최근 수정 시각 : 2019-01-30 01:38:22

오차함수

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1. 개요2. 정규분포 표준화 함수3. 관련 함수4. 성질


誤差函數 / Error Function

1. 개요

오차함수는 정규분포 적분한 누적분포함수와 같은 형태의 함수로, 초월함수의 한 종류로서 다음과 같이 적분 방정식으로 정의된다.
erf(x)=2π0xet2dt\displaystyle \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt

Error Function을 줄여서 erf라고 쓴다.

2. 정규분포 표준화 함수

ex22dx\displaystyle \int e^{\frac{-x^2}{2}} \, dx[1]는 다음과 같이 구한다.

x=2tx = \sqrt{2} t라 하면 dxdt=2\displaystyle \frac{dx}{dt} = \sqrt{2} ( 치환적분)
ex22dx=2e(2t)22dt=2e2t22dt=2et2dt=π2×2πet2dt=π2erf(t)+C\begin{aligned} \therefore \displaystyle \int e^{\frac{-x^2}{2}} \, dx &= \displaystyle \sqrt{2} \int e^{\frac{-\left(\sqrt{2} t\right)^2}{2}} \, dt \\ &= \displaystyle \sqrt{2} \int e^{\frac{-2t^2}{2}} \, dt \\ &= \displaystyle \sqrt{2} \int e^{-t^2} \, dt \\ &= \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int e^{-t^{2}} \, dt \\ &= \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \mathrm{erf} \left(t\right) + C \end{aligned}
이때 x2=t\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}} = t이므로 π2erf(t)+C=π2erf(x2)+C\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \mathrm{erf} \left(t\right) + C = \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \mathrm{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C

ex22dx=π2erf(x2)+C\displaystyle \therefore \int e^{\frac{-x^2}{2}} \, dx = \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} \mathrm{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C이다.

3. 관련 함수

  • 복소오차함수 (imaginary error function, erfi(x)\mathrm{erfi}(x))
    오차함수 erf(x)\mathrm{erf}(x)xx 대신 ixix를 대입하고 i-i를 곱한 함수로, erfi(x)=ierf(ix)\displaystyle \mathrm{erfi}(x) = -i \mathrm{erf}(ix)와 같이 정의되고 그 값은 2π0xet2dt\displaystyle \displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{t^2} \, dt이다. 함숫값으로 복소수가 나올 것 같은 이름과 달리 xx가 실수이면 mathrmerfi(x)mathrm{erfi}(x)도 실수이다.
간단한 치환적분으로 복소오차함수의 식을 얻을 수 있다.

정의상 erfi(x)=ierf(ix)=2iπ0ixet2dt\displaystyle \mathrm{erfi}(x) = -i \mathrm{erf}(ix) = -\frac{2i}{\sqrt{\pi}} \int_0^{ix} e^{-t^2} \, dt이다.
이때 t=iu=g(u)t = iu = g(u)로 놓고 uu에 대해 미분하면 dtdu=i=g(u)\displaystyle \frac{dt}{du} = i = g'(u)
ierf(ix)=2iπg1(0)g1(ix)e(iu)2idu\displaystyle \therefore -i \mathrm{erf}(ix) = -\frac{2i}{\sqrt{\pi}} \int_{g^{-1}(0)}^{g^{-1}(ix)} e^{-(iu)^2} \cdot i \, du (단, g1(x)g^{-1}(x)g(x)g(x)의 역함수)
이때 새로운 위끝과 아래끝을 각각 α\alpha, β\beta라 하면
  • g(α)=iα=ixα=xg(\alpha) = i \alpha = ix \; \therefore \alpha = x
  • g(β)=iβ=0β=0g(\beta) = i \beta = 0 \; \therefore \beta = 0
2iπg1(0)g1(ix)e(iu)2idu=2iπ0xe(u2)idu=2π0xeu2du\begin{aligned} \displaystyle \therefore -\frac{2i}{\sqrt{\pi}} \int_{g^{-1}(0)}^{g^{-1}(ix)} e^{-(iu)^2} \cdot i \, du &= -\frac{2i}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-(-u^2)} \cdot i \, du \\ &= \displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{u^2} \, du \end{aligned}
마지막으로 문자 uutt로 바꾸면 \displaystyle \boldsymbol{\mathbf{erfi}(x) = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{t^2} \, dt}}}} ||
  • 여오차함수 (complementary error function, erfc(x)\mathrm{erfc}(x))
    1에서 오차함수를 뺀 것과 같다. erfc(x)=1erf(x)\displaystyle \mathrm{erfc}(x) = 1-\mathrm{erf}(x)와 같이 정의한다.
    • 여오차함수 전체를 하나의 적분식 2πxet2dt\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2} \, dt로 표현할 수도 있다.
일단 정규분포 N(a,b2)N(a, b^2)의 확률밀도함수 f(x)=1b2πe(xa)22b2\displaystyle f(x) = \frac{1}{b \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\left(x-a\right)^2}{2b^2}}이고 이 함수가 나타내는 곡선과 xx축 사이의 넓이는 1이다.
이때 a=0a = 0, b=22\displaystyle b = \frac{\sqrt{2}}{2}를 대입하면 f(x)=1πex2\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}가 된다.
확률밀도함수의 성질에 따라 1πex2dx=1\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} \, dx = 1이 성립하므로
erfc(x)=1erf(x)=1πex2dx2π0xet2dt=02πex2dx2π0xet2dt\begin{aligned} \displaystyle \mathrm{erfc}(x) = 1-\mathrm{erf}(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} \, dx-\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt \\ &= \int_0^{\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} \, dx-\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt \end{aligned} [2]
즉, erfc(x)\mathrm{erfc}(x)는 0부터 \infty까지의 적분에서 0부터 xx까지의 적분구간을 제외하는 것이다.
\begin{aligned} \displaystyle \therefore \boldsymbol{\mathbf{erfc}(x)} &= \frac{2}{\sqrt{\pi}} (\int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx-\int_0^x e^{-t^2} \, dt) \\ &\boldsymbol{= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2} \, dt} \end{aligned}
}}} ||
  • 표준 정규 분포 누적 분포 함수 (Φ(x)\Phi(x))
    그래프의 폭과 높이만 바꾸고 평행이동한 것으로, 오차함수와 형태가 같다. Φ(x)=12(1+erf(x2))\displaystyle \Phi(x) = \frac{1}{2} \left(1+\mathrm{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)의 값을 갖는다.

4. 성질

  • 오차함수의 테일러 전개는 다음과 같다.
    erf(z)=2πn=0(1)nz2n+1n!(2n+1)=2π(zz33+z510z742+z9216)\begin{aligned} \displaystyle \mathrm{erf}(z) &= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} \\ &= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}- \cdots \right) \end{aligned}
  • ex2e^{-x^2} 우함수이므로, 이를 부정적분하고 적분상수를 0으로 정한 erf(x)\mathrm{erf}(x) 기함수이다.
  • 모든 복소수 zz에 대해 erf(z)=erf(z)\mathrm{erf}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{erf}(z)}가 성립한다. (단, z\overline{z}zz의 켤레복소수)

[1] 정규분포 N(0,12)N(0, 1^2)의 확률분포함수에 2π\sqrt{2\pi}를 곱한 것이다. [2] ex2e^{-x^2} 우함수이므로 1πex2dx=02πex2dx\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} \, dx = \int_0^{\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} \, dx