가군

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1. 정의2. 선형대수학과의 연결3. 동형사상 정리

3.1. 제1 동형사상 정리3.2. 제2 동형사상 정리3.3. 제3 동형사상 정리

4. Annihilator와 순환 가군5. 텐서곱(tensor product)

1. 정의

가군( 加群, module)은 가환군 위에 환의 작용(ring action)이 정의된 대수 구조라고 할 수 있다. 환의 작용은 군의 작용과 비슷한 개념으로, 환의 곱셈 구조가 주어진 집합에 작용하는 것이다.[1] 다만, 작용받는 집합이 가환군으로 덧셈 구조를 가지고 있고 환 자체도 덧셈 구조를 가지고 있으므로, 환에서 곱셈과 덧셈 사이에 분배법칙을 요구한 것과 마찬가지로 환의 작용도 자기 자신의 덧셈과 작용받는 가환군의 덧셈에 대한 분배 법칙을 만족하길 요구한다.

이를 풀어쓰면 다음과 같다: [math(M )]이 환 [math((R, +, \times) )] 위에서의 가군이라는 것은 다음과 같은 두 연산이 정의되어 있다는 것이다.

덧셈 [math( +: M × M \rightarrow M )]가 정의되어 있으며 [math( (M,+) )]는 아벨 군이다. 즉, 임의의 [math( a, b, c \in M )]에 대해 다음이 성립한다.

결합 법칙: [math( (a+b) + c = a + (b+c) )]
교환 법칙: [math( a + b = b + a )]
항등원 존재: [math( 0_M \in M )]가 존재해 [math( a + 0_M = 0_M + a = a )]
역원 존재: [math( a + x = x + a = 0_M )]를 만족하는 [math( x \in M )]가 존재한다.

스칼라곱(scalar multiplication) [math( \cdot: R \times M \rightarrow M )]가 정의되어 있으며 이는 모노이드 [math( (R, \times) )]의 작용이고, [math(R )]과 [math(M )]의 [math(+ )]에 대해 분배 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 [math( a, b \in R )]과 [math( x, y \in M )]에 대해 다음을 만족한다.

결합 법칙: [math( (ab) \cdot x = a \cdot (b \cdot x) )]
분배 법칙

[math( (a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x )]
[math( a\cdot (x+y) = a \cdot x + a\cdot y )]

항등원 곱: [math( R )]의 곱셉에 대한 항등원 [math( 1_R )]에 대해 [math( 1_R \cdot x = x )]

위의 '항등원 곱' 조건은 환의 정의에 따라 달라진다. 환의 정의에 곱셈의 항등원을 요구하지 않는 경우에는 이 조건이 생략된다. 이 정의가 더욱 많은 경우를 다룰 수 있긴 하지만, 스칼라곱이 모노이드 작용조차 되지 못하고 반군의 작용이 되어버리는 문제점이 생긴다.[2]

또한, 스칼라곱의 경우 반드시 왼쪽에서 행해질 이유는 없다. 스칼라곱을 [math( \cdot : M \times R \rightarrow M )]으로 둘 경우 이 집합을 오른쪽 가군(right module)이라고 부르며, 이에 대응되는 의미로 여기서 정의하는 가군을 왼쪽 가군(left module)이라 부른다. 같은 환 위에서 왼쪽 가군이자 오른쪽 가군이면서 같은 원소에 대한 스칼라 곱 값이 같을 경우 이 대수 구조를 쌍가군(bimodule)이라 부른다.

2. 선형대수학과의 연결

위의 정의에서 바로 모든 벡터공간은 [math(R )]이 체인 가군이라는 것을 깨달을 수 있을 것이다. 공리가 부족해보이겠지만 가군의 정의로부터 [math(R )]이 체일 경우 벡터 공간의 조건도 만족함을 쉽게 확인할 수 있다.

그러면 벡터공간이 아닌 가군의 예시로는 무엇이 있을까? 먼저 대수학을 공부하다보면 자주 접하는 표기인 [math( nx = x + ... + x)]에 대해 생각해보자. 이 표기를 몇 번 사용하다보면 곧바로 이것이 마치 [math(x )]에 [math(n )]을 "곱하는" 것과 비슷하다는 것을 깨달을 것이다. 이 사실은 가군을 통해 설명할 수 있다. 즉, 임의의 아벨군 [math((G, +) )]에 대해, [math(\mathbb{Z} )]의 원소 [math(n )]에 의한 스칼라곱을 [math(nx )]로 정의하면[3] [math(G )]는 [math(\mathbb{Z} )] 위의 가군이다.

다른 예로는 아이디얼(ideal)을 들 수 있다. 환 [math(R )]에서의 아이디얼 [math(I )]에 대해 스칼라곱을 [math(R )]에서의 곱셈 연산으로 주면 아이디얼의 정의에 따라 스칼라곱은 [math(I )]에 대해 닫혀있고, 따라서 [math(I )]는 [math(R )] 위의 가군이라 할 수 있을 것이다. 덧붙여서, [math(R )]은 [math(R )]의 아이디얼이므로 [math(R )]은 [math(R )] 위의 가군이다.

반대로, 가군 개념을 체가 아닌 환 위에서의 벡터공간이라고 이해할 수도 있다. 정의를 확장한 만큼 다음과 같이 벡터공간의 여러 성질도 탈락한다.

[math(M)]이 [math(R)]-가군일 때, [math(r \in R)], [math(x \in M)]에 대해 [math(rx=0_M)]이어도 [math(r \neq 0_R)]일 수 있다.
덧셈군 [math(\mathbb{Q})]를 [math(\mathbb{Z})]-가군으로 보았을 때, 어떠한 [math(\mathbb{Q})]의 부분집합도 선형종속이며, 따라서 기저 개념이 성립하지 않는다.

