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사인곡선

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1. 개요2. 주기 및 형태
2.1. 극대점과 극소점2.2. 사인곡선과 x축 사이의 넓이2.3. 사인곡선의 길이
3. 곡률
3.1. 접촉원
4. 쓰임
4.1. 푸리에 변환4.2. 시뉴소이드 도법
5. 극좌표에서의 사인곡선
5.1. r=sin(nθ)(n은 자연수) 꼴( n-leaved rose)5.2. r=sin(aθ/b)(a, b는 서로소) 꼴5.3. r=k(sinθ+1)(k는 상수) 꼴5.4. 기타
6. 위상수학자의 사인곡선7. 기타8. 관련 문서


Sine curve, Sinusoid / 正弦曲線

1. 개요

사인함수의 그래프. 사인곡선은 좌표평면 위에서 주기적인 모양을 갖는 그래프다.

2. 주기 및 형태

기본적인 형태인 y=sinxy = \sin x의 그래프는 2π를 주기로 하여 함숫값이 -1≤y≤1의 범위에서 변화하며 같은 모양이 반복되는 형태이며, 0≤x≤π의 범위에서는 위로 볼록한 모양, π≤x≤2π의 범위에서는 아래로 볼록한 모양이다. 또한 y=0이 되는 x=nπ 지점에서 기울기의 절댓값이 최대이며, n이 정수일 때 x=2nπ일 때는 증가 폭이 가장 크고 x=(2n+1)π일 때는 감소 폭이 가장 크다. 원점에서 출발하여 "증가 폭이 감소하면서 증가(y: 0 → 1) → 감소 폭이 증가하면서 감소(y: 1 → 0) → 감소 폭이 감소하면서 감소(y: 0 → -1) → 증가 폭이 증가하면서 증가(y: -1 → 0)"의 과정이 반복된다.

하지만 sinx \sin x 의 계수 또는 x의 계수를 1이 아닌 다른 값으로 하면 모양이 달라진다. 사인함수의 식이 y=asinbx+cy = a \sin bx+c로 주어지는 경우, 2π/|b|를 주기로 하여 함숫값이 -a+c≤y≤a+c(단, a≥0인 경우) 또는 a+c≤y≤-a+c(단, a<0인 경우)의 범위에서 변화한다. 사인곡선의 형태를 파동의 모양과 비교하자면, 이 식에서 b가 커질수록 파장은 짧아지고 a가 커질수록 진폭이 큰 형태가 되는 셈이다.
  • 주기 : y=sinxy = \sin x에서 x가 0에서 2π까지 변화하는 것이 한 주기에 해당하므로, 여기에 x 대신 bx를 넣으면 y=sinbxy = \sin bx에서 bx의 값이 0에서 2π까지 변화하는 것이 한 주기에 해당한다. 따라서 x의 값이 0에서 2πb\displaystyle {2 \pi \over b}까지 변화하는 것이 한 주기가 된다. 또한 y=cosxy = \cos x를 π/2만큼 오른쪽으로 옮긴 것과 같다.
  • 최솟값과 최댓값 : a≥0일 때는 sin bx의 값이 1일 때 함숫값이 최대가 되고, -1일 때 최소가 된다. 따라서 y=asinbx+cy = a \sin bx+c의 최솟값은 -a+c, 최댓값은 a+c이다. 반면 a<0일 때는 sin bx의 값이 -1일 때 함숫값이 최대가 되고, 1일 때 최소가 된다. 따라서 y=asinbx+cy = a \sin bx+c의 최솟값은 a+c, 최댓값은 -a+c이다.

코사인 함수를 나타낸 곡선 역시 사인곡선과 형태가 같고, 이는 직교 좌표계와 극좌표계에서 모두 해당한다. 하지만 코사인곡선보다는 사인곡선이라고 많이 부른다.

2.1. 극대점과 극소점

사인곡선은 원점 대칭이기 때문에 원점을 기준으로 극대점과 이에 대응하는 극소점은 서로 반대 위치에 있다.

