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평면기하학 Plane Geometry |
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割 線 / secant line, chord
1. 개요
원과 두 점에서 만나는 직선.2. 특징
할선을 그었을 때 원 안쪽의 할선은 현, 원 테두리의 곡선은 호라고 하며, 원 위에 할선을 그으면 호와 현으로 둘러싸인 활꼴이 만들어지게 된다. 이때, 원에서 가장 큰 현을 지름이라고 한다. 할선에서 수직이등분선을 그릴 때, 할선과 호의 거리가 가장 짧은 선분이 시가 된다.접선과의 관계에 대해 알아보자면, 원과의 교점이 두 개인 직선이 할선이고, 접선은 교점이 한 개이다. 접선에 비해서 아무렇게나 찍찍 그리면 만들어져서 별로 중요해보이지 않을 수 있지만 원에서의 다양한 용어들을 정의하는데 유용하다. 접선 문서에서도 언급되어 있지만 접선을 원과 할선의 두 점의 거리를 [math(0)]으로 수렴시킨 극한으로 인식하는 경우도 있다.
수학(2015)에서 원에 관련된 단원이 나오므로 자주 볼 수 있다. 기본적으로 판별식 [math(D)]나 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 원의 반지름보다 커야 한다는 것을 이용한다.
중심각이 [math(x)](단위는 라디안)인 활꼴에서 현의 길이는 현 함수 [math({\rm crd}\,x)][1]로도 나타내는데 [math({\rm crd}\,x = 2\sin\dfrac x2)]이기 때문에 굳이 복잡하게 이런 함수를 쓸 필요가 없어 특별한 경우가 아니면 잘 쓰이지 않는다. 역함수[2]인 [math(\rm acrd)]도 있는데 이 역시 역삼각함수를 이용해 [math({\rm acrd}\,x = 2\arcsin\dfrac x2)]로 정의된다.
3. 할선의 결정
좌표평면에서 할선은 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기, 원 밖의 두 점 등으로 결정될 수 있는데, 이때 기울기나 두 점의 위치에 따라서 할선이 생길 수도 있지만 그렇지 않을 수도 있다.- 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기: 원과 접하는 접선이 [math(x)]축 양의 방향과 이루는 각을 각각 [math(\theta,\,\theta'\,(\theta<\theta'))]라 하면 할선이 생기기 위해서는 기울기의 각 [math(\Theta)]가 [math(\theta<\Theta<\theta')]여야 한다.
- 원 밖의 두 점의 위치: 두 점을 잇는 직선의 방정식과 원의 방정식을 연립하여 이차방정식을 세운 후, 그 이차방정식의 판별식 [math(D)]의 값이 [math(D>0)]이면 교점이 2개이므로 할선이 만들어진다. 눈대중으로 파악하거나 연필과 자를 이용하여 두 점을 직접 연결하는 직관적인 방법도 있다.
4. 활꼴의 넓이
원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 가정하고, 그 원의 한 할선을 [math(x=k)] (단, [math(0<k<1)])라 하자. 이때 할선 오른쪽의 넓이는 부채꼴 [math(\rm AOB)]의 넓이에서 이등변삼각형 [math(\rm AOB)]의 넓이를 뺀 값과 같다. [math(\overline{\rm AO})]와 [math(\overline{\rm OC})]가 이루는 각의 크기를 [math(\theta)]라 하면 [math(\cos \theta = k)] ([math(=\overline{\rm OC})]의 길이)가 성립하고, 부채꼴의 넓이는 [math(\dfrac{1{\cdot}1{\cdot}2\theta}2 = \theta)]이고, 이등변삼각형의 넓이는 [math(k{\cdot})]([math(\overline{\rm AB})]의 길이)[math(\div2 = k{\cdot}\dfrac{{\rm crd}\,2\theta}2 = k \sin \theta)]이다. 따라서 할선 오른쪽 부분의 넓이는 [math(\theta - k \sin \theta)]가 되는데, 여기서 [math(sin^2theta + cos^2theta = 1)]이므로 [math(\sin\theta = \sqrt{1 - k^2})]이고, [math(k = \cos \theta)] 이므로 [math(\theta = \arccos k)]이다. 따라서 식을 변형하면 [math(\arccos k - k\sqrt{1-k^2})] 가 되며, 이는 할선으로 분할된 두 부분 중 크지 않은 부분의 넓이이다. 반대로 작지 않은 부분의 넓이는 원의 넓이에서 크지 않은 부분의 넓이를 뺀 것이므로 [math(\pi - \arccos k + k\sqrt{1-k^2})] 이다.
