환(대수학)

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1. 정의

1.1. 나누어짐(divisibility)과 원소의 분류

1.1.1. 나누어짐(divisibility)1.1.2. 단원(unit)1.1.3. 기약원(irreducible element)1.1.4. 소원(prime element)1.1.5. 인수분해(factorization)

2. 종류

2.1. 가환환과 비가환환2.2. 단위원을 갖는 환(ring with unity)? 유사환(pseudo-ring)?2.3. 나눗셈의 성질에 따른 분류

2.3.1. 나눗셈 환(division ring)

2.3.1.1. 체(field)2.3.1.2. 꼬인 체(skew field)

2.3.2. 정역((integral) domain)

2.4. 국소화(localization)2.5. 이데알의 성질에 따른 분류

2.5.1. 주이데알환(principal ideal ring)2.5.2. 뇌터환(Noetherian ring)

2.5.2.1. 관련된 정리

2.5.3. 국소환(local ring)

2.6. 기타 분류

2.6.1. 유클리드 환(Euclidean ring)2.6.2. 유일인수분해환(unique factorization ring)

2.6.2.1. 관련된 정리들

2.7. 포함 관계

3. 곱환(product ring)4. 부분환과 확장환

4.1. 부분환의 생성원

5. 이데알(ideal)

5.1. 정의5.2. 이데알의 생성원5.3. 특별한 이데알들

5.3.1. 소 이데알(prime ideal)

5.3.1.1. 정의5.3.1.2. 관련된 정리들

5.3.2. 으뜸 이데알(primary ideal)

5.3.2.1. 정의

5.3.3. 극대 이데알(maximal ideal)5.3.4. 관련된 정리들

6. 몫환(factor ring / quotient ring)

6.1. 중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem; CRT)

7. 여담

1. 정의

環 / ring

정수 집합을 추상화한 것으로, 어떤 집합에 두 가지 연산을 아래와 같이 부여한 것이다.

어떤 집합 [math(R)]이 있을 때, [math(R)] 위에 결합법칙이 성립하는[1] 두 개의 이항 연산 [math(+)]와 [math(\cdot)]가 잘 정의되어 있고, 다음 조건들을 만족한다면 [math(\left(R,+,\cdot\right))]는 환(ring)이라고 한다.

[math(\left(R,+\right))] (R에 덧셈을 부여했을때 나오는 구조; 덧셈군)는 아벨군. 풀어 쓰면 다음 네 가지를 말한다.

(항등원) [math(0)]의 존재에 의해 [math(R)]의 임의의 원소 [math(a)]에 대해, [math(a+0 = 0+a =a )]가 성립한다. 항등원은 존재하면 유일하므로[2] 이 원소는 정수에서의 예에 따라 [math(0)]으로 적지만, 혼동의 여지가 있을 때는 [math(0_{R})]로 적기도 한다.
(역원) 임의의 [math(a\in R)]에 대해 존재하는 [math(x\in R)]에 의해 [math(a+x=0=x+a)]가 성립한다. 역원은 존재하면 유일하므로[3] 이 원소를 정수에서의 예에 따라 [math(-a)]로 적는다.
(결합법칙) 임의의 세 원소 [math(a, b, c\in R)]에 대해, [math(a+(b+c)=(a+b)+c)]가 성립한다.
(교환법칙) 임의의 두 원소 [math(a, b\in R )]에 대해, [math(a+b = b+a )]가 성립한다.[4]

모노이드

[5]

(항등원) [math(1\in R)]의 존재에 의해, [math(R)]의 임의의 원소 [math(a)]에 대해 [math(a\cdot 1 = 1\cdot a =a )]가 성립한다.
(결합법칙) 임의의 세 원소 [math(a,b,c\in R)]에 대해, [math((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c))]가 성립한다.

임의의 [math(a, b, c\in R )]에 대해, [math(\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c)] 와 [math(c\cdot \left(a+b\right)=c\cdot a+c\cdot b)] 이 성립한다.

물론 [math(+)]는 덧셈으로, [math(\cdot)]는 곱셈으로 해석할 예정이며, 이렇게 해석할 수 있는 이유는 궁극적으로 위 3) 분배법칙 때문이다. 따라서 [math(a\cdot b=ab)]와 같이 곱셈기호를 생략하는 관습 역시 통용된다. 아예 처음부터 연산을 붙여쓰기(juxtaposition)로 정의하기도 한다.

환의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

정수 전체의 집합 [math( \mathbb{Z} )].
유리수 전체의 집합 [math( \mathbb{Q} )], 실수 전체의 집합 [math( \mathbb{R} )], 복소수 전체의 집합 [math( \mathbb{C} )]. 이들은 후술하듯 특수한 환인 체에 해당한다.
사원수 전체의 집합 [math(\mathbb{H})] .
[math(n\in \mathbb{Z})]에 대해, [math(\mathbb{Z})]를 [math(n)]으로 나눈 나머지 [math( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} )] . 이를 잉여환(quotient ring)이라 한다.
[math(R)] 이 환일 때 [math(R)] 위의 polynomial 전체의 집합 [math( R\left[t\right] )], [math(R)] 위의 [math( n \times n )] 정사각행렬 전체의 집합 [math( M_{n}\left(R\right))].

환이 아닌 것의 예로는 자연수 전체의 집합 [math( \mathbb{N} )] 등이 있다. [6]

모든 환 [math(R)]은 자명한 [math(R)]-가군(module) 구조를 가진다. 또, 모든 환은 [math( \mathbb{Z} )] -대수(algebra)로 볼 수 있다.

1.1. 나누어짐(divisibility)과 원소의 분류

이하에서는, [math(1)]을 갖는 가환환에 대해 한해, 이야기한다.

1.1.1. 나누어짐(divisibility)

[math(a,b\in R)]에 대해, 나누어짐을 다음과 같이 표기하고 정의한다.