극대점을 찾기 위해서는 원점에서 양의 방향으로 진행하여 y 값이 최대가 되는 지점을 찾아야 하는데, 사인함수의 식이 y=asinbxy=asin bx(a>0)라면 bx=π/2가 되는 지점, 즉 x=π/2b인 지점에 해당한다. 해당 지점의 y값을 구하면 y=a가 되므로, 원점에서 가장 가까운 극대점의 좌표는 (π/2b, a)가 된다. 또한 사인함수의 주기가 2π/b이므로 극대점의 좌표의 일반식은 ((1+4n)π/2b, a)가 된다. 따라서 극소점의 좌표의 일반식은 (-(1+4n)π/2b, -a)가 된다. 이때 n은 정수이므로 ((4n-1)π/2b, -a)라고 표현할 수도 있다.

예를 들어 y=2sin7xy=2sin 7x의 경우 극대점의 좌표의 일반식은 ((1+4n)π/14, 2), 극소점의 좌표의 일반식은 ((4n-1)π/14, -2)라고 할 수 있다. 원점에 가장 가까운 것부터 나열하면 극대점은 (π/14, 2), (-3π/14, 2), (5π/14, 2), ...이고 극소점은 (-π/14, -2), (3π/14, -2), (-5π/14, -2), ...이다.

2.2. 사인곡선과 x축 사이의 넓이

사인함수의 식이 y=asinbxy=a\sin bx(a>0)인 경우 사인곡선과 x축의 교점 중에는 원점과 (π/b, 0)이 있다. 따라서 0부터 π/b까지 사인함수를 적분하여 다음과 같이 구할 수 있다.

0π/basinbxdx\int^{\pi/b}_{0} a\sin bx dx=[acosbxb]0π/b[\frac {-a\cos bx}{b}]_{0}^{\pi/b}=ab+ab=2ab\frac{a}{b}+\frac{a}{b}=\frac{2a}{b}

사인곡선과 x축 사이의 각 부분의 넓이는 y=sinx와 x축 사이의 경우 위 식을 이용하면 2이다. a가 클수록 사인곡선의 폭이 커지기 때문에 넓어지고, b가 클수록 사인곡선의 주기가 짧아지기 때문에 좁아진다고 생각하면 된다.

2.3. 사인곡선의 길이

사인함수의 식이 y=asinbxy=a\sin bx(a>0)인 경우 원점을 기준으로 x값의 범위를 [0, π/2b], [π/2b, π/b], ... 식으로 π/2b마다 끊으면, 각 구간에 해당하는 모양을 대칭이동시키면 다른 구간의 모양으로 바꿀 수 있으므로 각 모양의 길이가 서로 같다는 점을 이용하여, 다음의 공식을 이용하면 구할 수 있다.
0π/2b1+(dy/dx)2dx\int^{\pi/2b}_{0} \sqrt{1+(dy/dx)^2}dx

이때 y=asinbxy=a\sin bx에서 dy/dx=abcosbxdy/dx=ab\cos bx이고 이것을 대입하면 다음과 같다. 이것이 0≤x≤π/2b(1/4주기)에서의 사인곡선의 길이이다.
0π/2b1+(abcosbx)2dx=0π/2b1+(ab)2cos2bxdx\int^{\pi/2b}_{0} \sqrt{1+(ab\cos bx)^2}dx=\int^{\pi/2b}_{0} \sqrt{1+(ab)^2\cos^2 bx}dx

0≤x≤π/b(1/2주기) 구간에서의 길이를 구하고 싶다면 여기에 2를, 0≤x≤2π/b(1주기) 구간에서의 길이는 4를 곱하면 된다.

3. 곡률

사인곡선의 극소점 또는 극대점에서의 곡률은 사인함수의 주기 및 sinx의 계수에 따라 달라진다. 즉 사인함수의 식이 y=asinbx+cy=a\sin bx+c로 주어질 때 a, b에 의하여 결정되며, 이를 식으로 표현하자면 ab2이다. 예를 들어 y=3sin4x+5y=3\sin 4x+5의 극소점 또는 극대점에서의 곡률은 3×42=48이다. 사인곡선의 극소점 또는 극대점은 모두 서로 대칭적인 형태를 띄고 있기 때문에 극소점 또는 극대점의 위치에 관계없이 모두 서로 같다.

