마방진

이산수학 Discrete Mathematics
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4	9	2
3	5	7
8	1	6
3×3 마방진의 예

1. 역사2. 특징

2.1. 홀수 차수 마방진2.2. 짝수 차수 마방진

2.2.1. [math(2^{n}\times 2^{n})] 차수 마방진2.2.2. 그 외 짝수차 마방진

2.3. 성질2.4. 특이 형태2.5. 변형

3. 사토르 마방진

3.1. 만드는 법

4. 참고

魔方陣 / magic square

1. 역사

마방진의 기원은 분명하지는 않으나 약 3000년 전 중국의 우(禹)나라의 우왕이 강의 치수공사를 하던 중에 물 속에서 나온 거북이 등에 있는 무늬(하도낙서)를 보고 처음으로 생각해 내었다고 한다. 그 후 마방진은 신비한 전설과 같이 인도, 페르시아, 아라비아 상인들에 의해 서아시아, 남아시아, 유럽으로 전해졌다. n²개의 수를 n × n 사각형에 가로 세로 대각선의 합이 같도록 배열한 것. 수학의 요소임에도 불구하고 이름에 '魔'나 'magic'이란 글자가 있는 등 오컬트의 성격이 남아 있는데, 이는 과거에는 마방진을 신비한 힘이 깃들어 있는 부적처럼 여겼기 때문이다. 현재도 오컬트적인 탈리스만을 만들때 마방진을 사용한다.[1]

2. 특징

보통은 1부터 n²까지 채운 것을 말한다. 넓은 의미로는 수를 특정한 모양으로 배열해서 정해진 단위의 합이 일정한 것.

2.1. 홀수 차수 마방진

홀수 마방진의 경우 대각선으로 숫자를 써가면서 다 채운 다음에 상하좌우에 튀어나온 숫자들을 반대편으로 넘기면 끝난다. 드라마 뿌리깊은 나무에서 어린 이도가 이걸 스스로 찾아내는 장면이 나온다.

		9
	8	1	6
7	3	5	7	3
	4	9	2
		1

2.2. 짝수 차수 마방진

짝수 마방진의 경우는 4×4의 경우와 이를 응용한 8×8(12x12, 16x16 등 4의 배수라면 동일한 방법으로 가능하다.)

2.2.1. [math(2^{n}\times 2^{n})] 차수 마방진

이 경우 [math(2^{n}\times 2^{n})](단, [math(n\geq 2)]) 매우 쉽게 만들어 진다.
2진법 표기를 응용하는데, 1에서 시작하여, 다음 점화식을 거치게 된다.
(1). [math(a_1)]=1
(2). [math(n)]번째 단계를 [math(a_n)]이라 할 때, [math(a_{n+1}=a_{n}\times 2^{\lceil\log_{2}{a_n}\rceil}+b_{n})]([math(b_n)]은 [math(a_n)]의 1의 보수[2])[3]
이 과정을 반복하면 다음과 같이 된다.
[math(a_1=1)]
[math(a_2=10)]
[math(a_3=1001)]
[math(a_4=1001\quad0110)]
[math(a_5=1001\quad0110\quad0110\quad1001)]
[math(a_6=1001\quad0110\quad0110\quad1001\quad0110\quad1001\quad1001\quad0110)] 식으로 전개된다.
이 중에서 [math(a_{2k+1})](단, [math(k \geq 2)])를 택하면 된다.

여기서 [math(a_{2k+1})]순열을 이용해서 [math(2^{k}\times 2^{k})] 마방진을 만들면 다음과 같다. 아래는 [math(a_5)]와 4×4를 예시로 들었다.
1) 먼저, 4×4 칸에 [math(a_5)]을 한 칸에 1자리씩 적어넣는다. [math(a_{2k+1})]를 택했다면 [math(2^{k}\times 2^{k})] 칸을 택하면 된다.

1	0	0	1
0	1	1	0
0	1	1	0
1	0	0	1

2) 그 후, 1부터 16까지를 칸에 맞춰 적어넣는다. 단, 1)에서 적은 수가 0일 경우는 생략한다. [math(a_{2k+1})]를 택했다면 1~[math(2^{2k})]를 적어넣으면 된다.

1¹	0	0	1⁴
0	1⁶	1⁷	0
0	1¹⁰	1¹¹	0
1¹³	0	0	1¹⁶

3) 이제 16에서 1까지를 칸에 맞춰 적어넣는다. 단 2)에서 숫자를 적어넣었을 경우는 생략한다. [math(a_{2k+1})]를 택했다면 [math(2^{2k})]~1을 적어넣으면 된다.