반지름이 [math(a)] (단, [math(a>0)])인 원의 경우 넓이가 [math(a^2)]배가 되고, 중심을 원점으로 잡는다면 [math(x=k)]가 할선이 되기 위한 양수 [math(k)]의 범위는 [math(0<k<a)]가 되므로 [math(k)] 대신 원의 중심 [math(\rm O)]에서 할선에 수직인 방향으로 직선을 그렸을 때 할선과의 교점을 [math(\rm A)], 할선 방향으로의 원과의 교점을 [math(\rm B)]라 할 때 [math(\overline{\rm OA})]와 [math(\overline{\rm OB})]의 길이의 비를 이용하면 된다. 이때는 분할된 두 영역 중 크지 않은 부분의 넓이가 [math(a^2(\pi- \arccos k+k\sqrt{1-k^2}))]가 된다.
원의 중심을 지나는 할선으로 구분된 두 영역의 넓이는 서로 같은데, 상술한 식 [math(a^2(\pi- \arccos k+k\sqrt{1-k^2}))]에 [math(k=0)]을 대입하면 넓이는 [math(\dfrac\pi2a^2)]임을 알 수 있고, 이는 원의 넓이의 절반에 해당한다.
5. 할선법
割 線 法 / secant method방정식의 근을 찾는 방법 중 하나로, 여기서는 원 대신 해당 방정식의 곡선에 대한 할선, 즉 곡선과의 교점이 2개인 직선을 의미한다. 방정식을 [math(f(x)=0)]의 꼴로 만든 후 [math(f(x))]의 함숫값 2개를 이용하며, 다음의 식으로 정의된다.
[math(x_n=\dfrac{x_{n-2}f(x_{n-1})-x_{n-1}f(x_{n-2})}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})})]
예를 들어 [math(y=x^2)]와 [math(y=x)]의 교점을 찾는 경우, 근을 찾기 위해서 [math(x^2-x=0)]이라는 식을 이용할 수 있고 이를 [math(f(x))]라 하면 [math(f(x)=x^2-x=0)]의 해를 구해야 한다. 함숫값을 [math(\begin{cases}x_1=2\\x_2=3\end{cases})]이라고 하면 다음과 같다. [math(n=7)] 정도까지 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_n))]이 수렴한다는 것을 파악하기 어렵지만 그 이후에는 수렴하는 모습을 보인다. 실근은 [math(x=0)] 또는 [math(x=1)]이지만 [math(x=0)]에 수렴하므로 모든 실근을 찾으려면 함숫값을 다양하게 설정해야 한다.
| [math(n)] | [math(x_n)] | [math(f(x_n)={x_n}^2-x_n)] |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 6 |
| 3 | -1.5 | 3.75 |
| 4 | 9 | 72 |
| 5 | 2.076... | 2.236... |
| 6 | -1.854... | 5.295... |
| 7 | -4.951... | 29.471... |
| 8 | 1.176... | 0.207... |
| 9 | -1.220... | 2.708... |
| 10 | -1.375... | 3.268... |
| 11 | 0.466... | -0.248... |
| 12 | -0.336... | 0.449... |
| 13 | -0.180... | 0.213... |
| 14 | 0.040... | -0.038... |
6. 기타
- 문화어로 '가름선'이라고 한다.
- 할선 [math(n)]개를 이용하여 원을 최대 몇 개의 영역으로 구분할 수 있는지에 대한 문제가 수학 시험에 간혹 출제된다. 할선이 [math(n)]개 그려져 있을 때 [math(1)]개의 할선을 더 그리면 [math(n+1)]개의 영역을 추가할 수 있다는 점과 맨 처음에 [math(1)]개의 영역이 있다는 점을 이용하면, [math(n)]개의 할선으로 [math(1+1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n^2+n+2}2)]개의 영역으로 구분할 수 있다는 것을 알 수 있다.
- 원과 현 사이의 거리와 원의 반지름을 이용하여 피타고라스 정리를 통해 현의 길이를 구할 수 있으며, 각종 수학 시험에서 응용 문제로 간혹 등장한다.
- 어떤 정다각형의 대각선은 그 정다각형에 외접하는 원의 현이며, 이를 연장하면 할선이 된다.
- 금지를 의미하는, 원 안에 대각선이 있는 표시에서 그 대각선은 원의 현이며, ⊘ 기호에서 직선 부분은 가운데 부분의 원의 할선의 일부처럼 보인다.
- 과거에는 중 2-2 수학 교과서에 등장하였으나 언젠가부터 사라졌다.