이는 곡률을 k(x)라고 할 때, 다음 식을 통하여 알 수 있다. f(x)=asinbx+cf(x)=a\sin bx+c(a>0)일 때 f(x)=abcosbxf'(x)=ab\cos bx, f(x)=ab2sinbxf''(x)=-ab^2\sin bx이므로 이것을 식에 대입하면 다음과 같다.
k(x)=f(x)[1+(f(x))2]32=ab2sinbx[1+(abcosbx)2]32=ab2sinbx[1+(abcosbx)2]32k(x)=\frac{|f''(x)|}{[1+(f'(x))^2]^\frac{3}{2}}=\frac{|-ab^2\sin bx|}{[1+(ab\cos bx)^2]^\frac{3}{2}}=\frac{ab^2\sin bx}{[1+(ab\cos bx)^2]^\frac{3}{2}}

원점에서 양의 방향으로 가면서 처음으로 만나는 사인곡선의 극대점의 좌표는 (π/2b, a+c)이고 이 좌표를 이 식에 대입하면 다음과 같다. y좌표인 a+c는 식에 대입하지 않으므로 c의 값은 사인곡선의 곡률에 영향을 주지 않음을 알 수 있다. 사실 굳이 계산하지 않더라도, c는 사인 곡선의 평행이동이니까, 곡률에 영향을 줄리가 없다. 곡률의 정의를 봐도 곡선의 길이에 따라 접선 벡터를 미분한 벡터의 절대값이니, 평행이동은 접선 벡터를 구하는 단계에서 사라진다.
ab2sin(π/2)[1+(abcos(π/2))2]32=ab2132=ab2\frac{ab^2\sin (\pi/2)}{[1+(ab\cos (\pi/2))^2]^\frac{3}{2}}=\frac{ab^2}{1^\frac{3}{2}}=ab^2

위 식을 통해서도 알 수 있지만, 가장 기본적인 형태인 y=sinx의 경우 a=b=1로 볼 수 있기 때문에 곡률은 1이다.

3.1. 접촉원

사인곡선의 곡률을 이용하여 극대점 또는 극소점에서의 접촉원의 특성을 파악할 수 있다. 접촉원의 반지름은 1/(곡률)에 해당하므로, 사인함수의 식이 y=asinbx+cy=a\sin bx+c(a>0)일 때 접촉원의 반지름은 1/ab2이다. 또한 접촉원이 사인곡선과 만나는 점이 사인곡선의 극대점 또는 극소점이 되어야 하므로, 접촉원의 중심은 극대점에서 y축의 반대 방향으로 또는 극소점에서 y축 방향으로 1/ab2만큼 떨어져 있어야 한다. 따라서 극대점 ((1+4n)π/2b, a)에서 접하는 경우 ((1+4n)π/2b,a1/ab2(1+4n)\pi/2b, a-1/ab^2), 극소점 (-(1+4n)π/2b, -a)에서 접하는 경우 ((1+4n)π/2b,a+1/ab2-(1+4n)\pi/2b, -a+1/ab^2)가 된다. 예를 들어 y=2sin3xy=2\sin 3x의 경우, 극대점 ((1+4n)π/6, 2)에서 접하는 접촉원의 반지름은 1/18, 중심의 좌표는 ((1+4n)π/6,35/18(1+4n)\pi/6, 35/18)가 된다.

4. 쓰임

수학 이외의 분야에서도 소리나 빛의 파동, 교류전류의 전류, 전압 같은 주기적 현상을 설명하는데 유용하게 쓰인다. 파동을 사인함수 y=asinbx+cy=a\sin bx+c 꼴로 나타낼 때 a는 진폭, b는 주파수에 비례하고 주기에 반비례한다. 사인곡선 형태의 운동을 사인곡선적 운동(sinusoidal motion)이라고 한다.

바이오리듬을 나타내는 곡선도 사인곡선이다.