TFAE
[math(b\mid a)]
[math(\exists c\in R \qquad bc=a)]

1.1.2. 단원(unit)

단원들의 모임을 다음과 같이 정의한다.[7]

[math(R^{\times} :=\left\{ a\in R:\exists x\in R\quad ax=1\right\} )]

즉, 곱셈에 대한 역원이 존재하는 원소들을 말한다. 예를 들어, 정수 집합에서 unit은 1과 -1뿐이다.

1.1.3. 기약원(irreducible element)

[math(0\neq i\in R)]가 기약원이라 함은 다음을 만족하는 것이다.

[math(\forall x\mid i \left[x\in R^{\times} \text{or} \left[\exists u\in R^{\times} xu=i\right]\right] )]

쉽게 풀어쓰자면, unit, 그리고 자신과 unit의 곱을 제외한 약수가 없는 윈소를 말한다. 자연수 집합에서의 소수(수론) 정도의 위치로 생각할 수도 있다.

1.1.4. 소원(prime element)

[math(0\neq p\in R)]가 소원이라 함은 유클리드의 보조 정리를 만족하는 것이다.

[math(\forall a,b\in R\left[p\mid ab\rightarrow \left[\left[p\mid a\right]\text{or}\left[p\mid b\right]\right]\right] )]

prime이면 irreducible이다. 역은 일반적으로 성립하지 않지만, 유일인수분해환에서는 성립한다.
ex) 유일인수분해환이 아닌 [math(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}])]에서 2는 irreducible이지만, [math(2\times3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}))]이므로 2는 prime이 아니다.

1.1.5. 인수분해(factorization)

[math(x\neq0)]를 [math(x=u\prod {i_{k}}^{e_{k}})]([math(i_{k})]는 서로 다른 기약원, [math(e_{k}>0)], [math(u)]는 단원)꼴로 나타내는 일을 말한다.

2. 종류

‘곱셈’에 관해서는(ring이라는 이름에서 느껴지는 것과는 달리) 결합법칙 외에 아무 조건이 없는 점에 유의하여야 한다. 여기에 이런저런 조건이 붙을 때마다 다음과 같은 여러 가지 이름으로 불린다.

2.1. 가환환과 비가환환

곱셈에 관해 교환법칙(commutativity)이 성립하는 것을 가환환(commutative ring)[8]이라 하고, 그렇지 않은 것을 비가환환(non-commutative ring)이라 한다.

가환환의 예: [math(\mathbb{Z})], [math(\mathbb{Q})], [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]
비가환환의 예:[math(\mathbb{H})], [math(M_{n}\left( R \right))][9]

2.2. 단위원을 갖는 환(ring with unity)[10]? 유사환(pseudo-ring)?

더러는 [math(\cdot)]에 대하여 항등원(단위원, unity)을 갖춘 모노이드가 아니라 결합법칙 성립만 보장되는 '반군(semigroup)'이라는 약한 조건으로 환을 정의하는 학자나 현대대수학 교과서도 있다. 대수학/교재 문서에 소개되는 Fraleigh 저서나 Dummit 저서, Hungerford의 학부 및 대학원 교과서 등등 꽤 많다. 이렇게 환의 정의에서 곱셈의 성질을 약하게 정의하는 가장 중요한 이유로는 환론에서 중요하게 다뤄지는 아이디얼을 환이라고 못 박을 수가 없어져서 논리 전개가 피곤해진다는 점이 꼽힌다. 만약 환을 정의할 때 곱셈의 구조를 반군으로 약하게 정한다면, 특별히 곱셈에 관해 [math(0_R)]이 아닌 항등원(identity element)[11]을 갖는 것을 단위원을 갖는 환(ring with unity), 1을 갖는 환(ring with 1) 또는 unital ring이라 한다. 1을 갖는 가환환(Commutative ring with 1) 위의 선형대수는 그 내용이 매우 풍부하다. 항등원은 존재하면 유일하므로[12] 이 원소를 정수에서의 예에 따라 [math(1)]로 표기하고, 혼동의 여지가 있을 때는 [math(1_{R})]로 적기도 한다. 심지어 [math(2=1_{R}+1_{R})] 등의 표기도 사용한다.[13]

물론 이런 경우에도 장점만 있는 것은 아니어서, 환을 가져다 스칼라곱을 정의한 가군을 벡터 공간의 일반화로 쉽게 설명하기 까다로워진다. 벡터공간에서는 모두 보장되는 덧셈 가환군의 4가지 성질과 스칼라곱의 4가지 성질 중 스칼라곱 항등원 [math(1_R)]의 존재성이 탈락할 수밖에 없기 때문.

'곱셈에 대한 항등원이 존재한다'는 조건을 관철하여 곱셈 모노이드 구조를 갖게끔 환을 정의할 경우, 환의 조건에서 [math(1_R)]만 충족하지 못하는 구조를 유사환(pseudo-ring 또는 rng[14])이라고 부른다. 이러한 유사환의 예로는 [math(2\mathbb{Z})][15]가 있다.[16]

대체로는 학부생용 교과서에서 환을 정의할 때 [math(1_R)]의 존재성이 빠지고 대학원생 대상 교과서에서는 포함되는 경향이 있으나 사실상 케이스 바이스 케이스에 가깝다. Steven Roman, Serge Lang 등은 대수학 교과서에서 환의 조건에 [math(1_R)]의 존재성을 포함한다. 또한 학부생들이 보기엔 생뚱맞게도 환에서 곱셈에 대한 교환법칙이 반드시 성립할 것을 요구하는 일부 심화학문도 있으니 저자마다, 그리고 심화학문 분야나 교과서마다 환의 정의를 적절히 숙지해놓고 시작할 필요가 있다. 예를 들어 David Eisenbud의 가환대수학 교과서에서는 첫 챕터부터 '이 책에서 다루는 환은 거의 모두 가환환이니까' 그냥 가환환을 가환이라는 말 떼고 환이라 부르겠다고 정해놓는다.

