Hahn-Banach theorem
1. 개요
함수해석학에서 한-바나흐 정리는 벡터공간의 한 부분공간에서 정의된 선형범함수를 전체 벡터공간 위의 선형범함수로 확장 가능함을 밝히는 정리다. 이는 임의의 노름공간에서 영이 아닌 유계 선형범함수의 존재성을 보장한다. 확장 선형범함수는 유일하지 않을 수 있다.2. 한-바나흐 정리
2.1. 벡터공간의 경우
[math(\mathbb{K})]-벡터공간([math(\mathbb{K=R\text{ or } C})]) [math(X)] 위의 반노름 [math(p)]에 대하여 [math(X)]의 부분공간 [math(Y)] 위의 복소선형범함수 [math(f)]가 모든 [math(y\in Y)]에서 [math(|f(y)|\le p(y))]를 만족시키면 [math(f)]의 [math(X)]로의 확장 복소선형범함수 [math(F)]가 존재한다. 즉, 모든 [math(x\in X)]에 대하여 [math(|F(x)|\le p(x))]이고 [math(F|_Y=f)]이다.2.1.1. 증명
한-바나흐 정리의 증명은 크게 세 단계로 이루어진다. 첫 두 단계는 실수체 위의 벡터공간에 대한 증명으로, 첫 단계에서는 [math(Y)]에 한 원소 [math(x)]를 첨가해 생성한 공간에서 확장함수의 존재성을 밝힌다. 두 번째 단계에서 위 과정을 모든 [math(x\in X\setminus Y)]에 대해 반복하는데, 이 과정에서 선택공리의 동치명제인 하우스도르프 극대원리와 초른의 보조정리가 사용된다. 마지막으로 복소선형범함수의 성질을 이용하여 실벡터공간에 대한 한-바나흐 정리를 복소벡터공간으로 확장한다.첫 번째로 [math(\mathbb{K=R})]인 경우를 먼저 증명한다. 이때, 반노름 [math(p)]와 실선형범함수 [math(f)]에 대하여 [math(|f(x)|=\pm f(x)=f(\pm x))], [math(p(-x)=p(x))]이므로 [math(f(x)\le p(x))]는 [math(|f(x)|\le p(x))]와 동치이다.
[math(x\in X\setminus Y)]를 택하자. [math(y_1,\ y_2\in Y)]에 대하여
[math(f(y_1)+f(y_2)=f(y_1+y_2)\le p(y_1-x)+p(x+y_2))]
이므로 [math(f(y_1)-p(y_1-x)\le p(x+y_2)-f(y_2))]이고, 따라서
[math(\displaystyle\sup_{y\in Y}\{f(y)-p(y-x)\}\le \inf_{y\in Y}\{p(x+y)-f(y)\})]
이다. [math(\sup_{y\in Y}\{f(y)-p(y-x)\}\le \alpha \le \inf_{y\in Y}\{p(x+y)-f(y)\})]를 만족시키는 [math(\alpha)]를 택하여 범함수 [math(F_x:\left<Y,\ x\right>\to \mathbb{R})]를 [math(F_x(y+\lambda x)=f(y)+\lambda\alpha)]로 정의하면 [math(F_x)]는 선형범함수이고, 모든 [math(y\in Y)]에 대하여 [math(F_x(y)\le p(y))]이다. [math(y\in Y)]에 대하여 [math(\lambda>0)]인 경우
[math(\begin{aligned}F_x(y+\lambda x)&=\lambda[f(\lambda^{-1}y)+\alpha]\\&\le \lambda\left[f(\lambda^{-1}y)+p(x+\lambda^{-1}y)-f(\lambda^{-1}y)\right]\\
&=p(y+\lambda x) \end{aligned})]
&=p(y+\lambda x) \end{aligned})]
이고, [math(\lambda=-\mu<0)]인 경우
[math(\begin{aligned}F_x(y+\lambda x)&=\mu[f(\mu^{-1}y)-\alpha]\\&\le \mu\left[f(\mu^{-1}y)+p(\mu^{-1}y-x)-f(\mu^{-1}y)\right]\\
&=p(y+\lambda x) \end{aligned})]
&=p(y+\lambda x) \end{aligned})]
이므로 임의의 [math(z\in \left<Y,\ x\right>)]에 대하여 [math(F_x(z)\le p(z))]가 성립한다.