지리학에서는 세계지도를 그리는 도법에 활용된다. 대표적으로 시뉴소이드 도법과 에케르트 도법(Eckert’s projection)이 있는데, 에케르트 도법은 총 6종류로, 이들 중 2종류가 사인곡선을 활용한다.

4.1. 푸리에 변환

연속하고 부드러운 주기함수(continuous smooth periodic function)는 여러 주파수의 사인 곡선의 합으로 나타낼 수 있다. 이를 이용해 해당 주기함수를 g:x→y 라고 둘 때, 해당 함수를 G:ω→C로 변환할 수 있다. 이때, ω는 각속도 (주파수*2π)이며, C는 복소수다. G의 어떤 입력값 ω에 대해 출력값 C의 절댓값(magnitude)는 해당 주파수를 가지는 사인함수의 진폭(A)을, C의 위상(phase)은 해당 사인함수의 위상차(Phase difference)를 의미한다. 이를 이용해 주어진 주기함수를 푸리에 변환을 통해 복소함수로 나타내면, 특정 주파수의 사인 곡선의 진폭을 바로 얻을 수 있으며, 이는 다양한 연구 분야에 활용된다. 특히 빛은 전자기파이므로, 한꺼번에 여러 주파수의 전자기파를 분석할 때 필수적인 기술이다. 자세한 것은 푸리에 변환 참조.
비슷한 것으로 푸리에 급수가 있다. 푸리에 변환은 무한히 많은 함수의 적분 형태로 나타나는 반면 푸리에 급수는 무한급수 형태로 나타난다.

4.2. 시뉴소이드 도법

Sinusoidal projection , -圖法

세계지도를 그릴 때 경선을 사인곡선 형태로 그리는 방법이다. '사인곡선 도법'이라고도 한다. (적도에서의 위선 길이) : (직선의 중앙 경선 길이) = 2 : 1이고, 지도의 왼쪽 반과 오른쪽 반을 서로 대칭인 사인곡선으로 둘러싸는 형태이다. 이 방법으로 그린 세계지도의 정중앙을 원점으로 하고 오른쪽 끝을 (2, 0), 북극을 (0, 1)로 한다면 x=±2cos(πy2)x=\pm2cos(\frac{\pi y}{2})(-1≤y≤1)의 그래프 형태의 사인곡선이 그려지는데, 이를 굳이 사인함수로 표현하자면 x=±2sin(π(1y)2)x=\pm2sin(\frac{\pi (1-y)}{2})(-1≤y≤1)이다.

사인곡선은 최대값 주변에서는 변화의 폭이 작지만 그 주변으로 갈수록 변화의 폭이 급격히 늘어나므로, 고위도 지역의 경우 매우 심하게 왜곡되는 반면 저위도 지역은 왜곡이 훨씬 덜 되기 때문에 저위도 지역 중심으로 표현하는 데 많이 쓰이고 있다. 또한 가장자리 부분의 경선이나 중앙 경선이 아닌 다른 경선들도 가장자리 부분의 경선처럼 비례를 맞춰야 하기 때문에 사인곡선 형태로 표현되는데, 중앙 경선의 경도를 0º라 할 때 동경이나 서경에 상관없이 경도를 0º에서 180º 사이의 값으로 표현한다면 경도 kº에서는 x=±k180×2sin(π(1y)2)x=\pm\frac{k}{180}\times 2sin(\frac{\pi (1-y)}{2})(-1≤y≤1) 형태의 사인곡선이 된다. 이때 k의 값이 커질수록 사인곡선이 가파르기 때문에 경도가 클수록, 즉 중앙 경선에서 많이 떨어져 있을수록 많이 왜곡된다.

참고로 이 도법을 이용하면 지구가 완전히 구라고 가정할 때, 위도에 관계없이 해당 지역의 위선의 길이를 정확한 비율로 맞출 수 있고, 따라서 넓이의 비율에 맞게 그릴 수 있다. 위도가 θ인 지역을 나타내는 위선에 해당하는 원의 반지름을 r, 지구의 반지름을 R라 하면 r=Rcosθ인데, 시뉴소이드 도법에서는 위도가 0인 지역을 나타내는 위선의 길이를 R라 하면 위도가 θ인 지역을 나타내는 위선의 길이는 Rcosθ가 되기 때문이다.