이러한 혼란스러운 정의가 비슷한 시기에 나온 점도 혼란을 부채질하였다. [math(1_R)]을 꼭 포함하는 정의는 ZF 집합론으로 더 유명한 아돌프 프렝켈이 내놨고, [math(1_R)]을 포함하지 않는 정의는 에미 뇌터가 내놨다. 20세기 중반까지는 [math(1_R)]을 포함하지 않는 뇌터의 정의가 저술에서 우위에 있었으나, 1960년대 ~~만악의 근원~~ 니콜라 부르바키를 필두로 마이클 아틴, 알렉산더 그로텐디크 등의 현대 대수기하학 연구 및 저술 과정에서 가군과 범주에 대한 연구가 흥하면서 [math(1_R)]을 환의 정의에 포함해야 한다는 의견이 강해지기 시작했다. 허나 그럼에도 불구하고 [math(1_R)]을 환의 정의에서 제외하는 교과서와 교수는 2020년대에도 많다. 환이 [math(1_R)]을 반드시 포함하게끔 설정하면 잃어버리는 좋은 성질이 많기 때문. 산술기하학 전문가인 ΜΙΤ의 Bjorn Poonen 교수는 "왜 모든 환이 [math(1)]을 가져야 하는가?(Why all rings should have [math(1)]?)"라는 칼럼을 기고하기도 했다.

2.3. 나눗셈의 성질에 따른 분류

2.3.1. 나눗셈 환(division ring)

1을 갖는 환 [math(R)]이 나눗셈환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.[17]

[math(R^{\times}=R-\left\{ 0\right\} )]

1을 갖는 환에서 [math(0)] 외의 모든 원소가 곱셈에 관한 역원(multiplicative inverse element)을 가지면 나눗셈이 가능하므로 (나눗셈 a / b 는 a 와 b 의 곱셈에 대한 역원의 곱으로 정의된다.) 나눗셈환(division ring)이라 한다. 나눗셈환이 가환이면 체(field)라고 하고, 비가환이면 비가환체(skew-field)라 한다.
정의에 의해, 나눗셈환이면 정역이다.

2.3.1.1. 체(field)

1을 갖는 가환나눗셈환(commutative division ring with unity)을 일컫는다.

예: 유리수체 [math( \mathbb{Q})], 실수체 [math(\mathbb{R})], 복소수체 [math(\mathbb{C})] 등

2.3.1.2. 꼬인 체(skew field)

비가환 나눗셈환을 일컫는다. 즉, 체가 아닌 모든 나눗셈환을 일컫는다.

예: [math(\mathbb{H})]

2.3.2. 정역((integral) domain)

정수에서는 [math(ab=0)]이면 [math(a=0)] 또는 [math(b=0)]임이 당연했지만, 예를 들어 행렬환에서는 그렇지 않음을(그것이 행렬문제를 더럽게 만드는 주범임을) 우리는 잘 알고 있다.
[math(a\in R)]에 대해[18], [math(ax=0)]을 만족하는 0 아닌 [math(x\in R)]이 있으면 [math(a)]를 좌영인자(left zero divisor)라 하고, [math(ya=0)]을 만족하는 0 아닌 [math(y\in R)]이 있으면 [math(a)]를 우영인자(right zero divisor)라 하며, 그냥 영인자(zero divisor)라 하면 좌영인자이거나 우영인자인 원소를 가리킨다. 다행히(?) 가환환에서는 이들을 구분할 필요가 없다. 한편 좌영인자이면서 우영인자인 원소는 양쪽 영인자(two-sided zero divisor)라고 한다.[19]
영인자는 소거법칙(cancellation law)과 연관된다. [math(R)]이 좌영인자를 갖지 않는다는 것은 우소거(right cancellation)가 가능하다는 것과 동치이다. 즉 [math(R)]이 좌영인자를 갖지 않으면, [math(R)] 위에서 [math(ac=bc)]일 때 [math(c\neq 0)]이면 [math(c)]를 소거하여 [math(a=b)]를 얻을 수 있고, 역도 성립한다. 반대로 [math(R)]이 우영인자를 갖지 않는다는 것은 좌소거가 가능하다는 것과 동치이다.

1을 갖는 가환환이 [math(0)] 외의 영인자가 없다면 정역(integral domain) 혹은 (줄여서) 그냥 domain이라 한다. 정역의 대표 주자는 정수이다. 애초에 정수를 추상화 시킨게 정역이니까. 명칭인 정역(integral domain) 자체에 정수(integer)가 들어있다.

다만 실제 정수는 단순히 정역이 가지는 성질보다 훨씬 좋은 성질을 갖는다. 그래서인지 Serge Lang은 이 용어에 반대하고, entire ring이라는 용어를 쓴다.

모든 체가 정역인 것은 자명한데, 전술했듯 영인자가 없는 것과 소거가 가능한 것은 동치인데 나눗셈은 소거를 함의하기 때문이다. 이는 역으로 나눗셈이 불가능한 정역에서도 소거법칙을 활용해서 상당히 많은 이야기를 할 수 있다는 뜻이 된다. 한편 1을 갖는 가환환일 것을 요구하지 않고 소거법칙이 성립하는 환을 소거환?(cancellation ring?)이라고 부를 수도 있겠으나, 많이 쓰이는 용어는 아니다.