1¹	0¹⁵	0¹⁴	1⁴
0¹²	1⁶	1⁷	0⁹
0⁸	1¹⁰	1¹¹	0⁵
1¹³	0³	0²	1¹⁶

4) 1)에서 적어넣은 1과 0을 지운다. 이로서 완성.

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

2.2.2. 그 외 짝수차 마방진

a×a차 마방진과 b×b차 마방진의 구성을 알고 있을 때, ab×ab차 마방진은 a차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식과 b차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식으로 만들어질 수 있다.
예를 들어서 12×12차 마방진의 경우, 12=3×4이므로 다음 두가지 구성이 만들어진다.

3×3차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식
1			15			14			4
8	1	6	134	127	132	125	118	123	35	28	33
3	5	7	129	131	133	120	122	124	30	32	34
4	9	2	130	135	128	121	126	119	31	36	29
12			6			7			9
107	100	105	53	46	51	62	55	60	80	73	78
102	104	106	48	50	52	57	59	61	75	77	79
103	108	101	49	54	47	58	63	56	76	81	74
8			10			11			5
71	64	69	89	82	87	98	91	96	44	37	42
66	68	70	84	86	88	93	95	97	39	41	43
67	72	65	85	90	83	94	99	92	40	45	38
13			3			2			16
116	109	114	26	19	24	17	10	15	143	136	141
111	113	115	21	23	25	12	14	16	138	140	142
112	117	110	22	27	20	13	18	11	139	144	137
4×4차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식
8				1				6
113	127	126	116	1	15	14	4	81	95	94	84
124	118	119	121	12	6	7	9	92	86	87	89
120	122	123	117	8	10	11	5	88	90	91	85
125	115	114	128	13	3	2	16	93	83	82	96
3				5				7
33	47	46	36	65	79	78	68	97	111	110	100
44	38	39	41	76	70	71	73	108	102	103	105
40	42	43	37	72	74	75	69	104	106	107	101
45	35	34	48	77	67	66	80	109	99	98	112
4				9				2
49	63	62	52	129	143	142	132	17	31	30	20
60	54	55	57	140	134	135	137	28	22	23	25
56	58	59	53	136	138	139	133	24	26	27	21
61	51	50	64	141	131	130	144	29	19	18	32

다만 문제는 응용으로 만드는게 불가능한 6×6, 14×14 등의 짝수 마방진은 생각보다 만들기 상당히 까다롭다.
아래는 6×6 마방진.

32	29	4	1	24	21
30	31	2	3	22	23
12	9	17	20	28	25
10	11	18	19	26	27
13	16	36	33	5	8
14	15	34	35	6	7

2.3. 성질

1×1 마방진은 1개가 존재하지만 2×2 마방진은 존재하지 않는다. 회전과 대칭을 고려하면 3×3 마방진은 1개가 존재하고 4×4 마방진은 880개가 존재한다. 5×5 마방진은 275,305,224개가 존재한다는 사실을 1973년에 수학자 리처드 슈뢰펠(Richard Schroeppel)이 알아내었다.

2.4. 특이 형태

가로세로줄을 떼어 반대편에 붙여도 마방진이 되는 범마방진이 있다.

소수로만 이루어진 마방진도 있다.(3×3)

17	113	47
89	59	29
71	5	101

한 마방진에 들어있는 숫자들의 영어 스펠링 갯수를 다시 숫자로 써도 성립하는 마방진이 있다. 이를 알파마방진(alphamagic square)이라고 한다.

< 문제적 남자>에서 이 알파마방진에 대한 문제가 나왔는데, 원래는 정해진 규칙을 찾아 숫자 마방진 2개를 채우는 문제였으나 오현민이 스펠링 규칙과 상관없이 마방진의 필연적 특성인 등차수열, 그리고 마방진 내 숫자들의 대소관계만으로 두 마방진을 정확히 채워서 '제작진의 의도와 다른 풀이지만 정답으로 인정받는' 사태가 일어나기도 했다. 이후 원래 규칙을 알아내는 것을 다시 문제로 출제해서 주우재가 알아내며 알파마방진의 신비로운 규칙도 성공적으로 방송을 탔다.

2	two(3글자)
5	five(4글자)
8	eight(5글자)
12	twelve(6글자)
15	fifteen(7글자)
18	eighteen(8글자)
22	twentytwo(9글자)
25	twentyfive(10글자)
28	twentyeight(11글자)
대소관계가 일치하여 15를 중심으로 배치하면 어떻게 해도 마방진이 된다. 물론 알파마방진 자체는 대소관계와는 상관없지만.

의외로 알파마방진은 하나만 있는 것이 아니다. 한 컴퓨터 공학자는 2017년에 알파마방진이 이중으로 적용되는 예를 발견하기도 했다.