5. 극좌표에서의 사인곡선

직교 좌표가 아닌 극좌표에서도 사인곡선을 그릴 수 있는데, r=sinnθr=\sin n\theta(n≥2)꼴의 경우 꽃 모양이 되기 때문에 이것을 장미곡선이라 부르기도 한다. 극좌표에서는 반지름(r)을 해당 '방향'이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기(θ)에 대한 함수로 보기 때문에 평면좌표와는 확연히 다른 모양의 곡선으로 나타난다. 또한 평면좌표에서의 사인함수 y=asinbx+cy=a\sin bx+c에서의 상수 c와 달리 극좌표에서의 사인함수 r=sinθ+kr=\sin\theta+k에서의 상수 k는 곡선의 모양을 변화시킨다. 또한 함수식을 r=a(sinθ+k)r=a(\sin\theta+k)(a, k는 상수)라 하면 a는 모양에는 영향을 주지 않고 크기에만 영향을 주며, 반지름 r은 a에 비례하여 커진다.

5.1. r=sin(nθ)(n은 자연수) 꼴( n-leaved rose)[1]

  • r=sinθ 꼴의 곡선은 원 모양에 해당한다. 평면좌표에서의 x, y좌표와 극좌표에서의 r, θ의 관계는 x=r\cosθ, y=r\sinθ인데, r=\sinθ의 양변에 r을 곱하면 r2=r\sinθ이 되고, x2+y2=r2이므로 이 식은 x2+y2=y로 변형되며, 다시 정리하면 x2+(y-0.5)2=0.25가 되어 중심이 (0, 0.5)이고 반지름이 0.5인 원이 된다.
  • r=sin(nθ)r=\sin (n\theta)(n은 짝수, n≥2) 꼴의 곡선은 x축과 y축, 원점 대칭이며 잎이 2n개인 꽃 모양이 되는데, 0≤θ≤2π의 구간을 2n등분한 각 구간의 중심부가 꽃잎의 가장 바깥쪽에 해당하고 각 구간의 경계 부분이 꽃잎의 가장 안쪽에 해당한다. 예를 들어 r=sin6θr=\sin6\theta의 경우 잎이 12개인 꽃 모양이 되고, 0≤θ≤2π의 구간을 12등분한 각 구간(0≤θ≤π/6, π/6≤θ≤π/3, ...)의 중심부에 해당하는 r=π/12, r=π/4, ... 등이 꽃잎의 가장 바깥쪽이고, 경계 부분에 해당하는 r=0, r=π/6, ... 등이 가장 안쪽에 해당한다.
    • 예를 들어 r=sin2θ의 경우 θ에 따라 점을 찍어서 곡선의 모양을 추정해 보면 다음과 같다. 0≤θ≤π/2에서는 r의 값이 +이기 때문에 제1사분면에 하나의 잎이 그려지고, π/2≤θ≤π에서는 r의 값이 -이기 때문에 제2사분면의 반대 방향에 있는 제4분면에 잎이 하나 그려진다. 같은 방법으로 계속해 나가면 제3사분면, 제2사분면 순서로 잎이 하나씩 그려진다는 것을 알 수 있다.
θ r=sin2θ 점의 좌표(r, θ) 잎이 그려지는 위치
0 0 (0, 0)
π/8 \sqrt{2}</math>/2 (\sqrt{2}</math>/2, π/8) 제1사분면
π/4 1 1, π/4)
3π/8 \sqrt{2}</math>/2 (\sqrt{2}</math>/2, 3π/8)
π/2 0 (0, π/2)
5π/8 -\sqrt{2}</math>/2 (-\sqrt{2}</math>/2, 5π/8) 제4사분면
3π/4 -1 (-1, 3π/4)
7π/8 -\sqrt{2}</math>/2 (-\sqrt{2}</math>/2, 7π/8)
π 0 (0, π)
  • r=sin(nθ)r=\sin (n\theta)(n은 홀수, n≥3) 꼴의 곡선은 잎이 n개인 꽃 모양이 되는데, y축 대칭인 형태이다. r=sin(4n+1)θr=\sin (4n+1)\theta(n은 정수) 꼴의 경우 θ=π/2가, r=sin(4n+3)θr=sin (4n+3)\theta(n은 정수) 꼴의 경우 θ=3π/2가 한 꽃잎의 가장 바깥쪽에 해당한다. 실제로 각각의 식에 θ=π/2, θ=3π/2를 대입하면 r의 값이 최댓값인 1이 됨을 알 수 있다.
    • 예를 들어 r=sin3θ의 경우, 0≤θ≤2π의 구간 중 0≤θ≤π/3, 2π/3≤θ≤π, 4π/3≤θ≤5π3에서는 +의 값을 갖고, 나머지 구간에서는 -의 값을 갖는다. 따라서 제1사분면 → 제2사분면 → ...의 순서로 그려지지 않고 도중에 제3사분면과 제4사분면을 지나는 잎 모양(π/3≤θ≤2π/3, 각에 해당하는 사분면은 제1, 2사분면이지만 -의 값을 가지므로 사분면이 반대가 된다.)을 그린 후 제2사분면에 포함되는 잎 모양을 그리게 된다. θ의 값에 따라 실제로 그려 보면 0≤θ≤π까지 그린 부분을 π≤θ≤2π 부분을 그릴 때 중복하여 그리게 된다.