정역의 예: 모든 체, 정수환 [math(Z)].
정역이 아닌 예: [math(n>1)]에서 [math(M_{n}\left(\mathbb{R}\right))][20]

2.4. 국소화(localization)

환 [math(R)]를 "체처럼" 작동하도록 만드는 일이다.
[math(D)]가 곱셈적(multiplicative)[21]이라 하자. 그리고 [math(D^{-1}R=\left\{r/d: r\in R, d\in D\right\})]라 정의하면, [math(D^{-1}R)]는 환이 된다. [math(r/d)]는 흔히 생각하는 유리수와 같이 작동한다. 이 정의를 언급하지 않고 얼버무렸지만, 동치류를 이용하여 명확히 정의할 수 있다. [math(0\in D)]이면, [math(D^{-1}R=0)]이 되어버려 재미가 없다. 따라서, 정역 조건에서 다루는 것이 일반적이다. 정역 조건에서 다음과 같은 줄임표현들이 있다.

[math(0\neq d)]에 대해, [math(D:=\left\{d^{i}:i\geq 0\right\})][22]이라 할 때, [math(R_{d}:=D^{-1}R)]
(정역이 아니더라도) 소이데알 [math(P)]에 대해, [math(D:=R-P)][23]이라 할 때, [math(R_{P}:=D^{-1}R)]
정역이므로, [math(\left(0\right))]도 소이데알이다. 따라서,[math(R_{\left(0\right)})]라 쓸 수 있다. 이는 체로서, 또한 [math(R)]이 묻히는(Embedded) 최소한의 체이다.[24]

2.5. 이데알[25]의 성질에 따른 분류

이하에서, 환 [math(R)]에 대해, [math(\text{ideal}\left(R \right))]은 이데알들의 모임을 뜻한다.

2.5.1. 주이데알환(principal ideal ring)[26]

공학의 PID 제어는 해당 문서로.

환 [math(R)]이 주이데알환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

[math(\forall I\in\text{ideal}\left(R\right)\exists a\in R \left(a\right)=I)]

예: 정수환 [math(\mathbb{Z})], 가우스 정수환 [math(\mathbb{Z}\left[i\right])]

2.5.2. 뇌터환(Noetherian ring)

환 [math(R)]이 뇌터환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.[27]

[math(\forall I\in\text{ideal}\left(R\right)\exists a_{1}, ..., a_{n}\in R \left(a_{1}, ..., a_{n}\right)=I)]

즉, 임의의 이데알이 유한 개의 원소로 생성되는 환을 뜻한다.
예: 정수환 [math(\mathbb{Z})], 정수환의 다항식환[math(\mathbb{Z}\left[x\right])]

2.5.2.1. 관련된 정리

오름사슬조건(ascending chain condition; ACC)

환 [math(R)]에 대해, 다음은 모두 동치이다.
* [math(R)]가 뇌터환이다.
* [math(\forall I_{i}\in\text{ideal}\left(R\right)\left[\left[\forall i\in \mathbb{N} \qquad I_{i}\subset I_{i+1}\right]\rightarrow\exists n\in N\forall n<mI_{n}=I_{m}\right])]

Hilbert's basis theorem

[math(R)]이 뇌터환이면, [math(R\left[x\right])]도 뇌터환이다. 이로부터 [math(R\left[x_1 , x_2 , ... , x_n \right])]가 뇌터환임을 귀납적으로 보일 수 있다.

2.5.3. 국소환(local ring)

환 [math(R)]이 국소환이라 함은 [math(R)]의 극대 이데알이 유일한 것이다.
예: 모든 체, 더 일반적으로 모든 나눗셈환은 국소환이다. 소이데알의 여집합으로 국소화하면 국소환이 된다.

2.6. 기타 분류

2.6.1. 유클리드 환(Euclidean ring)[28]

환 [math(R)]이 유클리드환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.[29]

[math(\left|\cdot\right|:R-\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geq 0})]
[math(\forall a,\, b\in R-\left\{ 0\right\} \exists q,\, r\in R)]
[math(a=bq+r\&\left[r=0\vee\left|r\right|<\left|a\right|\right])]

간단히 말해서 정수에서의 나눗셈 정리를 실수범위로 확장한 것이다. 대부분의 경우 정역에서 다루기 때문에 (Euclidean domain; ED)이라고도 한다.

2.6.2. 유일인수분해환(unique factorization ring)

보통은 정역(domain) 조건과 함께 다루는데, 이 경우 유일인수분해정역(unique factorization; UFD)라 불린다.

환 [math(R)]이 유일인수분해환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

모든 [math(0\neq a\in R)]은 단원(unit) 및 인수의 순서를 제외하면 유일한 인수분해를 갖는다.

2.6.2.1. 관련된 정리들

[math(R)]와 [math(R\left[x\right])]가 UFD임은 동치이다.

2.7. 포함 관계

[math(\text{ED}\varsubsetneq\text{PID}\varsubsetneq\text{UFD}\varsubsetneq\text{Domain})]
[math(\text{PID}\varsubsetneq\text{Notherian domain})]

여기서, [math(\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]\in\text{PID}-\text{ED})][30], [math(\mathbb{Z}\left[x,y\right]\in\text{UFD}-\text{PID})][31], [math(\mathbb{Z}\left[\sqrt {-5}\right]\in\text{domain}-\text{UFD})][32], [math(\mathbb{Z}\left[x,y\right]\in\text{Notherian domain}-\text{PID})][33]

3. 곱환(product ring)

[math(R)], [math(S)]가 환일 때 [math(R\times S)]에 연산을 좌표별(componentwise)로 정의하면 [math(R\times S)] 역시 환이 되는데, 이런 식의 대수적 구조를 direct product라고 하므로 이런 환을 곱환이라 할 수 있다.

