Homological Conjectures in Commutative algebra
1. 개요
수학에서 호몰로지 추측은 1960년대 초부터 가환대수학에 초점을 맞춰왔다. 즉 수학자들은 크룰 차원과 크룰 깊이 등 가환환의 다양한 호몰로지적 특성과 관련된 추측들에 대하여 고민해왔다. 이에 멜빈 호슈터(Melvin Hochster)는 다음과 같은 추측들의 목록을 제시하였다.2. 상세
이 문단에서는 다음과 같은 표기를 사용한다. [math(R)], [math(S)]는 뇌터 가환환이다. [math(R)]은 극대 아이디얼 [math( m_{R} )]을 가지는 국소환이며 [math(M)]과 [math(N)]은 유한 생성된 [math(R)]- 모듈들이다. [math(X_\bullet)]은 복합체를 뜻한다.2.1. 영인자(零因子) 정리
만약 [math( M\neq 0 )]인 [math(M)]이 유한 사영 차원을 가지고 [math(r\in R)]이 [math(M)]의 영인자가 아니라면 [math(r)]은 [math(R)]의 영인자 역시 아니다.2.2. 베이스의 추측
만약 [math( M\neq 0 )]인 [math(M)]이 유한한 단사적 분해(resolution)를 갖는다면 [math(R)]은 코헨-맥컬리 환이다.2.3. 교차 정리
만약 [math( M\oplus_{R} N\neq 0 )]이 유한한 길이를 가지면 [math(N)]의 크룰 차원은 [math(M)]의 사영 차원을 넘지 못한다.2.4. 新교차 정리
[math( 0\rightarrow G_{n}\rightarrow ...\rightarrow G_{0}\rightarrow 0 )]가 자유 [math(R)]-모듈의 유한 복합체이고, [math( \displaystyle \bigoplus _{i}H_{i}(G_\bullet))]는 유한한 길이를 가지되 0은 아니라고 하자. 그러면 크룰 차원 [math( \mathrm{dim} R\leq n )]이다.2.5. 발전된 新교차 추측
[math( 0\rightarrow G_{n}\rightarrow ...\rightarrow G_{0}\rightarrow 0 )]가 자유 [math(R)]-모듈의 유한 복합체라고 하자. 그리고 [math( H_{i}(G_\bullet) )]는 [math( i> 0 )]일 때는 유한한 길이를 가지고, [math( i=0 )]일 때는 [math(m_R)]의 적당한 거듭제곱에 의해 0이 되는 최소 생성원을 갖는다고 하자. 그러면 [math( \mathrm{dim} R\leq n )]이 성립한다.2.6. 직합인자 추측
만약 [math(R)]이 정칙(regular)이고 [math(R\subseteq S)]이 모듈적으로 유한한 환 확장이라면 [math(R)]은 [math(R)]-모듈 [math(S)]의 직합인자이다. 이 추측은 앙드레가 퍼펙토이드 공간 이론을 사용하여 2016년에 증명하였다. 해당 논문(불어)2.7. 표준 원소 추측
[math( x_{1},...,x_{d} )]가 [math(R)]에 대한 변수 체계이고 [math( F_\bullet )]가 [math( F_{0}=R )]를 만족하고 [math(R)]의 잉여체의 자유 [math(R)]-분해(resolution)이며 [math( K_\bullet )]가 위 변수 체계에 대한 [math(R)]의 코쥴 복합체라고 하자. 그러면 어떠한 변수 체계나 올림(lifting)을 선택하든지 상관 없이 [math( R= K_{d}\rightarrow F_{d} )]로부터 나오는 마지막 사상은 0이 아니다.3. 설명
위 목록은 수학에서도 최고 난도로 꼽히는 호몰로지에 대한 것 중에서도 가환대수와 관련된 추측의 목록이다. 이쪽 분야 용어를 모르는 상태에서는 위 내용이 이해가 안 가는 것이 정상이므로, 관심이 있다면 수학과 진학 후 대학원을 다니면서 가환대수와 호몰로지 대수를 배우며 대수기하학을 하는게 적절한 과정이다.위 목록 외에도 몇 가지 추측이 더 존재한다. 영문 위키피디아 참고.
4. 참고 문헌
- Melvin Hochster - Homological conjectures, old and new
- Bhargav Bhatt - On the direct summand conjecture and its derived variant