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1. 개요
順 序 雙 / ordered pair순서[1]가 있는 두 수를 짝지어 나타낸 것. '순서쌍'의 '쌍( 雙)' 자체가 '둘'을 뜻하기 때문이다. 따라서 셋 이상의 수를 짝지은 것은 엄밀히 말해 순서쌍이 아닌데, 이럴 때는 '[math(n)]중 순서쌍' 또는 '[math(n)]- 튜플'로 표현하기도 한다.[2] 또한, 순서를 고려하므로, 같은 두 수를 짝지었더라도 순서가 다르면 다른 순서쌍이다. 자세한 내용은 후술.
일반적으로, [math((1,\,1))]과 같이 수 사이에 ,(콤마)를 넣고 전체를 괄호로 감싸서 표기하며, [math((1,\,1))]은 '일 콤마 일'로 읽는다.
꼭 학문적 내용이 아니더라도 사람들은 일상에서 순서쌍의 개념을 많이 쓴다. 예를 들어 생일은 태어난 월과 태어난 일을 짝지은 순서쌍이며, 초중고 학생의 학번은 학년과 반과 출석 번호를 짝지은 3중 순서쌍이다.
집합론에서는 순서쌍을 [math((a,b)=\{\{a\},\,\{a,\,b\}\})]인 집합으로 정의한다.
2. 성질
임의의 두 순서쌍이 같을 필요충분조건은 순서쌍의 성분이 각각 같은 것이다.[math((a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a = c \wedge b = d)]
서로 다른 [math(a)], [math(b)]에 대하여 두 순서쌍 [math((a, b))], [math((b, a))]는 서로 다르다. 즉, [math(a \ne b)]일 때 [math((a, b) \ne (b, a))]이다. 이는 앞의 성질에서 바로 유도할 수 있다.
3. 예시
주사위를 두 번 던질 때, 처음에 나오는 눈을 [math(x)], 다음에 나오는 눈을 [math(y)]라 하면, 나오는 경우의 수는 [math((x,y))]라는 순서쌍이며, 다음과 같이 36가지이다.[math((1,\,1),\,(1,\,2),\,(1,\,3),\,(1,\,4),\,(1,\,5),\,(1,\,6),\\(2,\,1),\,(2,\,2),\,(2,\,3),\,(2,\,4),\,(2,\,5),\,(2,\,6),\\(3,\,1),\,(3,\,2),\,(3,\,3),\,(3,\,4),\,(3,\,5),\,(3,\,6),\\(4,\,1),\,(4,\,2),\,(4,\,3),\,(4,\,4),\,(4,\,5),\,(4,\,6),\\(5,\,1),\,(5,\,2),\,(5,\,3),\,(5,\,4),\,(5,\,5),\,(5,\,6),\\(6,\,1),\,(6,\,2),\,(6,\,3),\,(6,\,4),\,(6,\,5),\,(6,\,6))]
처음에 1이 나오고 다음에 2가 나오는 경우와, 처음에 2가 나오고 다음에 1이 나오는 경우는 다르다. 곧, 순서쌍 [math((1,\,2))]와 [math((2,\,1))]은 다르다.
4. 활용
4.1. 결합확률분포, 결합확률함수
위 예시와 같이 경우의 수를 표기할 때 많이 쓰는데, 특히 두 개의 확률변수가 작용하는 결합확률분포 그리고 결합확률함수에서 많이 쓴다. 우선, 처음에 나오는 눈을 [math(X)], 다음에 나오는 눈을 [math(Y)]라 하고 위 예시를 결합확률분포로 나타내면 다음과 같다.| [math(X)] | |||||||
| [math(1)] | [math(2)] | [math(3)] | [math(4)] | [math(5)] | [math(6)] | ||
| [math(Y)] | [math(1)] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] |
| [math(2)] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | |
| [math(3)] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | |
| [math(4)] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | |
| [math(5)] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | |
| [math(6)] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | [math(\dfrac1{36})] | |
따라서 결합확률함수는 [math(f(x,\,y)=1/36)]이며,
[math(\displaystyle\sum_x\displaystyle\sum_y f(x,\,y)=\dfrac1{36}\times 36=1)]
이므로 전사건의 확률은 [math(1)]이다.
4.2. 좌표계
좌표계 중 좌표평면의 좌표는 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표를 원소로 하는 순서쌍이며, 3차원 좌표공간의 좌표는 [math(x)]좌표, [math(y)]좌표, [math(z)]좌표를 원소로 하는 순서쌍이다. 특히, 격자점은 원소가 모두 정수인 순서쌍이다.복소수는 두 개의 성분으로 표현되기 때문에 임의의 복소수 [math(z)]는 아래와 같이 순서쌍에 대응한다. [math(\Re(z))], [math(\Im(z))]는 각각 복소수 [math(z)]의 실수부, 허수부이다.
[math(z \Longleftrightarrow (\Re(z),\,\Im(z)))]
이를 평면에 나타낸 것이 복소평면으로, 위 순서쌍은 복소평면에서 실수부와 허수부를 좌표로 하는 순서쌍이다.
4.3. 다변수함수
더 나아가 순서쌍을 정의역으로 하는 함수를 생각할 수 있는데 이를 다변수함수라고 한다. 대표적으로 내적이 있는데, 수의 묶음으로 나타낸 순서쌍을| [math(((a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n),\,(b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_n)) \mapsto a_1^{\ast} b_1 + a_2^{\ast} b_2 + \cdots +a_n^{\ast} b_n)] |
게임이론의 보수함수 역시 각 경기자의 전략의 순서쌍인 전략프로필의 함수이므로 다변수함수에 해당한다.
4.4. 벡터
이 문서에서 벡터를 꾸러미니 수의 묶음이니 표현했는데, 벡터를 ' 방향이 있는 수'로 알고 있던 사람에게는 괴리가 생기지만 사실 이게 맞는 말이다. 그렇기 때문에 본문에서처럼 순서쌍으로도 나타낼 수 있다.[3]다만 선형대수학에서는 벡터 표기에 순서쌍보다는 행렬을 더 많이 사용한다.