4. 부분환과 확장환

[math(R)]이 환일 때, [math(R)]의 부분집합 [math(S)]가 [math(R)]로부터 물려받은 연산에 관해 그 자신이 환이 되면 [math(S)]를 [math(R)]의 부분환(subring)이라 하고, 반대의 관계를 확장환(extension ring)이라 한다. [math(S \leq R)], [math(R/S)] 로 적는다.[34][35]
이렇게만 정의해도 군의 성질에 의해 [math(0_{S}=0_{R})]을 쉽게 보일 수 있는데,[36] 문제는 곱셈의 항등원 [math(1)]이다. 벡터공간이나 군에서는 없던 다음과 같은 극악한 문제가 있다.

[math(\mathbb{Z} \times 0\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} )]

[math(\mathbb{Z} \times 0\mathbb{Z})][37]은 [math(\left(1,0\right))]을 곱셈의 항등원으로 갖고, [math(\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z})]은 곱셈의 항등원이 없고, [math(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})]은 [math(\left(1,1\right))]을 곱셈의 항등원으로 갖는다. 즉, [math(1)]을 갖는 환의 부분환이 [math(1)]이 없을 수도 있고, [math(1)]이 없는 환의 부분환이 [math(1)]을 가질 수도 있고, [math(1)]을 갖는 환의 부분환이 [math(1)]을 갖는데 그게 원래 환의 [math(1)]과 다를 수도 있다! 이는 환은 곱셈에 대하여 군이 아닐 수 있으므로 생기는 문제이다.

환론에서는 [math(1)]을 갖는 환만을 주된 연구의 대상으로 삼기도 하는데, 그 경우 이러한 복잡한 상황을 피하기 위해 부분환 [math(S)]가 곱셈의 항등원으로 [math(1_{R})]을 갖도록 제한해 버리기도 한다. 다만 이렇게 하면 이데알(ideal)은 부분환의 일종이 아니고 전혀 별개의 개념이 된다.[38][39] 한편, 이 문제는 [math(R)]이 [math(1)]을 갖는 환일 경우 [math(R)]-가군 [math(M)]을 정의할 때 왜 [math(1_{R}\cdot x_{M}=x_{M})]라는 조건이 필수적인지 설명해 준다. 즉, [math(R)]-가군 [math(M)]의 [math(R)]-스칼라배 구조와 아벨군 [math(M)]의 [math(\mathbb{Z})] -스칼라배 구조가 충돌하지 않기 위해서이다.[40]

그나마 다행인 점은 [math(R)]이 정역이고, [math(S)]가항등원이 존재하는 비자명 부분환이면 [math(1_{S}=1_{R})]이 성립한다는 것이다. 이 또한 궁극적으로 소거법칙의 결과이다.[41]

부분환의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

[math( 0<2\mathbb{Z}<\mathbb{Z}<\mathbb{Q}<\mathbb{R}<\mathbb{C}<\mathbb{H} )] 가 있다.

한편 잉여환 [math(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]는 [math(\mathbb{Z})] 의 준동형상(homomorphic image)이지, 부분환이 아니다.

환 [math(R)], [math(S)], [math(T)]에 대해, [math(S<R)], [math(T<S)]이면 [math(T<R)]이다. 즉, 부분환 관계는 추이적(transitive)이다.(정의에 의해 자명하다).

또 다음이 성립한다.

임의의 [math(\alpha\in I)]에 대해, [math(S_{\alpha}<R)]이라 하자.[42] [math({\displaystyle \bigcap_{\alpha}}S_{\alpha}<R)]이다.

부분환의 정의는 다음과 동치이다.

1. [math(\left( S,+\right))]는 [math(\left(R,+\right))]의 부분군(subgroup)
2. [math(\left(S,\cdot\right))]는 [math(\left(R,\cdot\right))]의 부분반군(subsemigroup)

와 동치이다.

4.1. 부분환의 생성원

[math(X\subset R)]에 대해, [math(X)]를 포함하는 [math(R)]의 가장 작은(smallest) 부분환을 [math(X)]가 생성하는 부분환(subring generated by [math(X)])이라 하고, [math( \langle X \rangle )] 로 적는다. 이 때, [math(X)]는 [math(\langle X \rangle)]의 생성원이라 한다.smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……
이러한 부분환 [math( \langle X \rangle )]의 존재성과 유일성은 [math(\langle X \rangle = \bigcap_{X \subseteq S \leq R} S )]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다.
실제로 [math(\langle X \rangle)] 를 계산하려면 [math(\langle X \rangle=\{)] [math(X)] 의 모든 원소의 비가환다항식(non-commutative polynomial)[math(\})]임을 증명하여야 한다. 이는 [math( X \subset S \leq R)]일 때마다 [math(S)]에는 [math(X)]의 모든 원소의 비가환다항식이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분환 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다.

부분환 [math(S\leq R)]이 [math(1_{R})]을 포함하도록 정의하는 경우에는, 위 동치 정리의 (ii)를 [math(\left(S,\cdot,1_{R}\right))]는 [math(\left(R,\cdot,1_{R}\right))]의 부분모노이드(submonoid)인 것”으로 바꾸고, [math(X)]가 생성하는 부분환에서는 증명의 모든 [math(X)] 대신 [math(X\cup\left\{1_{R}\right\})]을 생각하면 되고, 나머지는 똑같다.

5. 이데알(ideal)[43]

이데알은 부분환[44]의 일종이지만, 부분환에 한 가지 조건이 더 추가된다. 부분환과 이데알의 이런 관계는, 군론에서의 부분군과 정규부분군의 관계와도 닮았다. 실제로, 군을 정규부분군으로 잘라 군을 만들 듯이, 환을 이데알로 잘라 환을 얻는다. 하지만, 부분군과 부분환으로는 그것이 불가능하다.

