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1. 개요
굿스타인의 정리(Goodstein's theorem)는 임의의 자연수에서 시작하는 굿스타인 수열이 유한한 숫자의 항을 갖는다는 정리이다. 이 정리는 사실이지만 페아노 공리계로 증명할 수 없으며, 이것은 불완전성 정리가 발표된 뒤 발견된 "사실이지만 증명 불가능한 명제"[1]들 중 하나로, 앞선 것들보다 상대적으로 설명하기 쉽고 굿스타인 수열의 값 자체가 큰 수이기 때문에 유명해지게 되었다.이 영상들을 참고하면 된다. 소개 상세
2. 약한 굿스타인 수열
약한 굿스타인 수열을 알고 있으면 굿스타인 수열을 이해하기 쉽다. 약한 굿스타인 수열은 이렇게 정의된다.- 수열의 첫 번째 값 [math(a_1)]으로 임의의 자연수 [math(n)]을 선택한다.
- [math(n)]을 2진법으로 전개한다. [math(n=\displaystyle \sum_{i=0}^k {d_i 2^i})][2]가 될 것이다.
- 위의 식에서, 2를 3으로 바꾼 뒤 1을 빼면 다음 항이 된다. 따라서, 11로 시작한 약한 굿스타인 수열의 다음 항 [math(a_2)]는 [math(11=1011_{(2)})][3]이므로 [math(1011_{(3)}-1_{(3)})][4][math(=30)]이 된다.
- [math(a_3)]은 [math(a_2)]를 3진법으로 전개한 뒤, 3을 4로 바꾸고 1을 빼는 것으로 정의한다. 따라서 위의 경우 [math(a_3=4^3+4^1-1=67)]이다.
- 이를 반복하여 [math(a_n)]을 n진법으로 전개한 것을 n+1로 바꾸고 1을 뺀 수를 [math(a_{n+1})]로 정의한다. 그러면 [math(a_4=127, a_5=217, a_{959}=5518086, a_{9.355×10^{291}}=4.376×10^{584})]과 같이 나아간다.
- 0에 도달하면 수열이 끝난다.
약한 굿스타인 수열은 항상 유한한 단계 뒤에 끝나게 되며, 이것은 서수 개념이 필요하지만 페아노 공리계에서 증명 가능하다. 수열의 각 값은 어떠한 서수에 대응되고, (예를 들어, 위의 [math(a_1=11=2^3+2^1+2^0)]은 [math(\omega^3+\omega+1)]) 이 대응된 서수는 1을 빼는 과정 때문에 줄어들기만 한다. 실제로 [math(i=2^{2059+2^{2059+2^{2059+2^{2059+2^{2059+2^{2059+2^{2059}}}}}}}-1)]일 때 [math(a_i=0)]이 된다.
3. 반복 n진법 표현
반복 n진법 표현은 어떤 자연수 [math(m)]을 n진법 전개 [math(\displaystyle \sum_{i=0}^k {d_i n^i})]로 나타낸 뒤, 각각의 지수 [math(i)]에 다시 반복 n진법 전개를 적용해서 이 과정을 더 이상 반복할 수 없을 때(지수가 [math(m)]보다 작은 수가 나올 때)까지 계속하는 것이다.예를 들어서, 11의 반복 2진법 표현은 [math(11=2^3+2^1+2^0=2^{2^1+2^0}+2^1+2^0)]이 된다.
4. 굿스타인 수열
굿스타인 수열은 약한 굿스타인 수열의 n진법 표현을 반복 n진법 표현으로 대체한 것이다. 예를 들어서, [math(11=2^{2^1+2^0}+2^1+2^0)] 다음에는 [math(3^{3^1+3^0}+3^1+3^0-1=84)]가 오게 된다. 보다시피 약한 굿스타인 수열보다 훨씬 급격히 커지지만 유한한 단계 뒤에 끝나는 것은 같다. 약한 굿스타인 수열과 달리, 이 수열이 유한한 단계 뒤에 끝난다는 것은 페아노 공리계에서 증명할 수 없다. 증명은 약한 굿스타인 수열의 경우와 거의 동일하지만, 이 경우 대응하는 서수가 [math(\omega^{\omega^{\omega^\cdots}}=\epsilon_0)]보다 작은 어떤 것이든 올 수 있게 된다. 약한 굿스타인 수열의 경우, 대응하는 서수의 상한은 [math(\omega^\omega)]였다.5. 역사
불완전성 정리가 증명된 뒤 4년이 지난 1935년에, 게르하르트 겐첸은 초한 귀납법의 정당성을 [math(\epsilon_0)] 이상의 서수에 대해서 보일 수 없다는 사실을 증명하였다. 이것은 그 자체로 페아노 공리계에 대한 불완전성 정리의 직접적인 증명이 된다.굿스타인은 1944년에 큰 서수에 대한 초한 귀납법이 필요한 굿스타인 정리를 증명하면서, 참이지만 페아노 공리계에서 증명할 수 없는 또 다른 명제를 만들어 냈다.
이후, 램지 이론에서 증명된 패리스-해링턴 정리가 페아노 공리계에서는 증명될 수 없다는 사실이 밝혀지면서, 패리스-해링턴 정리는 최초로 불완전성 원리의 "자연스러운" 예가 되었다.