1. 개요
최단거리( 最 短 距 離)는 두 점 사이의 거리 중 가장 짧은 크기를 갖는 것을 말한다. 크게 이산수학적 최단거리와 기하학적 최단거리로 나뉜다. 일반적으로 최단거리라 함은 후자를 뜻한다.2. 이산수학에서
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이산수학 Discrete Mathematics |
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경우의 수 문제중 유형화된 문제중 하나이다. 일반적으로 여러개의 점들 중에서 어떤점부터 다른 한 점까지의 최단 경로를 묻는 문제로 나온다. 아래의 기하학적 최단거리와 구별하기 위해 '점을 거쳐야 하는 규칙'을 추가한다.
2.1. 풀이
이 문제를 푸는 방법은 3가지로 나눌 수 있다.2.1.1. 1,1,1법칙( 시행착오법)
가장 귀찮지만 가장 생각은 안 하고 문제를 풀 수 있는 방법이다. 또한 후술할 법칙과는 달리 문제가 바뀌어도 풀이법에 크게 변화가 없는, 범용성이 뛰어나다.1,1,1 법칙은 다음과 같다.
| (0,1) | (1,1) | (도착) |
| (출발) | (1,0) | (2,0) |
| (0,1)-(1) | (1,1)-(2) | (도착)-(3) |
| (출발)-(1) | (1,0)-(1) | (2,0)-(1) |
실수할 확률이 높기 때문에 이 방법이 후술할 방법보다 유용하지 않을 수도 있다. 하지만 대부분의 연습문제의 경우 지도가 복잡하거나, 혹은 장애물이 많아 후술할 방법을 쓰면 생각할 것이 매우 복잡해지기 때문에 이 방법이 유용하게 쓰인다.
2.1.2. 동자순열(같은 것을 포함한 순열[1])을 이용한 풀이
| (0,2) | (1,2) | (2,2) | (도착) |
| (0,1) | (1,1) | (2,1) | (3,1) |
| (출발) | (1,0) | (2,0) | (3,0) |
이 풀이를 이용한 해법은 일반적으로 다음과 같이 정리할 수 있다.
[math(N{\sf x}M)]크기의 지도에서 최단경로의 개수는 [math(\frac{(N+M)!}{N!M!})]와 같다.
2.1.3. 조합을 이용한 풀이
조합을 이용한 풀이는 동자순열을 이용한 풀이와 맥락이 비슷하다. 다만 그 경우의 수를 구하는 방법이 조금 다를 뿐이다.조합을 이용해 최단경로의 개수를 구하는 방법은 일반적으로 다음과 같다.
[math(N{\sf x}M)]크기의 지도에서 최단경로의 개수는 [math(N+M \choose M)]와 같다. ([math(p \choose q)]은
조합이다.)
2.2. 크기
격자 형태로 이루어진 이동 경로라는 점에서, 그 크기를 택시 노름(Taxicab norm)[2]으로 정의할 수 있으며 모든 이동경로의 길이의 절댓값을 더한 값이 된다. 이는 택시 거리 공간에서 아래의 기하학적 최단거리와 연결고리를 이룬다.3. 기하학에서
3.1. 유클리드 기하학
두 점을 잇는 선분을 죽 그어주면 되는 간단한 방법으로 구할 수 있다. 도형 내에서는 대각선이라고도 한다.해당 선분의 크기는 따로 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 한다.
3.2. 비유클리드 기하학
여기서는 측지선(geodesic, 測 地 線)이 최단 거리와 대응되는 개념이다. 측지선이란 다차원공간에 놓여진 2차원 재매개화가 가능한 곡선 [math(\gamma)]에 대하여 점 [math(\gamma(t))]에서 [math(\ddot \gamma(t))]가 0 혹은 해당 곡면에 직교하는 곡선을 의미한다.[3] 정의로부터 [math(\ddot \gamma\cdot\dot\gamma=0)]이고, [math(\displaystyle \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dt}}\lVert \dot \gamma \rVert^{2}=2\ddot \gamma\cdot\dot\gamma=0)]이므로 모든 측지선은 상수인 속력을 갖는다. 측지선의 대표적인 예로 구면기하학에서의 대원(Great circle)이 있는데, 해당 구의 지름에 대한 원 둘레 길이이다.곡면 위에서 최단거리 곡선은 측지선이지만, 측지선이 최단거리 곡선인 것은 아니다. 예를 들어 원통 표면을 두 바퀴 둘러서 높이가 서로 다른 두 점을 잇는 최대한 짧은 곡선을 생각하면, 이 선은 측지선이지만 두 점을 잇는 최단거리 곡선은 아니다. 유클리드 기하학에서의 대각선과는 달리, 이 측지선은 미분 기하학을 이용해서 구해야 하기 때문에 상당한 노가다가 된다.
상술했듯 택시 기하학에서는 택시 노름이라는 이름으로 불린다.