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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
평면 위의 삼각형의 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식으로, 세 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 하면 넓이는 아래와 같다.| [math(\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad \left(s=\dfrac{a+b+c}{2} \right) )] |
삼각형의 세 변의 길이만 알면 바로 공식에 대입하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있기 때문에 상당히 유용하다.
이 공식은 헤론(Ήρων, AD 10 ~ AD 70)의 저서 〈Metrica〉에서 발견되었기 때문에 그의 이름이 붙었다.
헤론의 공식은
2015 개정 교육과정에서 볼 수 없는 내용입니다. 과거에는 배웠지만
수학 학습 내용 경감을 위해 교육과정이 개정이 되면서 제외된 내용입니다.
Naver bloger 꽃구름바다 193개의 수학공식
007. 헤론의 공식
Naver bloger 꽃구름바다 193개의 수학공식
007. 헤론의 공식
2. 유도
헤론의 공식을 유도하는 방법은 다양하다.2.1. 피타고라스 정리 이용
위 그림과 같은 삼각형 [math(\rm ABC)]를 고려하자. 이때, [math(\angle{\rm A} \geq \angle{\rm B})], [math(\angle{\rm A} \geq \angle{\rm C})]이다.[1] 꼭짓점 [math(\rm A)]에서 밑변 [math(\rm BC)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하고, [math(\overline{\rm BH}=x)]라 하자. [math(\overline{\rm AH}=h)]로 나뉜 두 직각삼각형 [math(\rm ABH)], [math(\rm ACH)]에 대하여 각각 피타고라스 정리를 적용하면
| [math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2}&=h^{2}+x^{2}\\ b^{2}&=h^{2}+(a-x)^{2} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle c^{2}-b^{2}=2ax-a^{2} \quad \to \quad x=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} h^{2}&=c^{2}-x^{2} \\&=c^{2}-\left( \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)^{\!2} \\&=\left( c+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right)\left( c-\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a} \right) \\ &=\left[ \dfrac{(a+c)^{2}-b^{2}}{2a} \right]\left[ \dfrac{b^{2}-(a-c)^{2}}{2a} \right] \\&=\dfrac{1}{4a^{2}}(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)\\&=\dfrac{1}{4a^{2}}\cdot 2s \cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-a) \quad \left( s=\dfrac{a+b+c}{2} \right) \\&=\dfrac{4}{a^{2}}s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} (\triangle {\rm ABC})^{2}&=\left( \frac{1}{2}ah \right)^{\!2}\\&=\frac{1}{4}a^{2}h^{2}\\&=s(s-a)(s-b)(s-c) \\ \\ \therefore {\triangle \rm ABC}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{aligned} )] |
2.2. 코사인 법칙 이용
위와 같은 삼각형 [math(\rm ABC)]에서 넓이는 아래와 같다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} \\&=\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\cos^{2}{B}} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos{B} \quad \to \quad \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC}&=\dfrac{1}{2}ac\sin{B} \\&=\dfrac{1}{2}ac \sqrt{1-\left(\frac{a^2+c^2-b^{2}}{2ac} \right)^{2}} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{4a^{2}c^{2}-(a^2+c^2-b^{2})^{2}}\\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{[ (a+c)^{2}-b^{2} ] [ b^{2}-(a-c)^{2} ]} \\&= \dfrac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(a+c-b) (a+b-c)(b+c-a) } \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \triangle {\rm ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned} )] |
3. 변형 공식
세 변의 길이 중 일부 혹은 전체에 근호가 포함되는 등 위에서 유도한 공식을 사용하기 어려울 경우 다음과 같은 변형 공식을 사용하면 좋다. 유도는 헤론의 공식에서 [math(s=(a+b+c)/2)]를 대입하고, 전개하고, 식을 유도하면 된다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} \triangle {\rm ABC} &=\dfrac{\sqrt{2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4} \\&=\dfrac{\sqrt{4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}}{4}\\&=\dfrac{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4} \\&=\dfrac{ \sqrt{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}} }{4} \end{aligned} )] |
위에서 밝혔듯, 각 변의 길이의 대입 순서는 고려하지 않아도 된다.
4. 헤론의 삼각형
헤론의 삼각형, 또는 헤로니안 삼각형(Heronian triangle)은 세 변의 길이가 모두 자연수이고, 넓이 또한 자연수가 나오는 삼각형을 말한다.[2] 가장 대표적인 예시론 세 변의 길이가 13, 14, 15인 삼각형이 있고, 헤론의 공식에 대입해보거나, 다음의 그림과 같이 수선을 내려보면 넓이가 84임을 알 수 있다.파일:namu_헤론의 삼각형.png
5. 기타
- 고등수학에서 제2코사인 법칙을 다루면서 이 공식을 보게 된다.[3]
- 평행선 공준이 참일 때에만 성립한다. 바꿔 말하면 타원 공간, 쌍곡 공간 등에서는 성립하지 않는다. 가령 구면삼각형은 각 변의 합의 절반보다 넓이가 항상 크며[4], 반대로 쌍곡삼각형은 각 변의 합의 절반보다 넓이가 항상 작다.[5]
- 브라마굽타 공식은 헤론의 공식의 확장과 비슷한 양식의 공식이나, 사각형에 적용 가능하다. 다만 이 때는 사각형이 원에 내접해야 한다는 조건이 있다.[6]
6. 관련 문서
[1]
이 조건을 추가함으로써
예각삼각형,
직각삼각형,
둔각삼각형 모두 헤론의 공식이 성립함을 보일 수 있다.
[2]
각 변의 길이가
피타고라스 세 쌍에 해당되는 직각삼각형이 해당된다.
[3]
다만 현재는 몇몇 교과서에서는 생략되었다. 학교별로 상이하니 서술형에 쓰기 전에 꼭 확인하자.
[4]
구면삼각형의 둘레의 절반보다 넓이가 크다는 사실은 원의 둘레 길이와 구의 겉넓이를 구하는 공식을 알고 있으며, 구면직각정삼각형이 구면의 정확히 1/8이라는 점을 알면 쉽게 증명할 수 있다.
[5]
쌍곡삼각형 중
변의 길이가 무한대이고, 모든 각이 0이지만, 넓이는 유한한 삼각형이 존재한다.
[6]
이 조건마저도 없앤
브레치나이더 공식이 존재하나, 잘 쓰이지 않는다.