[math(X)]의 부분공간 위의 선형 범함수 [math(F)] 중 [math(Y\le \rm{Dom}\it( F))], [math(F|_Y =f)]이고 모든 [math(y\in\rm{Dom}\it( F))]에 대하여 [math(F(y)\le p(y))] 를 만족시키는 것들의 공간을 [math(\mathcal{F})]라고 하자. 각 [math(F\in \mathcal{F})]의 정의역을 [math(Y_F)]라고 할 때, [math(Y_{F_1}\le Y_{F_2})]이고 [math(Y_1)] 위에서 [math(F_1=F_2)]를 만족시키는 [math(F_1,\ F_2\in\mathcal{F})]에 대하여 순서 [math(F_1 \prec F_2)]를 부여하면 [math(\mathcal{F})]는 부분순서집합이다. [math(\mathcal{F_0})]를 [math(\mathcal{F})]의 전순서 부분집합, [math(Z=\bigcup_{F\in\mathcal{F_0}}Y_{F})]라고 하자. [math(F_1,\ F_2(F_1\prec F_2) \in \mathcal{F_0})]에 대하여 [math(Y_{F_1}\le Y_{F_2})]이고 각 [math(F\in \mathcal{F_0})]에 대하여 [math(Y_F\le X)]이므로 [math(Z\le X)]이다. [math(y\in Z)]에 대하여 [math(y\in Y_F)]인 [math(F \in \mathcal{F_0})]를 택하여 [math(F^*(y)=F(y))]라고 하자. [math(Y \in Z=\rm{Dom}\it( F^*) )], [math(F^*|_Y =f)] 이고 모든 [math(y\in Z)]에 대하여 [math(F^*(y)\le p(y))]이므로 [math(F^* \in \mathcal{F})]이다. 또한 모든 [math(F \in \mathcal{F_0})]에 대하여 [math(Y_F \le Z)]이므로 [math(F \prec F^*)]이다. 즉, [math(\mathcal{F_0})]는 [math(\mathcal{F})]에서 상계를 갖는다. 따라서 초른의 보조정리에 의해 [math(\mathcal{F})]의 극대원소 [math(F_0\in\mathcal{F})]가 존재한다. 임의의 [math(x\in X\setminus Y)]에 대하여 [math(F_x \in \mathcal{F})]이므로 [math(x \in Y_{F_x}\le Y_{F_0})]로, [math(Y_{F_0}=X)]이다. 또한 [math(F_0 \in \mathcal{F})]이므로 [math(F_0)]는 [math(Y\le X)], [math(F_0|_Y =f)], [math(X)]에서 [math(F_0\le p)]를 만족시킨다.
[math(\mathbb{K=C})]인 경우로 확장하기 위하여 다음 성질을 사용한다.
|
성질 복소수체 [math(\mathbb{C})] 위의 벡터공간 [math(X)]에 대하여 [math(X)] 위의 복소선형범함수 [math(f)]의 실수부 [math(u=\rm{Re}\ \it f\ )]는 실선형범함수이다. 또한 모든 [math(x\in X)]에 대하여 [math(f(x)=u(x)-i u(ix))]가 성립하며 그 역도 참이다. [math(X)]가 노름공간인 경우 [math(\|f\|=\|u\|)]이다. |
증명
복소선형범함수 [math(f)]의 실수부 [math(u=\rm{Re}\ \it f\ )]는 선형성을 가지며, [math(\rm{Im}\ \it f\,(x)=-i\,\mathrm{Re}\left[i\,f\,(x)\right]=-u(ix))]이므로 [math(f(x)=u(x)-iu(ix))]이다. 반대로 실선형범함수 [math(u)]에 대하여 [math(f(x)=u(x)-iu(ix))]라고 하면 [math(f)]는 실수 위에서 선형이고,
복소선형범함수 [math(f)]의 실수부 [math(u=\rm{Re}\ \it f\ )]는 선형성을 가지며, [math(\rm{Im}\ \it f\,(x)=-i\,\mathrm{Re}\left[i\,f\,(x)\right]=-u(ix))]이므로 [math(f(x)=u(x)-iu(ix))]이다. 반대로 실선형범함수 [math(u)]에 대하여 [math(f(x)=u(x)-iu(ix))]라고 하면 [math(f)]는 실수 위에서 선형이고,
[math(f(ix)=u(ix)-iu(-x)=i\left[-iu(ix)-u(-x)\right]=if(x))]
이므로 [math(f)]는 복소선형범함수이다. [math(X)]가 노름공간인 경우, [math(|u(x)|\le|f(x)|)]이므로 [math(\|u\|\le \|f\|)]이다. [math(f(x)\ne 0)]일 때, [math(\alpha= \overline{\mathrm{sgn}\, f(x)})]라고 하면 [math(|f(x)|=\alpha f(x)=f(\alpha x)=u(\alpha x))]이므로 [math(|f(x)| \le \|u\|\|\alpha x\|=\|u\|\|x\|)]로 [math(\|f\|\le\|u\|)]이다. 즉, [math(\|f\|=\|u\|)]이다.
