rθl=r\theta이고, 원주각의 크기는 중심각의 크기의 절반이므로 원주각의 크기를 θ\theta'라 하면 θ=θ2\displaystyle \theta'=\frac{\theta}{2}가 성립하고, 따라서 l=2rθl=2r\theta'가 성립함을 알 수 있다. 따라서 대응하는 호의 길이 ll은 원주각의 크기에 비례한다는 것을 알 수 있다.

분류