5.2. r=sin(aθ/b)(a, b는 서로소) 꼴

이 경우에는 잎이 서로 겹치는 복잡한 모양이 그려지며, 잎의 개수는 2a개이고 b가 클수록 원 모양에 가까워지는 형태이다. 그래프를 θ의 변화를 기준으로 보면 같은 모양이 잎의 개수만큼 반복되는 모습을 볼 수 있다. 이들 중 간단한 편에 속하는 r=sin(3θ/2)의 그래프도 잎이 6개이며 잎이 최대 2개 겹치는 복잡한 형태로, θ의 변화에 따라 점을 찍어서 그래프의 모양을 추측해 보면 전체적으로는 시계 반대 방향으로 이동하지만 제1사분면 → 제2사분면 → 제4사분면 → 제1사분면으로 이동하는 등 상당히 복잡하게 이동함을 알 수 있다. 이러한 꼴의 경우 θ=0일 때와 θ=2π일 때의 r의 값이 서로 다르고, 극좌표에서 점(r, θ)의 위치는 r과 θ의 값 모두에 의해 변화하기 때문에 0≤θ≤2π의 구간을 그려도 곡선이 완전히 그려지지 않는 경우가 많은데, 예를 들어 r=sin(5θ/3)의 경우에는 0≤θ≤3π의 구간에 대하여 그래프를 그려야 완전히 그려진다. b가 홀수일 때는 0≤θ≤bπ, 짝수일 때는 0≤θ≤2bπ의 구간을 그려야 한다.

r=sin(θ/n)r=sin(\theta/n)(n≥2인 자연수)의 곡선은 n이 커질수록 복잡한 모양이 되는데, n이 짝수일 때는 x축과 y축 대칭이 되며, 홀수일 때는 y축 대칭만 된다. n이 4 이상이라면 홀수인지 짝수인지에 상관없이 r=sin(θ/n)r=sin(\theta/n)의 곡선의 안쪽에는 r=sin(θ/(n2))r=sin(\theta/(n-2))의 곡선과 비슷한 모양이 있고 바깥쪽을 원과 비슷한 모양이 둘러싸고 있는 듯한 형태가 되는데, n이 짝수이면 원점에서 2개의 폐곡선이 접하는 듯한 모양이며 홀수이면 하트에 가까운 모양이다. 또한 θ/n이 0부터 2π까지 변화하는 것이 한 주기이므로 곡선을 다 그리려면 0≤θ≤2nπ까지 그려야 한다.