3. 동형사상 정리

가군론에서도 세 가지 기초적인 동형사상 정리를 얻는다. 그 전에 부분가군과 몫가군, 그리고 가군 준동형사상 개념을 정의해야 한다.

[math(M)]이 [math(R)]-가군이라고 하자. [math(N)]이 [math(M)]의 [math(R)]-부분가군(submodule)이라고 함은 모든 [math(x, y \in N, r \in R)]에 대해 [math(x+y, rx \in N)]임을 의미하고, [math(N<_{R}M)]이라 쓴다. 이 때 [math(r=-1_R)]로 잡으면 반드시 [math(-x \in N)]임을 짚고 넘어가자.

[math(x+N=\{x+n | n \in N\})]일 때 [math((x+N)+(y+N)=(x+y)+N)], [math(r(x+N)=rx+N)]으로 정의하면 이 두 연산, 즉 덧셈과 스칼라에 의해 [math(M/N=\{x+N | x \in M\})]은 [math(R)]-가군을 이루고, 이를 몫가군(quotient module)이라고 한다. 스칼라곱을 저렇게 정의하는 이유는 어차피 [math(a \in N)]이면 [math(ra \in N)]이기 때문이며, 이에 따라 잘 정의된다.

이제 [math(R)]-가군 [math(M, M')]을 생각하자. 함수 [math(f: M \rightarrow M')]이 존재하여, 모든 [math(x, y \in M, r \in R)]에 대하여 [math(f(x+y)=f(x)+f(y))]와 [math(f(rx)=rf(x))]를 만족한다면 이러한 f를 가군 준동형사상(module homomorphism)이라고 부른다. 물론, [math(f)]가 전단사(bijective)일 경우 가군 동형사상(module isomorphism)이라고 부른다.

준비가 거의 다 됐다. 함수 [math(\pi: M \rightarrow M/N)]를 [math(\pi(x)=x+N)]으로 정의하면 이것이 준동형사상이 됨을 쉽게 확인할 수 있고, 이를 사영(projective) 준동형사상이라 한다. [math(\mathrm{ker}(\pi)=N, \mathrm{im}(\pi)=M/N)]임을 짚고 가자.

3.1. 제1 동형사상 정리

제1 동형사상 정리를 기술하기에 앞서 다음 정리를 소개한다.

(Factor Theorem) [math(M, M')]이 [math(R)]-가군이고 [math(N<_{R}M)]이라 하자. 이 때 준동형사상 [math(f: M \rightarrow M')]가 존재한다면, 준동형사상 [math(\bar{f}: M/N \rightarrow M')]가 유일하게 존재하고, 다음을 만족한다.
* [math(\bar{f})]가 전사임과 [math(f)]가 전사임은 동치이다.
* [math(\bar{f})]가 단사임과 [math(\mathrm{ker}(f)=N)]임은 동치이다.

이제 [math(M''=\mathrm{im}(f))]라 놓으면 위 정리의 따름정리로 다음을 얻을 수 있고, 이를 제1 동형사상 정리라 한다.

(First Isomorphism Theorem) [math(M/\mathrm{ker}(f) \simeq \mathrm{im}(f))]

3.2. 제2 동형사상 정리

(Second Isomorphism Theorem) [math(S, T<_{R}M)]일 때, [math((S+T)/S \simeq T/(S \cap T))]가 성립한다.

3.3. 제3 동형사상 정리

(Third Isomorphism Theorem) [math(L<_{R}N<_{R}M)]일 때, [math(M/N \simeq (M/L)/(N/L))]이 성립한다.

4. Annihilator와 순환 가군

[math(M)]이 [math(R)]-가군이고 [math(x \in M)]일 때, [math(I_x:= \{r \in R|rx=0 \})]이라 쓰고 [math(I_x)]를 annihilator라고 한다. 나아가, [math(I_0:= \{r \in R|\forall x \in M, rx=0 \})]라 쓰고 [math(I_0)]를 annihilator라고 한다. 그러면 [math(I_x)]는 [math(R)]의 왼쪽 아이디얼(left ideal)이고, [math(I_0)]은 [math(R)]의 양쪽 아이디얼(two-sided ideal)임을 보일 수 있다.

가군이 순환(cyclic)임을 [math(M=Rx:= \{rx|r \in R \})] 꼴로 나타내어진다는 것으로 정의한다.

그러면 다음과 같은 정리를 얻는다.

모든 순환 [math(R)]-가군은 몫가군 [math(R/I_x)]와 동형이다. [math(R)]이 가환환이면, 모든 순환 [math(R)]-가군은 [math(R/I_0)]와 동형이다.

5. 텐서곱(tensor product)

자세한 내용은 텐서곱 문서 참고하십시오.

[1] 사실은, 환의 곱셈 구조는 군이 아니므로 모노이드의 작용(monoid action)이라고 부르는 것이 더 정확하다. 애초에 군의 작용에 역원에 대한 조건이 없었으므로 이런 구분이 크게 의미가 있다고 할 수는 없겠지만 말이다. [2] 만약 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함된다면, 이 조건이 생략된 구조를 유사 가군(pseudomodule)이라 부른다. 반대로, 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함되지 않는다면 이 조건이 포함된 가군을 unital module 또는 module with unity라고 부른다. [3] [math(0x = 0_G )], [math((-n)x = -nx )]로 정의한다.

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