최근 수정 시각 : 2018-02-09 17:53:49

오차함수

파일:나무위키+유도.png   차수가 5인 다항함수에 대해서는 다항식 문서를 참조하십시오.
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1. 개요2. 정규분포 표준화 함수3. 관련 함수4. 특성


誤差函數 / Error Function

1. 개요

오차함수는 정규분포를 적분한 누적분포함수와 같은 형태의 함수로, 비초등함수의 한 종류로 다음과 같이 정적분으로 정의된다.
Error Function을 줄여서 erf라고 쓴다.
erf(x)=2π0xet2dt\displaystyle\mathrm{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-{t}^{2}}dt

2. 정규분포 표준화 함수

ex22dx\displaystyle\int e^{\frac{-x^{2}}{2}}dx는 다음과 같이 구한다.
x=2tx=\sqrt{2} t이라고 하면,

dxdt=2\displaystyle\frac{dx}{dt}=\sqrt{2}

2e(2t)22dt\displaystyle\sqrt{2}\int e^{-\frac{\left ( \sqrt{2}t \right )^{2}}{2}}dt

=2e2t22dt\displaystyle=\sqrt{2}\int e^{\frac{-2t^{2}}{2}}dt

=2et2dt\displaystyle=\sqrt{2}\int e^{-t^{2}}dt

=π2×2πet2dt\displaystyle=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int e^{-t^{2}}dt

=π2erf(t)+C\displaystyle=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}erf\left ( t \right )+C