2.2. 노름공간의 경우
노름공간 [math(X)]와 [math(X)]의 부분공간 [math(Y)]에 대하여 [math(Y)]의 유계 선형범함수 [math(f)]는 [math(\|F\|=\|f\|)]인 [math(X)]의 유계 선형범함수 [math(F)]로 확장될 수 있다.2.2.1. 증명
[math(M=\|f\|=\sup\{\|f(y)\|:\|y\|\le 1\})]라고 하자. 반노름 [math(p)]를 [math(p(x)=M\|x\|)]로 정의하면 임의의 [math(y\in Y)]에 대하여 [math(|f(y)|\le p(y))]이다. 한-바나흐 정리에 의해 모든 [math(x\in X)]에 대하여[math(|F(x)|\le p(x)=\|f\|\|x\|\ \cdots\ \text{(1)})]
를 만족시키는 [math(f)]의 확장 [math(F)]가 존재한다. [math(\text{(1)})]에 의해 [math(\|F\|\le\|f\|)]이다. 또한
[math(\left\{\|f(y)\|:y\in Y\right\}=\left\{\|F(y)\|:y\in Y\right\}\subseteq\left\{\|F(x)\|:x\in X\right\})]
이므로 [math(\|f\|\le\|F\|)]이다. 즉, [math(\|f\|=\|F\|)]이다.
3. 적용
3.1. 쌍대 노름공간의 구성
한-바나흐 정리는 [math(L(X,\ \mathbb{K}))]의 영이 아닌 원소의 존재성을 보장한다. 노름공간 [math(X)]의 닫힌 부분공간 [math(Y)]에 대하여 [math(x\in X\setminus Y)]일 때, 부분공간 [math(\left<Y,\ x\right>)] 위의 범함수 [math(f)]를 [math(f(y+ax)=a\inf_{z\in Y}\|x-z\|)]로 정의하면 [math(Y)]는 닫힌집합이므로 [math(\inf_{z\in Y}\|x-z\|\ne 0)]이고 [math(f)]는 선형성을 가진다. 또한 [math(p(x)=\|x\|)]에 대하여 [math(a \ne 0)]일 때[math(|f(y+ax)|=|a|\inf_{z\in Y}\|x-z\|\le|a|\|x-(-a^{-1}y)\|=\|y+ax\|=p(y+ax) )]
으로, [math(\left<Y,\ x\right>)]에서 [math(|f|\le p)]이다. [math(\left<Y,\ x\right>)] 위의 선형범함수 [math(f)]에 한-바나흐 정리를 적용해 얻은 선형범함수를 [math(F)]라고 하면 [math(F \ne 0)], [math(\|F\|\le \|p\|=1)]이다. 즉, [math(X)] 위의 영이 아닌 유계 선형범함수가 존재한다. [math(X)] 위의 유계 선형범함수 공간 [math(L(X,\ \mathbb{K}))]를 [math(X)]의 쌍대공간이라고 하고 [math(X^*)]로 나타낸다.