2.5. 변형

넓은 의미의 마방진으로 육각형 거북이 등껍질처럼 배열한 지수귀문도 ( 영의정을 여러 차례 지낸 최석정이 처음 고안), 입체마방진(매직 큐브), 별모양의 매직 스타, 육각형 격자에 육각형 안에 숫자를 채운 매직 헥사곤 등이 있다. 사실 사각형이 아니기 때문에 마법진으로 구분하기도 한다.

스도쿠는 마방진과 비슷한 라틴방진(Latin Square)에서 아이디어를 얻은 숫자 퍼즐 게임이다. 라틴방진이란 n × n의 사각형의 가로세로 각 줄에 1부터 n까지의 숫자가 한 번씩만 나오도록 배열한 것이다. 라틴방진은 레온하르트 오일러가 연구했기 때문에 오일러방진으로도 불린다.

3. 사토르 마방진

'사토르 마방진'이라는 것도 있으며, 이것은 수학이 아닌 언어와 관련된 것이다. 가로쓰기로 읽을 때와 세로쓰기로 읽을 때가 똑같은 단어 집합들을 이르는데, 우리가 흔히 알고 있는 '개똥아 똥쌌니 아니요'[4]가 예시이다. 여기서 가로쓰기는 좌횡서, 세로쓰기는 좌종서로 쓰는 게 일반적이다.

S	A	T	O	R
A	R	E	P	O
T	E	N	E	T
O	P	E	R	A
R	O	T	A	S

사토르 마방진이라는 이름은 Sator Arepo Tenet Opera Rotas라는 라틴어 문장에서 유래했으며, 이는 가로로 읽으나 세로로 읽으나 똑같이 읽히기도 하지만 거꾸로 읽어도 역시 같다. 즉, 회문이다.

Sator: 씨 뿌리는 사람, 창조자
Arepo: 의미불상. 마방진에 맞춰 만들어진 고유명사로 해석함. 혹은 소수의견으로 이집트 상형문자에서 파생한 단어로 여김.
Tenet: ←teneo. 잡다, 견지하다, 도달하다.
Opera: 일, 공적 활동, 보살핌.
Rotas: ←rota. 바퀴, 녹로, 형차.

해석을 두고 설이 많으나 대략 "농부 아레포가 바퀴를 굴리는 일(=밭을 가는 일)을 하는 것"으로 해석한다. 폼페이 유적에서 발견된 것이 가장 오래된 것이며 1세기 경에 이미 성립된 것으로 추측된다.

다른 유력한 해석으로, 위의 표를 아나그램으로 재배열하면 다음과 같은 모양이 된다.

A					P	O
					A
					T
					E
					R
P	A	T	E	R	N	O	S	T	E	R
O					O	A
					S
					T
					E
					R

A와 O는 그리스 문자의 알파(Α)와 오메가(Ω)의 라틴 문자이며, 십자가 모양으로 배열된 Pater noster는 주님의 기도의 라틴어 첫 구절이다. 이를 토대로 이 표식이 기독교도를 표현하는 암호였다는 해석이 있다.

크리스토퍼 놀란 감독의 영화 < 테넷>이 이 사토르 마방진에서 일부 용어를 따왔다. 영화 제목인 테넷, 주연급 악역인 사토르, 영화의 오프닝 무대였던 오페라 극장, 미술품 위작을 그린 아레포, 프리포트를 만든 회사인 로타스까지 사토르 마방진의 5개 요소를 모두 사용하였다. 상술한 폼페이 또한 영화 내 장소로 쓰인다.

※ 기타 예시 작성시 의미가 통하는 문장이거나 단어 간의 수식ㆍ설명ㆍ인과 등의 밀접한 관계가 있어야 한다. 특히 연관 없는 고유 인명의 나열은 피하자.

금강산 강원도 산도적	개똥아 똥쌌니 아니요	곰돌아 돌았니 아니요	라팔아 팔렸니 아니요	김정은 정당성 은 성립
불고기 고추장 기장떡	개죽아 죽었니 아니요	거북아 북치니 아니요	강서구 서민들 구들장	작성자 성기를 자를까
귀신은 신발이 은이니	아란아 란마니 아니요	장하군 하남의 군의관	라팔아 팔렸다 아다행	레앙아 앙리니 아니요	공돌아 돌았니 아니요

4×4 사토르 마방진

문화방송
화상통신
방통위가
송신가능

널지운다
지운다음
운다맨날
다음날도

조선일보
선동하면
일하시다
보면다침

꽃이피고나비가날아가지
이파리로만든악기다시금
피리리불어보고는그리도
고로불고이이운나일까바
나만어이뭐든하는지울라
비든보이든지오내울음보
가악고운하오라마음이면
날기는나는내마음이난날
아다그일지울음이난다아
가시리까울음이난다는가
지금도바라보면날아가지

- 이길수, <내 안의 퍼즐>

내쉰 한숨 한 줄기조차
쉰 살의 결단, 기억인가.
한의원의 계단에서 운
숨결의 혼 더 단단하게
한 단계 더 성장 지나, 참,
줄기 단단, 장미 꽃송이
기억에 단지 꽃 핀 신에,
조인서 하나 송신했지.
차가운 게 참 이에 지네.