5.1. 정의

[math(I\subset R)]이 이데알이라 함은,

1. 덧셈군 [math((I, +))]은 덧셈군 [math((R, +))]의 부분군이다.
1. 모든 [math(a\in R)]에 대해[45],
* (좌 이데알(left ideal)) [math(aI\subset I)]
* (우 이데알(right ideal)) [math(Ia\subset I)]

좌 이데알인 동시에, 우 이데알이면 양쪽 이데알(two side ideal)이라 부른다.[46]

다음이 성립한다.[47]

임의의 [math(\alpha\in A)]에 대해, [math(I_{\alpha})]가 [math(R)]의 이데알이라 하자.[48] [math({\displaystyle \bigcap_{\alpha}}I_{\alpha})]도 [math(R)]의 이데알이다.

5.2. 이데알의 생성원

[math(X\subset R)]에 대해, [math(X)]를 포함하는 [math(R)]의 가장 작은(smallest) 이데알을 [math(X)]가 생성하는 이데알(ideal generated by [math(X)])이라 하고, [math( \left( X \right) )] 로 적는다.[49] [math(X)]는 [math( \left( X \right) )]의 생성원이라 한다. smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……
이러한 부분환 [math( \left( X \right) )]의 존재성과 유일성은 [math(\left( X \right) = \bigcap_{X \subset I \leq R} I )]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이하 과정은 부분환의 그것과 동문이다.

5.3. 특별한 이데알들

이하에서, 환 [math(R)]은 가환이고, 단위원 [math(1)]을 갖는다고 가정한다.

5.3.1. 소 이데알(prime ideal)

5.3.1.1. 정의

[math(R)]의 이데알 [math(P \subsetneq R)]가 [math(R)]의 소 이데알이라 함은 다음 유클리드 보조정리가 성립하는 것이다.

임의의 [math(a,b\in R)]에 대해, [math(ab\in P)]이면, [math(a\in P)] 또는 [math(b\in P)]이다.[50]

소 이데알의 몫환은 정역이다.

5.3.1.2. 관련된 정리들

Eisenstein's criterion

[math(R)]이 정역, [math(P)]가 [math(R)]의 소 이데알이라 하자. [math(f=\sum a_{i}x^{i})]에 대해,
* [math(\forall i<n a_{i}\in P)]
* [math(a_{n}\notin P)]
* [math(a_{0}\notin P^{2})]
이면, [math(f)]는 irreducible이다.

소원의 이데알은 소 이데알이다.

5.3.2. 으뜸 이데알(primary ideal)

으뜸 이데알은 소이데알의 조건을 약화시킨 것이다.

5.3.2.1. 정의

[math(R)]의 이데알 [math(Q)]가 [math(R)]의 으뜸 이데알이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

임의의 [math(a,b\in R)]에 대해, [math(ab\in P)]이면, [math(a\in P)] 또는 [math(\exists n\geq 1,\,b^{n}\in P)]이다.

5.3.3. 극대 이데알(maximal ideal)

[math(R)]의 이데알 [math(M \subsetneq R)]이 [math(R)]의 극대 이데알이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

임의의 이데알 [math(M \subset I \subset R)]에 대해, [math(I=R)]또는, [math(I=M)]이다.[51]

일반적으로 Maximal은 더 이상 큰 것이 없다는 뜻이지만, 이데알에서 이런 식으로 정의하면 그냥 원래 환 [math(R)]이 되어버려 아무 의미가 없어지기 때문에 [math(R)]은 빼놓고 생각하는 것이다. 1을 소수가 아니라고 하는 것과 같은 이치이다.

또한 선택공리를 가정하면 1을 포함하는 가환환은 극대 이데알을 가진다. 라는 결론을 내릴 수 있다.

5.3.4. 관련된 정리들

극대 이데알의 몫환은 체이다.
어떤 이데알이 극대 이데알이면 그 이데알은 소 이데알이기도 하다.
체의 극대 이데알은 [math(\{0\})]이다. 즉 체의 이데알은 [math(\{0\})]과 자기 자신뿐이다.
어떤 환의 극대 이데알이 [math(\{0\})]이면 그 환은 체이다.
(비가환 환에서도) 모든 이데알은 극대 이데알의 부분집합이다.[52]
(비가환 환에서도) 극대 이데알을 갖는다.
PID 위에서, 기약원의 이데알은 극대 이데알이다.

6. 몫환(factor ring / quotient ring)

환 [math(R)]과 그것의 이데알 [math(I)]를 생각하자. [math(R/I:=\left\{a+I:a\in R\right\})]에 대해 연산을 다음과 같이 정의할 때, [math(R/I)]는 다시 환을 이룬다.[53]

(덧셈)[math(\left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I)]
(곱셈)[math(\left(a+I\right)\left(b+I\right)=\left(ab\right)+I)]

여기서 합동식 [math(\text{mod} I)]를 [math(a\equiv b \left(\text{mod} I\right))](간단히 쓰자면, [math(a\equiv b \left(I\right))])를 [math(a+I=b+I)]로 정의할 수 있다. [54]

예시: [math(\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong \mathbb C)]

6.1. 중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem; CRT)

단위원을 갖는 가환환 [math(R)]과 그것의 이데알 [math(I_{1},\ldots,\, I_{n})]을 생각하자. [math(\left\{I_{i}:i=1,\ldots,\,n\right\})]이 comaximal[55]하다고 하자. 그러면, [math(R/\left({\displaystyle \bigcap_{i}}I_{i}\right)\cong{\displaystyle \prod_{i}}\left(R/I_{i}\right))]이다.

이를 와닿게 표현하자면, 임의의 [math(a_{i}\in R)]에 대해 합동 연립방정식 [math(x\equiv a_{i}\left(I_{i}\right))]의 해가 존재함을 의미한다. 이를 정수로 적용시키면 정수에서 comaximality는 서로 소에 대응되므로,[56] 흔히 아는 정수 버전 중국인의 나머지 정리를 얻는다. 각주로 대응이 어떻게 되는지 설명이 되어있다.