참고로 r=sin(θ/2)r=sin(\theta/2)의 그래프의 모양을 θ에 따라 점을 찍어 분석하자면 다음과 같다.
  • θ=0일 때 r=0으로 원점을 지나며, 이후 θ가 커짐에 따라 제1사분면에 그려진다.
  • θ=π/2일 때 r=sin(π/4)이므로 직교 좌표계상의 (0, 2/2\sqrt{2}/2)에 점이 찍힌다. 그 이후 제2사분면에 그려진다.
  • θ=π일 때 r=1이므로 직교 좌표계상의 (-1, 0)에 점이 찍힌다. 그 이후 제3사분면, 제4사분면으로 이동하며 θ=2π일 때 다시 원점에 온다. 0<θ<2π일 때 r의 값이 양수가 되므로 사분면 순서대로 이동하는 것이다. 그 이후 2π≤θ≤4π 구간에서는 0≤θ≤2π일 때의 모양과 좌우 대칭되는 모양을 그리게 된다.

5.3. r=k(sinθ+1)(k는 상수) 꼴

y축 대칭 형태로, 직교 평면좌표 기준으로 원점과 (±k, 0), (0, 2k)의 점을 지난다. 실제로 점을 찍어 보면 하트 모양을 뒤집은 것과 비슷한 모양이 나온다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 k=1일 때 r=sinθ+1의 그래프의 형태를 점을 찍어 추측해 보면 대략 다음과 같다.
θ r=sinθ+1 점의 좌표(r, θ) 그려지는 위치 또는 점의 좌표(x, y)
0 1 (1, 0) (1, 0)
π/6 1.5 (1.5, π/6) 제1사분면
π/3 1+\sqrt{3}</math>/2 (1+\sqrt{3}</math>/2, π/3)
π/2 2 (2, π/2) (0, 2)
2π/3 1+\sqrt{3}</math>/2 (1+\sqrt{3}</math>/2, 2π/3) 제2사분면
5π/6 1.5 (1.5, 5π/6)
π 1 (1, π) (-1, 0)
7π/6 0.5 (0.5, 7π/6) 제3사분면
4π/3 1-\sqrt{3}</math>/2 (1-\sqrt{3}</math>/2, 4π/3)
3π/2 0 (0, 3π/2) (0, 0)
5π/3 1-\sqrt{3}</math>/2 (1-\sqrt{3}</math>/2, 5π/3) 제4사분면
11π/6 0.5 (0.5, 11π/6)
1 (1, 0) (1, 0)

표를 보면 사분면 순서대로 그려지는 것을 알 수 있는데, 이는 r=sinθ+1의 값이 항상 0보다 크거나 같기 때문이다.

