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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
Lagrange Interpolation라그랑주 보간법(Lagrange interpolation)이란 서로 다른 [math(x_{1},\cdots,x_{n+1})]에 대하여 [math(n+1)]개의 점 [math((x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1}))]이 주어져 있을때, 이 점을 모두 지나는 [math(n)]차 이하의 다항식을 구하는 공식을 말한다. 이름대로 조제프루이 라그랑주가 만들었다.
2. 공식
서로 다른 [math(x_{1},\cdots,x_{n+1})]에 대하여 아래의 다항식
[math(p_{i}(x)=\displaystyle\prod_{j \neq i} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\frac{(x-x_{1})\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_{n+1})}{(x_{i}-x_{1})\cdots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots(x_{i}-x_{n+1})})]
을 라그랑주 기저 다항식이라 한다. 또한
[math(p(x)=y_{1}p_{1}(x)+\cdots+y_{n+1}p_{n+1}(x))]
을 라그랑주 보간 다항식이라 하며, 이 다항식은 점 [math((x_{1},y_{1}),\cdots,(x_{n+1},y_{n+1}))]을 모두 지나는 유일한 [math(n)]차 이하의 다항식이다.3. 선형대수학을 이용한 설명
집합 [math(\mathcal{P}_{n}(F))]을 [math(n)]차 이하의 다항식 집합이라 하자. [math(\mathcal{P}_{n}(F))]가 벡터공간이므로, 쌍대공간 [math(\mathcal{P}_{n}^{*})]가 존재한다. 임의의 자연수[math(i\leq n+1)]에 대하여 선형범함수(linear functional) [math(L_{i}:\mathcal{P}_{n}(F)\to F)]을
[math(L_{i}(p)=p(x_{i}))]
라고 정의하자. [math(L_{1},\cdots,L_{n+1})]이 [math(\mathcal{P}_{n}^{*})]의 기저가 된다는 것은 다음 두 식
[math(L_{j}(p_{i})=p_{i}(x_{j})=0)] for [math(i \neq j)]
[math(L_{i}(p_{i})=p_{i}(x_{i})=1)]
을 만족하는 [math(p_{1},\cdots,p_{n+1}\in \mathcal{P}_{n}(F))]이 존재한다는 것을 보이면 되는데, 그 이유는, 그것이 존재한다면, [math(\{L_{1},\cdots,L_{n+1}\})]이 [math(\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\})]의 쌍대기저가 되기 때문이다. 물론 [math(p_{i})]는 [math(x_{1},\cdots, x_{i-1}, x_{i+1},\cdots,x_{n+1})]을 근으로 가지며, [math(p_{i}(x_{i})=1)]이므로,[math(L_{i}(p_{i})=p_{i}(x_{i})=1)]
[math(p_{i}(x)=\displaystyle\prod_{j \neq i} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}=\frac{(x-x_{1})\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{1})\cdots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots(x_{i}-x_{n})}\in \mathcal{P}_{n}(F))]
임을 쉽게 알 수 있다. 따라서, [math(\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\})]은 [math(\mathcal{P}_{n}(F))]기저이고, 임의의 다항식 [math(p \in \mathcal{P}_{n}(F))]에 대하여,
[math( p(x)=y_{1}p_{1}(x)+\cdots+y_{n+1}p_{n+1}(x))]
인 [math(y_{1} ,\cdots,y_{n+1} )]이 유일하게 존재하는데,
[math( p(x_{i})=\displaystyle\sum_{j \neq i}y_{j}p_{j}(x_{i})+y_{i}p_{i}(x_{i})=y_{i})]
가 성립함을 확인할 수 있다.4. 방데르몽드 행렬과 라그랑주 기저 다항식 간의 관계
서로 다른 [math(x_{1},\cdots,x_{n+1})]에 대하여, 다항식 [math(x^{i})] [math((0\leq i \leq n))]은 점 [math((x_{j},x_{j}^{i}))]를 지나므로, 라그랑주 보간법에 의해
[math( x^{i}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1}x_{j}^{i}p_{j})]
라고 쓸 수 있다. 그런데, [math(\beta=\{1,x,x^{2},\cdots,x^{n}\})]과 [math(\beta^\prime=\{p_{1},\cdots,p_{n+1}\})]이 모두 [math(\mathcal{P}_{n}(F))]의 기저이므로 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)
[math(\begin{pmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots&x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots&x_{2}^{n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n+1}&x_{n+1}^{2}&\cdots&x_{n+1}^{n} \end{pmatrix})]
은 [math(\beta)]에서 [math(\beta^{\prime})]으로의
기저변환행렬이라고 할 수 있다.5. 활용
- 라그랑주 보간법을 사용해서 심프슨의 적분 법칙을 증명할수 있다.