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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Théorème de Napoléon / Napoleon's theorem기하학 정리 중 하나. 나폴레옹 보나파르트가 발견했다는 말이 내려와 이런 이름이 붙었으나, 실제 나폴레옹이 연관되었다는 직접적인 근거는 없다. 참고
2. 상세
출처
임의의 삼각형의 각 변에 그 길이를 세 변의 길이로 하는 정삼각형 세 개를 덧그릴 때, 각 정삼각형의 중점을 이으면 정삼각형이 만들어지며, 이를 나폴레옹의 삼각형(Napoleon's triangle)이라고 한다. 여기서 삼각형을 덧그릴 때 셋 모두 원래 삼각형의 바깥으로 덧그리거나 모두 안쪽으로 덧그려야 한다. 전자의 경우 바깥쪽 나폴레옹의 삼각형(outer Napoleon's triangle), 후자의 경우 안쪽 나폴레옹의 삼각형(inner Napoleon's triangle)이라고 한다.
이때 (바깥쪽 나폴레옹의 삼각형의 넓이)-(안쪽 나폴레옹의 삼각형의 넓이)는 원래 삼각형의 넓이와 같고, 원래 삼각형과 두 나폴레옹의 삼각형의 무게중심은 같다.
증명은 여러 방법이 고안되어 있는데 복소수를 이용하면 쉽다고 한다.[1]
전해지는 일화에 따르면 나폴레옹이 수학자인 라그랑주, 라플라스와 이야기하던 중 새로운 해법을 얘기했다고 한다. 다만 수학계에서 증명했다는 걸 인정받기 위해서는 적어도 증명 방법 정도는 남아있어야 하는데, 이를 증명할 사료가 전무하니 실제 나폴레옹이 제대로 발견했는지 아닌지는 누구도 알 수 없다. 어쨌든 나폴레옹이 발견했든 아니든 그 진위 여부와는 별개로 나폴레옹의 정리라는 이름으로 불리고 있다.
라플라스의 회고에 따르면, 1797년 어느 날 라그랑주, 라플라스와 얘기하던 나폴레옹이 전혀 새로운 마스케로니 작도의 해법을 얘기하여 주변 사람을 놀라게 했다고 한다. 정치적 야심이 있었고 실제로도 잠깐이지만 내무부 장관에도 올랐던 라플라스의 말인지라 어느 정도 진실인지 알 수는 없지만, 나폴레옹이 수학에[2] 많은 관심을 가지고 있었던 데다 상당한 소질도 있었다는 것은 사실인 듯하다. 프랑스 수학계에 마스케로니 작도를 소개한 것도 나폴레옹이기 때문에, 마스케로니의 문제 중에 나폴레옹의 이름이 붙은 문제가 있는 것도 이상할 것은 없다 하겠다.
[1]
삼각형 ABC의 각 꼭지점을 복소수에 대응시키고, 회전변환이 단위복소수의 곱이며 비율 변환은 실수를 곱한다는걸 이용하면 삼각형 외측으로 그려진 정삼각형들의 무게중심, 혹은 삼각형 내측으로 그려진 정삼각형들의 무게중심을 표현할 수 있게 된다. 이게 정삼각형을 이루는지는 복소수의 차의 절대값이 같다는 것만 보이면 증명 완료. 정삼각형의 넓이는 한 변의 길이의 제곱의 [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})]배임을 이용하여 정리하면 된다.
[2]
나폴레옹은
포병 장교였다. 컴퓨터는 커녕 간단한 계산기도 없었던 시절이라 당대의 포병 장교들은 포격을 지휘하려면 포탄의 궤적을 즉석에서 직접 계산하고 수정해서 탄착점을 찾아내야 했기 때문에 수학 실력이 좋을 수밖에 없었다. 또한 나폴레옹 시대의 군사 이론은 기하학적으로 전투 지휘를 우수하게 할 수 있다는 설이 주류였으므로, 포병이 아니었어도 수학에 관심을 보였던 군인들이 많았다. 또 이 정리 자체가
성형 요새와 흡사한 모양이다.