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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Triangle quelconque자크 루브찬스키(Jacques Lubczanski)라는 학자가 고안한, '아무 특징이 없는' 삼각형. 때로는 '평범'하기가 '비범'하기보다 어려움을 보여주는 단적인 예이자, 언어철학적 역설의 일종이다.
2. 상세
웬만한 삼각형엔 다 이름이 붙어 있기 때문에 정말 이름 없는 평범한 삼각형 만들기가 오히려 힘들다. 예를 들어 직각이 있으면 직각삼각형, 둔각이 있으면 둔각삼각형, 두 변의 길이가 같으면 이등변삼각형이라고 한다. 이에 자크 루브찬스키는 아무 특징 없는 '평범한 삼각형'을 작도하는 법을 연구했다. 그가 고안한 가장 간단한 '평범한 삼각형'은 다음과 같이 그릴 수 있다.- 정삼각형 하나를 그린다.
- 한 꼭짓점에서 대변(對邊)으로 수선을 내려 정삼각형을 이등분한 뒤, 그 중 하나를 버린다.
- 2에서 나온 직각삼각형의 길이가 중간인 변을 짧은 변으로 하는 직각 이등변삼각형을 덧붙여 그린다.
- 세 각이 각각 [math(45\degree)], [math(60\degree)], [math(75\degree)]인 정말 이름 없는 삼각형이 나온다.
그러나 평범한 삼각형의 세 각은 각각 [math(45\degree)], [math(60\degree)], [math(75\degree)]이므로 그냥 예각삼각형이라는 이름을 붙일 수 있으며, 세 변의 길이가 모두 다르므로 부등변삼각형이라는 이름을 붙일 수도 있어서 자크 루브찬스키의 연구는 사실 부질없다. 애당초 특수한 이름이 붙어 있는 여러 삼각형의 집합들은 종종 삼각형의 집합에 대하여 분할(partition)[1]이 되기 때문에 어떤 삼각형을 만들어도 그 삼각형에는 이름이 붙으므로 이런 생각을 할 여지조차도 원래는 없다. 예를 들어 각의 측면에서는 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형의 집합이 그러하며, 변의 측면에서는 부등변삼각형, 이등변삼각형, 정삼각형의 집합이 그러하다. 다시 말해서 모든 삼각형은 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형 중 하나이며, 부등변삼각형, 이등변삼각형, 정삼각형 중 하나인 것이다.
그런데 여기에서 정말 주목해야 할 대목은 '평범한 삼각형'이라는 이름이자 특징이 생겼으므로 이름과 달리 결국 평범한 삼각형이 아니게 된다는 점이다. 그렇다면 도대체 ' 평범하다', '비범하다', '특이하다'의 의미란 무엇인가? 이는 베켄바흐의 역설에서 제기되는 언어철학적 문제와도 맞닿아 있다.
3. 관련 문서
[1]
집합 [math(S)]에 대하여 [math(\displaystyle\bigcup_{i=1}^nS_i=S)]이고 모든 [math(i\neq j)]에 대하여 [math(S_i\cap S_j=\phi)]이면 이 [math(S_i)]들을 집합 [math(S)]의 분할이라고 한다. 아주 직관적으로 말하면 어떤 집합을 여러 조각으로 나누어 놓았을 때 각 조각들이 분할인 것이다.