5.4. 기타

  • r=k(sinθ+a)(k는 상수, a는 0<a<1인 상수) 꼴 : 폐곡선 안에 폐곡선이 있는 y축 대칭 형태로, 직교 평면좌표 기준으로 원점(sinθ+a=0일 때 r=0이 되므로 θ의 값에 상관없이 반드시 지난다)과 θ=0 또는 θ=π일 때 (±ak, 0), θ=π/2일 때 (0, k(1+a))을 지난다. 예를 들어 r=sinθ+0.5는 θ=0, θ=π/2, θ=π일 때 각각 (0.5, 0), (0, 1.5), (-0.5, 0)을 지나고, sinθ=-0.5, 즉 θ=4π/3 또는 θ=5π/3일 때 원점을 지난다.
  • r=k(sinθ+a)(k는 상수, a는 a>1인 상수) 꼴 : 원점을 지나지 않고, a가 클수록 원에 가까운 형태이다. 직교 좌표계 기준으로 y축의 반대 방향이 약간 찌그러진 형태이다.
  • r=k(sinθ+a)r=k(sin\theta+a)(a, k는 상수)의 곡선의 형태는 r=k(sinθa)r=k(sin\theta-a)의 그것과 같다(단, θ의 범위는 0≤θ≤2π). 즉 위 두 식에서 +a를 -a로 치환해도 곡선의 형태가 변하지 않는다는 것이다. 이는 ①k(sinθ+a)=k(sinθa)k(sin\theta+a)=-k(-sin\theta-a)=②k(sin(π+θ)a)-k(sin(\pi+\theta)-a)이므로, 전자의 곡선에서 각이 θ일 때 찍히는 점의 위치가 후자에서 각이 θ+π일 때 찍히는 점의 위치와 같기 때문이다. ①과 ②에서 각이 서로 반대 방향이지만 부호가 서로 반대이기 때문에 극좌표상에서 점이 찍히는 위치는 서로 같다.
    • 예를 들어 r=(sinθ+1)r=(sin\theta+1)r=(sinθ1)r=(sin\theta-1)의 두 곡선의 모양은 같은데, 전자에서 θ=π/6일 때 r=1.5이고, 후자에서 θ=7π/6일 때 r=-1.5이다. 반지름의 부호와 각이 모두 서로 반대이므로 점이 찍히는 위치는 서로 같다.
  • r=sin(nθ)+1r=sin(n\theta)+1(n≥2)의 곡선은 상술한 r=sin(nθ)r=sin(n\theta)처럼 꽃 모양이 되는데, 그것과 달리 n이 짝수인지 홀수인지의 여부에 상관없이 꽃잎이 n개이다. n이 짝수일 때는 원점 대칭이고, 홀수일 때는 y축 대칭이다.
    • n이 홀수일 때, r=sin(nθ)+1r=sin(n\theta)+1r=sin(nθ)1r=sin(n\theta)-1의 형태는 서로 같다. 상술한 ※ 부분의 내용을 여기에 적용시키면 그 이유를 알 수 있다.
    • n이 짝수일 때, r=sin(nθ)+1r=sin(n\theta)+1r=sin(nθ)1r=sin(n\theta)-1은 서로 좌우 대칭이다.
  • r=sin(nθ)+kr=sin(n\theta)+k(k>1인 상수, n≥2)의 곡선은 원점을 지나지 않고 잎이 n개인 모양이다. k가 커질수록 원에 가까워진다.

6. 위상수학자의 사인곡선

topologist’s sine curve

y=sin1x(1x<0,0<x1)y=sin\frac{1}{x}(-1\leq x<0, 0<x\leq 1)라는 식으로 정의되는 함수로, 0으로 갈수록 주기가 짧아지는 특성을 보인다. 참고로 이 식의 x→0으로의 극한과 x=0일 때의 함숫값은 정의되지 않는다.

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7. 기타

  • 인생을 사인곡선에 비유하는 경우가 있다. 사인곡선의 값이 주기적으로 최대와 최소를 오가며 변화하는 것처럼 사람의 인생도 변화한다는 뜻이다. 새옹지마와 뜻이 통한다고 할 수 있다.
  • 사인곡선과 유사한 형태로 변화하는 것을 사인곡선에 비유하기도 하는데, 일출-일몰 시간의 변화를 예로 들 수 있다.
  • 반원을 나타내는 곡선과 사인곡선을 크게 구분하지 않는 경우가 있는데, 이 둘은 서로 엄연히 다르다. 최댓값 부분에서의 기울기는 둘 다 0이지만, 반원의 경우 끝부분에서의 기울기가 무한대에 수렴하는 반면 사인곡선은 유한하다.
  • 사인곡선과 포물선도 서로 다르다. 위로 볼록한 모양의 사인곡선과 포물선의 일부분(0≤x≤2에서 각각 y=sinπxy=sin\pi x, y=(x1)2+1y=-(x-1)^2+1)을 생각하면 되는데, 둘 다 원점과 (2, 0)에서 기울기가 유한하고 (1, 1)에서 기울기가 0이라는 점은 같지만, 원점에서의 기울기는 사인곡선은 π/2, 포물선은 2이다. 사인곡선의 y=sinx의 원점에서의 기울기가 1이고 y=sinπxy=sin\pi x는 이것을 가로 방향으로 2/π배 한 것이므로 기울기는 π/2배가 된다.
언어별 명칭
일본어 せいげんきょくせん(正弦曲線), サインカーブ
중국어 zhèngxián qūxiàn(正弦曲线)
프랑스어 sinusoïde
베트남어 đường cong hình sin

8. 관련 문서



[1] Stewert 미분적분학 원서에는 실제로 기재된 영어명이다.