1. 개요
함수들 중에 그래프[1]의 개형이 비슷한 함수들을 기술한다. 여기서 비슷하다는 것은 함수의 그래프만 봐서는 다른 함수와 구별하기 어려운 것들을 말한다. 특히 다루는 함수가 적은[2] 중등교육과정에서 이런 함수들의 존재를 접하고 다항함수 추론에서 혼돈의 카오스를 일으키기도 한다. 이론물리학자의 경우 이론 전개에 닮은꼴 함수를 이용하기도 한다.[3]닮은꼴 유명인, 닮은꼴 캐릭터, 닮은꼴 문자, 닮은꼴 한자 등의 선례를 들어 표제어를 '닮은꼴 함수'로 한다.
2. 목록
2.1. sin ∽ cos
가장 대표적인 사례로, 이건 태생적으로 닮을 수밖에 없는 함수다.[4] 한쪽 함수를 [math(x)]축으로 [math(\pi/2)]만큼 평행이동(shift)하면 완전히 겹치기까지 한다. 즉, 평행이동을 통해 상호 호환이 가능한 함수라는 것이다.[5]2.2. x² ∽ cosh
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삼각함수 짝꿍과 더불어 유명한 혼동 사례. 구별법은 이차함수는 상대적으로 뾰족하고, 쌍곡선 코사인 함수는 상대적으로 둥글다. 그래프의 모양을 이르는 말도 다른데 전자는 포물선, 후자는 현수선이다.
2.3. tanh ∽ erf
아예 이걸 주제로 한 논문까지 나와 있을 정도로 닮은 함수이다. 이외에도 [math(rm gd)], [math(arctan)]에 [math(2/\pi)]를 곱할 경우 비슷한 개형이 나온다.
위와 같은 개형을 띠는 함수는 따로 시그모이드 함수라고 부른다.
2.4. ⌊x⌋ ∽ ⌈x⌉
서로가 서로를 점대칭으로 유도 가능한 관계[6]이기 때문에 닮은 함수라고 볼 수 있다.
2.5. sgn ∽ 𝑢
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헤비사이드 계단 함수가 부호 함수를 절반으로 줄여놓고 [math(x)]축 위로 올려놓은 듯한 형태이며, 실제로도 이렇게 유도할 수 있다.
2.6. x³과 친구들(?)
어찌보면 '닮은꼴 함수' 중에서 가장 큰 지분을 갖고 있는 함수로, 몇가지 예만 보더라도 [math(tan x)], [math(sinh x)], [math({rm artanh}, x)], [math({rm erfi}(x))], [math({rm igd}(x))], [math({rm Shi}(x))] 등이 있다. 이는 일변수함수 전체의 시각으로 보았을 때 가장 흔한 개형이라는 이야기이기도 하다.3. 구별법
개형만으로는 구별하기 힘든 함수를 확실히 구별하는 쉬운 방법은 없다고 봐야 한다. 곧, 해석학의 도구를 사용해야 함을 의미한다.- 증감표 이용: 사실 대부분의 경우에는 별로 도움이 되지 않는다. 닮은꼴 함수답게 증감표 역시 비슷하게 나오기 때문.
- 테일러 급수, 푸리에 급수 이용: 어느 정도 통할 수도 있는 방법이지만, 개형이 닮았다 보니 시행착오를 겪는 경우가 많다. 보통은 아래 방법과 병행해서 사용한다. 해석함수가 아닐 경우 쓸 수 없는 방법이다.
- 도함수, 역도함수 계산: 가장 확실한 방법으로, 닮은꼴 함수가 그 도함수 및 역도함수까지 닮았다고 보장할 수는 없기 때문이다.[7] 다만 미분이 불가능하거나, 독특한 성질을 갖는 함수에는 쓸 수 없다는 단점이 있다.
4. 관련 문서
[1]
= 함숫값
[2]
초등함수조차 다 다루지 않는다. 중등교육과정에서 다루지 않는 초등함수로 차수가 5 이상인
다항함수,
역삼각함수,
쌍곡선 함수,
허수지수함수,
복소로그함수 등이 있다.
[3]
가령 아래의 이차함수-쌍곡선 코사인 함수의 경우, 후자보다 전자의 계산량이 확연히 적으므로, 조건을 주어 근사하는 방법을 쓴다.
[4]
그도 그럴 것이, 각도에 관계없이 sin2+cos2=1이기 때문.
[5]
애당초 코사인(cosine)의 이름부터 사인(sine)에 준한다(co-)라는 뜻이다. 그래서 한자로도 사인은 정현(正弦), 코사인은 여현(餘弦)이라고 한다. 90도 위상차를 흔히 여각(餘角)이라고 하기 때문.
[6]
[math(\lfloor x \rfloor = -\lceil -x \rceil \Leftrightarrow \lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor)]
[7]
대표적으로 부호 함수와 헤비사이드 계단함수의 역도함수는 각각
[math(|x| + {sf const.})]와 [math(x/2 + |x|/2 + {\sf const.})]으로, [math(x < 0)] 영역에서 큰 차이가 난다.