쌍끼리 서로 소[57]인 정수[58] [math(a_1,a_2,\cdots,a_n)][59]과 임의의 [math(b_1,b_2,...,b_n)]([math(0\le |b_i| < |a_i|))][60] 유일한 [math(0\le c< |a_1a_2\cdots a_n|)]가 존재해서 [math(\forall i, c\equiv b_i\pmod{a_i})]이다.[61]

7. 여담

ring이 집단을 의미하기에 잘못된 번역이라는 주장도 있으나 명확하지 않다. 본래 환이라는 개념을 처음 도입한 것은 데데킨트 컷으로 유명한 리하르트 데데킨트인데, 데데킨트는 ring이라는 용어를 쓰지 않았다. 처음 ring이라는 용어를 사용하기 시작한 것은 힐베르트로, number ring이라는 뜻의 독일어 Zahlring을 사용한 것이 시초이다. 문제는 힐베르트가 자신이 왜 ring이라는 표현을 썼는지 밝히지 않았다는 것이다. 그렇기에 다양한 추측이 존재하는데, 이 중에는 그룹이라는 의미로 사용했다는 주장, 내부에서 고리 모양으로 순환하기에 사용했다는 주장, 복싱의 링처럼 일정한 범위 안에 존재한다는 의미로 사용했다는 주장 등이 병존한다. 게다가 독일어에서도 ring은 고리라는 의미가 훨씬 더 자주 쓰이기에 힐베르트가 집단이라는 의미로 사용했을 것이라 단정하기 어렵다.

하지만 ring의 한국어 번역어 '환'이 옳으냐와는 별개로, 영미권에서는 이를 반지와 엮는 말장난이 유행한다. 심지어 수학 교과서에서 사우론이 반지에 새겨넣은 문구를 인용할 정도이다. ~~모든 환을 지배할 단 하나의 환~~ ### 어떤 수학자는 환을 연구하는 논문을 쓰면서 arXiv에다 빌보 배긴스를 공동저자라고 써놓기도 했다. 다행히(?) 정식 게재 때에는 빌보를 뺀 모양. v1

