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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 정의
直 角 三 角 形 / right-angled triangle한 내각이 직각인 삼각형.
유클리드 기하학에서 삼각형의 내각의 합은 [math(180\degree)]이므로, 나머지 두 각은 모두 예각이며, 두 각의 합은 [math(90\degree)]이다.
2. 개념
직각삼각형에서, 직각의 대변을 빗변(hypotenuse)이라고 하며, 나머지 두 변을 밑변(adjacent)과 높이(opposite)라고 한다.[1]- 직각삼각형이면서 두 변[2]이 같은 삼각형을 직각이등변삼각형이라고 한다. 직각이등변삼각형은 양 끝각의 크기가 [math(45\degree)]인 이등변삼각형이다.
초등학교 3학년 때 처음 배우며, 중학교 2학년 때 삼각형의 성질 단원에서 또 배운다. 특히 빗변의 중점에 외심을 갖고 있다는 특징은 두고두고 고등학교 때까지 써먹을 것이다. 이 외심을 평행사변형에 숨겨놓고 내는 교사들도 있다. 1학년 때 배운 삼각형의 합동조건, 각의 이등분선(1학년 때는 작도를 통해 잠깐만 나온다.)과 섞여서 나오므로 보스급 도형이다. 3학년 때는 삼각비까지 나오는데, 이것을 옛날 사람들이 고안해 낸 별까지의 거리와 연관지은 것이 바로 지구의 공전 증거인 파섹과 연주시차다. 고등학교 지구과학 시간에 나온다.
3. 성질
4. 다른 도형과의 관계
4.1. 삼각형
직각삼각형은 한 각이 직각이므로 예각삼각형이 무조건 아니며, 둔각과 직각이 합쳐지면 삼각형의 세 각의 합인 180°를 넘으므로 둔각삼각형이 무조건 아니다. 따라서 직각삼각형은 동시에 예각삼각형이거나 둔각삼각형일 수 없으며, 예각삼각형인 동시에 둔각삼각형일 수도 없으므로, 임의의 삼각형은 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형 셋 중 단 하나에만 속할 수 있다.합동인 두 직각삼각형을, 높이를 공통변으로 하여 서로 붙이면 이등변삼각형이 된다.
모든 직각이등변삼각형은 세 각의 크기가 [math(90\degree)], [math(45\degree)], [math(45\degree)]로 같기 때문에 [math(\rm AA)] 닮음이다.
4.2. 사각형
합동인 직각삼각형 두 개를 빗변을 공통변으로 하여 서로 붙이면 직사각형이 되고, 이 두 직각삼각형의 공통변인 빗변은 곧 직사각형의 대각선이다. 직각이등변삼각형인 경우에는 정사각형이 된다.합동인 네 직각삼각형을 직각끼리 만나도록 붙이면 모든 변의 길이가 빗변의 길이와 같은 마름모가 된다.
4.3. 원
원의 지름의 양 끝점과 원 위의 또 다른 점을 이은 삼각형은 항상 직각삼각형이다. 그리고 원은 이 직각삼각형의 외접원이며, 위 문단에서도 언급했듯이 이 원의 중심( 외심)은 직각삼각형의 빗변(원의 지름)의 중점이 된다.4.4. 원뿔
높이를 회전축으로 하여 직각삼각형을 [math(360\degree)] 회전시키면 원뿔이 된다. 이 직각삼각형의 빗변은 원뿔의 모선, 밑변은 밑면의 반지름, 높이는 그대로 원뿔의 높이가 된다.만약 빗변을 회전축으로 한다면 높이가 다른 두 원뿔이 밑면을 공유하는 형태가 된다. 그리고 이 밑면의 반지름은 빗변 그리고 빗변과 마주보는 점 사이의 거리가 된다.
5. 공식
- [math(\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\dfrac{\textsf{\footnotesize{(밑변)}}\times\textsf{\footnotesize{(높이)}}}2)]
- 피타고라스 정리: [math(\textsf{\footnotesize{(밑변)}}^2+\textsf{\footnotesize{(높이)}}^2=\textsf{\footnotesize{(빗변)}}^2)]
- 역 피타고라스 정리(Inverse Pythagorean theorem): [math(\displaystyle \frac{1}{\textsf{\footnotesize{(밑변)}}^{2}}+\frac{1}{\textsf{\footnotesize{(높이)}}^{2}}=\frac{1}{\textsf{\footnotesize{(수선의 길이)}}^{2}})]
6. 기타
- 제곱근의 앵무조개라는 도형은 직각삼각형을 무한히 이어 붙여 앵무조개와 같은 모양을 만든 것이다.
- 소비자이론에서, 예산집합의 가장 기본적인 모양은 직각삼각형이다.
- "삼각형의 내각의 합은 항상 [math(180\degree)]이다."라는 명제는 유클리드 기하학에서만 참이며, 비유클리드 기하학에서는 성립하지 않는다. 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 면적이 커질수록 삼각형의 내각의 합이 커지거나 작아질 수 있기 때문이다.[3] 특히 구면기하학에서는 '두 내각이 직각인', 전혀 다른 의미의 구면 직각이등변삼각형은 물론, 세 내각이 모두 직각으로 정삼각형인 직각 정삼각형도 가능하다.