x2=t\displaystyle\frac{x}{\sqrt{2}}=t이므로,

π2erf(x2)+C\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C

3. 관련 함수

  • 복소오차함수(imaginary error function)는 이 문서에서 다루는 함수에 x대신 ixix를 대입한 함수로, erfi라고 줄여쓰고 다음과 같이 정의된다.
대략적으로 다음과 같은 간단한 치환적분 과정을 거친다.
erfi(x)=ierf(ix)=2iπ0ixex2dx\displaystyle \text{erfi}\left ( x \right )=-i\text{erf}\left ( ix \right )=\frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{ix}{e}^{-{x}^{2}}dx
ix=t\displaystyle ix=t
우리는 x=g(t)\displaystyle x=g\left ( t \right )꼴로 만들어야 하므로 위 식에서 양변을 i\displaystyle i로 나누어 주자.
x=ti=g(t)\displaystyle x=\frac{t}{i}=g\left ( t \right )
분모와 분자에 각각 i\displaystyle i를 곱해주자.
x=it1=g(t)\displaystyle x=\frac{it}{-1}=g\left ( t \right )
분모와 분자에 각각 -1을 곱해주자.
x=it1=it=g(t)\displaystyle x=\frac{-it}{1}=-it=g\left ( t \right )
t에 관해서 미분해주자.
i=g(t)=dxdt\displaystyle -i=g'\left ( t \right )=\frac{dx}{dt}
치환적분식에서 나오는 α\displaystyle \alpha β\displaystyle \beta를 구해보자.
원식에서 아랫끝은 0이었고 위끝은 ix\displaystyle ix이었다.새로운 함수 g(t)\displaystyle g\left ( t \right )에서 t에 α\displaystyle \alpha 를 넣어주면 0이 되고 β\displaystyle \beta를 넣어주면 i\displaystyle i가 나온다고 해보면...
g(α)=iα=0\displaystyle g\left ( \alpha \right )=-i \alpha=0
너무나도 간단하다.
α=0\displaystyle \alpha=0이다.
g(β)=iβ=ix\displaystyle g\left ( \beta \right )=-i\beta=ix
β=ixi=x1=x\displaystyle \beta=\frac{ix}{-i}=\frac{x}{-1}=-x
최종적으로...
0x(i)2iπe(ti)2dt\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{-\left (\frac{t}{i} \right )^{2}}dt
0x(i)2iπet21dt\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{\frac{-{t}^{2}}{-1}}dt
0x(i)2iπet21dt\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{\frac{{t}^{2}}{1}}dt
0x(i)2iπet2dt\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{{t}^{2}}dt
그런데 ex2\displaystyle {e}^{{x}^{2}}f(x)=f(x)\displaystyle f\left ( -x \right )=f\left ( x \right )를 만족한다.
따라서
xxf(x)dx=x0f(x)dx+0xf(x)dx=20xf(x)dx\displaystyle \int_{-x}^{x}f\left ( x \right )dx=\int_{-x}^{0}f\left ( x \right )dx+\int_{0}^{x}f\left ( x \right )dx=2\int_{0}^{x}f\left ( x \right )dx
이다.
그런데 곰곰히 생각해보면 두 값을 합한 값이 어느 한 값의 2배라는 것은 두 값이 서로 같다는 것을 의미하므로...
0x(i)2iπet2dt=0x(i)2iπet2dt\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{{t}^{2}}dt=\int_{0}^{x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{{t}^{2}}dt
0x2i(i)πex2dt\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{2i\left ( -i \right )}{\sqrt{\pi}}{e}^{{x}^{2}}dt
0x2i(i)πex2dt\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{-2i\left ( i \right )}{\sqrt{\pi}}{e}^{{x}^{2}}dt
0x2(1)πex2dt\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{-2\left ( -1 \right )}{\sqrt{\pi}}{e}^{{x}^{2}}dt
0x2πet2dt=2π0xet2dt=erfi(x)\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{{t}^{2}}dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt=\text{erfi}\left ( x \right )
  • 여오차함수(complementary error function)는 1에서 오차함수를 뺀 것과 같다.
    erfc(x)=1erf(x)\displaystyle \mathrm{erfc}\left(x\right)=1-\mathrm{erf}\left(x\right)
이를 적분식으로 표현할 수도 있다.
일단 정규분포 N(a,b2)N\left ( a,{b}^{2} \right )를 따를 경우 곡선은 12πb2e(xa)22b2\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}{b}^{2}}{e}^{-\frac{\left ( x-a \right )^{2}}{2{b}^{2}}}이고 이 곡선과 x축 사이의 넓이는 1이다.
위식은 여기서 a에 0을,b=12{b}=\sqrt{\frac{1}{2}}를 대입한 것이다.
1πex2dx=1\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx=1이 성립하고
1πex2dx2π0xex2dx\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}{e}^{-{x}^{2}}dx이다.
02πex2dx2π0xex2dx\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}{e}^{-{x}^{2}}dx이다.
즉 0~무한대 구간까지의 적분에서 0~x까지의 적분구간을 제외하는 것이다.
정적분의 성질에서 a=0,b=x,c=무한대를 대입하면...
02πex2dx=0x2πex2dx+x2πex2dx\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx=\int_{0}^{x}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx+\int_{x}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx
02πex2dx0x2πex2dx=x2πex2dx\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx-\int_{0}^{x}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx=\int_{x}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx
최종적으로는 다음과 같이 표기할 수도 있다.
x2πex2dx=erfc(x)\displaystyle \int_{x}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx=erfc\left ( x \right )

  • 표준 정규 분포의 누적 분포 함수(cumulative distribution function)는 그래프의 폭과 높이만 바꾸고 평행이동한 것으로, 오차함수와 형태가 같다. Φ(x)\displaystyle\Phi\left(x\right)로 표기한다.
    Φ(x)=12(1+erf(x2))\displaystyle\Phi\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)

4. 특성

오차함수를 테일러 전개 하면 다음과 같다.

erf(z)=2πn=0(1)nz2n+1n!(2n+1)=2π(zz33+z510z742+z9216 )\displaystyle\mathrm{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\ \cdots\right)

ex2\displaystyle e^{-x^2} 우함수 이므로, 이를 부정적분하고 적분상수를 0으로 정한 erf(x)\displaystyle\mathrm{erf}\left(x\right) 기함수이다.
모든 복소수에 대해 erf(x)=erf(x)\displaystyle{\mathrm{erf}\left(\overline{x}\right)}=\overline{\mathrm{erf}\left(x\right)}가 성립한다. (단, a\overline{a}aa의 켤레복소수)