[1] 대수학에서는 어떤 대수적 구조를 다루든 해당 연산에서 결합법칙이 성립해야 함은 기본 중의 기본으로 여긴다. 수 체계를 너무 확장하는 경우처럼 결합법칙이 무너지는 ~~근본없는~~ 집합도 없지는 않으나, 어지간한 경우에는 결합법칙은 당연히 성립하는 것으로 가정된다. [2] [math(0')]도 덧셈의 항등원이면 [math(0 = 0+0' = 0')]이므로 유일하다. [3] [math(y )]도 [math(a )]의 역원이면 [math(x = x+0 = x+\left(a+y\right) = \left(x+a\right)+y = 0+y =y )]이므로 유일하다. [4] 사실 교환법칙은 따로 정의할 필요는 없다. 아래 분배법칙에서 유도할 수 있기 때문이다. [math(a+a+b+b=(a+b)(1+1)=a+b+a+b)]. 하지만 환의 정의에 곱셈에 대한 항등원이 없을경우는 덧셈의 교환법칙을 따로 정의할 필요가 있다 [5] 이 연산에 대해서는 '교환법칙'을 만족할 필요가 없다. 교환법칙까지 만족할 경우 '가환환'이 된다. 실제로 사원수는 '환'이지만 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않기에 '비가환환'이다. 그리고 만약 [math(\cdot)]에 대하여 [math(R)]이 모노이드가 아니라 반군(semigroup)을 이룬다면 [math(\left(R, +, \cdot\right))]을 유사환(rng 또는 pseudoring)이라 한다. [6] 덧셈에 대한 역원이 존재하지 않는다. [7] 자명하게, 이는 곱셈군을 이룬다. [8] 덧셈에 관해서는 이미 가환이다. [9] 환 [math(R)] 위의 [math(n)]차 정사각행렬들의 모임.[math(n\geq 2)]면 대개 비가환이다. [10] 1을 갖는 환(ring with 1), unital ring 등 다양한 이름으로 불린다. [11] 만일 [math(0_R)]이 곱셈의 항등원이라면 환의 임의의 원소 [math(a)]에 대해 [math(a = a\cdot 1 = a\cdot 0 = 0)]이므로 그러한 환은 자명환(trivial ring) 내지 영환(zero ring)으로 불리는 {[math(0)]}밖에 없다. 황당해보일 수 있지만 이 집합 역시 진짜로 환의 조건을 만족한다. 물론 이런 환은 딱히 연구할 가치는 없고, 이런 환의 존재를 염두에 두고 매번 [math(1\ne 0)]이라고 적는 것도 귀찮기 때문에 차라리 처음부터 [math(0)]은 곱셈의 항등원이 될 수 없다고 하는 편이 경제적이다. [12] [math(1)]과 [math(1')]이 모두 곱셈의 항등원이면, [math(1 = 1\cdot 1' = 1')]이므로 유일하다. [13] 환을 넘어 체의 조건까지 만족하는 {0, 1}처럼 [math(2=0)]일 수 있음을 염두에 둘 필요가 있다. [14] ring에서 항등원(identity)의 i가 빠졌다고 붙은 이름이다. 릉 다만 이 표기는 대수학 교과서에서 함수 및 사상에 대해 다룰 때 range를 줄여 rng로 쓰거나 환으로 이뤄진 클래스 및 카테고리를 Rng으로 지칭하는 경우도 있으니 유의해야 한다. [15] 정체는 짝수이다. [16] 사실 모든 아벨군은 유사환으로 확장 가능하다. 곱셈을 결과가 0이 되는 연산으로 정의하면 결합법칙과 분배법칙을 만족하기 때문. [17] 곱셈의 역원을 취할 수 있어, 나눗셈이 가능하므로 [18] 0을 영인자로 인정하는 책도 있고, 아닌 책도 있다. [19] 이데알(Ideal)과 양쪽 이데알(two-sided ideal)은 같은 의미로 쓰이지만, 영인자는 그렇지 않음에 주의할 것. [20] 이미 알고 있고, 언급한 것과 같이 행렬에는 영원이 존재한다. [21] 모든 [math(a,b\in D)]에 대해, [math(ab\in D)] [22] 정역이고, [math(0\neq d)]이므로 [math(0\notin D)] [23] 소이데알의 정의에서, [math(D)]는 곱셈적이다. 그리고 [math(0\in P)]에서, [math(0\notin D)] [24] 정수에서 유리수를 이 방법으로 얻는다. [25] 이데알 참조 [26] 보통은 정역(domain) 조건과 함께 다루는데, 이 경우 주이데알 정역(principal dieal domain; PID)라 불린다. [27] 정의에서 자명하게, 주이데알환은 뇌터환이다. [28] 보통은 정역(domain) 조건과 함께 다루는데, 이 경우 유클리드정역(Euclidean domain; ED)라 불린다. [29] 여기서, [math(\left|\cdot\right|)]는 norm이라 불리고, 이 성질은 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)이라 한다. 정수의 최대공약수를 구하는 그 알고리듬 맞다. [30] Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38 https://www.jstor.org/stable/2688577 [31] [math(\left(x,y\right)\neq\left(f\right))] [32] [math(6=\left(1+\sqrt {-5}\right)\left(1-\sqrt {-5}\right)=2\cdot 3)]지만, [math(1+\sqrt {-5})], [math(1-\sqrt {-5})], [math(2)], [math(3)]은 모두 기약원이다. [33] Hilbert의 basis theorem에 의해 [34] 두 표현법을 굳이 구분하자면, [math(\leq)]는 부분환을, [math(/)]는 확장환을 강조하는 뉘앙스다. [35] 주로 체의 확장을 다룬다. [36] 사실 [math(\mathbb{Z})] -가군으로 보면 더 쉽다 [37] [math(0\mathbb{Z}\cong0)]인데, 여기서 [math(0)]은 자명환이다. [38] 이 경우 이데알이면서 부분환인 것은 [math(R)] 자기자신밖에 없다는 명제가 성립하다. [39] 때문에, 이때에는 R을 자기자신 위의 가군으로 보았을때 부분가군을 이데알이라 정의한다. [40] [math(x \in M)]일 때, [math(2x = x+x= 2_{R} \cdot x)]임을 보장한다는 것이다. [41] [math(S)]에서의 등식 [math(1_{S}\cdot 1_{S}=1_{S})]와 [math(R)]에서의 등식 [math(1_{S}\cdot 1_{R}=1_{S})]를 이어붙인 뒤 양변에서 [math(1_{S})]를 소거하면 된다. 이는 부분군에서의 증명과 같다. [42] 즉, [math(\left\{S_{\alpha}\right\})]은 [math(R)]의 부분환들 중 일부를 모은 것이다. [43] ideal을 독일식으로 읽은게 이데알, 영어식으로 읽은게 아이디얼이다. [44] 여기서 환은, [math(1)]을 포함하지 않아도 된다. 즉, 정의에 따라 pseudoring에 해당할 수도 있다. [45] [math(xS:=\left\{xs:s\in S\right\})]라 정의한다. [math(Sx)]는 반대방향으로 마찬가지이다. [46] 가환환이면, 좌 이데알과 우 이데알의 구분이 없다. [47] 좌-, 우-, 양쪽- 이데알에 대해 [48] 즉, [math(\left\{I_{\alpha}\right\})]은 [math(R)]의 이데알들 중 일부를 모은 것이다. [49] 책에 따라 <[math(X)]>로 적기도 한다. [50] 이는 정수환에서, 소수 [math(p)]에 대해, [math(p\mid ab)]이면 [math(p\mid a)] 또는 [math(p\mid b)]인 것과 연관지어 생각해 볼 수 있다. 실제로 정수환 [math(\mathbb Z)]의 소 이데알은 [math(p)]가 소수일 때,[math(p\mathbb Z)]들 뿐이다. [51] 이는 정수환에서, 소수 [math(p)]에 대해, [math(\left( p\right)\subset I \subset \mathbb{Z})]이면 [math(I=\left( p\right))]또는 [math(I=\left(1\right)=\mathbb{Z})]인 것과 연관지어 생각해 볼 수 있다. [52] 선택공리와 동치이다. [53] 언뜻 보면, 자연스러운 정의이다. 그러나 잘 정의됨(well-defineness)을 확인해야 한다. 예컨대, 부분환 조건만으로는, [math(\left(a+I\right)=\left(a'+I\right))], [math(\left(b+I\right)=\left(b'+I\right))]이지만, [math(\left(ab\right)+I\neq\left(a'b'\right)+I)]일 수도 있다. 이데알을 정의한 것이, 잘 정의됨을 위한 것이라 생각하면 편하다. [54] 이것이 정수환의 합동식 개념을 확장시킨 것임을 굳이 언급하지 않겠다. [55] 임의의 [math(i\ne j)]에 대해, [math(I_{i}+I_{j}=R)] [56] 정수애서 베주 항등식에 의한다. [57] comaximal [58] 단위원을 갖는 가환환 [math(R)] [59] [math(a_i\mathbb Z)]는 ideal [math(I_i)]에 대응된다 [60] 각 [math(b_i)]는 [math(\mathbb Z/a_i\mathbb Z)]의 원소에 대응된다. 즉, [math(b_i)]의 튜플의 집합은 [math(\prod_i R/I_i)]에 대응한다. [61] 이는 [math(R/\left(\bigcap_i I_i\right))]의 원소에 대응된다.