- 헌옷수거함, <아홉수의 마방진>

생각보다 무서워서,
각오는 날리는 낙화,
보는 이가 한 명가에
다 날 가두고, 문득 난
무리한 고생 멈추고
서는 명문 멈칫하여,
워낙 가득 추하게 간
서화에 난 고여간다.
.
.
.
가제 : 여덟수의 마방진

- 헌옷수거함, <절필>

별빛이 쏟아진 밤 울어볼까,
빛나게 아름다워 어찌 품지?

이게 꺼진다면 낙천은 없고,
쏟아진 행운도 고사하고서
아름다운 해와 달빛 수없이
진다면 도와, 슬픈 날 보는 널,

밤, 워낙 고달픈 실수다 전부.
울어, 천사 빛날 수 있게, 더러
어찌 은하수보다 게을러진,
볼품없고 없는 전 더러웁고,
까지고서 이 널부러진 고독,

인 걸까요?

- 헌옷수거함, <별빛과 고독의 마방진>

이젠 잘 지내시나요.

젠장할 우리의 그 맘
잘할 거라며 웃을 때,

지우라던 마음 리본
내리며 마주 보던 눈,

시의 웃음보다 맘이...

나 그을리던 맘 접어
요맘때, 본 눈이어서
.
.
.
가제 : 여덟수의 마방진

- 헌옷수거함, <이젠 잘 지내시나요.>

3.1. 만드는 법

A	B	C
B	D	E
C	E	F

A, B, C, D, E, F에 대입해서 말이 되게 만들면 된다. ~~말이 쉽지~~

위의 예를 이용하자면

A	B	아
B	C	니
아	니	요

A, B를 넣은 뒤 C를 넣으면 된다.

개	똥	아
똥	쌌	니
아	니	요

곰	돌	아
돌	았	니
아	니	요

너	굴	아
굴	팠	니
아	니	요

라	팔	아
팔	렸	니
아	니	요

4. 참고

리브레 위키의 마방진 문서

[1] 여담으로 일본어로는 마법진과 발음이 같아서 일본 서브컬처에서도 종종 언급된다. [2] 2진법 숫자의 1과 0을 모조리 바꾸는 과정을 의미한다. 예를 들어서 1101의 보수는 0010이 된다. 실제로는 1101을 0000 1101로 봐서 1111 0010으로 만들어야 하지만, 여기서는 자리수는 무시. [3] 말은 어렵게 설명했지만, 실상은 전 단계의 수를 써 넣은 뒤, 전 단계의 수를 1과 0을 서로 바꿔서 뒤에 이어서 쓰면 된다. [4] 보통 뭔가가 아니라는 내용의 사토르 마방진은 '아니오'라고 알려져있는 경우가 더 많으나, '아니오'라고 하면 하오체가 되며, 흔히 쓰는 해요체에서는 '아니요'라고 해야 옳다. 어차피 '아니오'든 '아니요'든 사토르 마방진이 되는 데는 전혀 문제가 없기 때문에 혼용되고 있다. 이 문서에는 '아니요'로 통일했다.

32	29	4	1	24	21
30	31	2	3	22	23
12	9	17	20	28	25
10	11	18	19	26	27
13	16	36	33	5	8
14	15	34	35	6	7

32	29	4	1	24	21
30	31	2	3	22	23
12	9	17	20	28	25
10	11	18	19	26	27
13	16	36	33	5	8
14	15	34	35	6	7

마방진

1. 역사

2. 특징

2.1. 홀수 차수 마방진

2.2. 짝수 차수 마방진

2.2.1. [math(2^{n}\times 2^{n})] 차수 마방진

2.2.2. 그 외 짝수차 마방진

2.3. 성질

2.4. 특이 형태

2.5. 변형

3. 사토르 마방진

3.1. 만드는 법

4. 참고

분류

32	29	4	1	24	21
30	31	2	3	22	23
12	9	17	20	28	25
10	11	18	19	26	27
13	16	36	33	5	8
14	15	34	35	6	7