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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
cosine law · 餘弦法則삼각형 및 삼각함수에 관한 정리.
삼각형 [math(\mathrm{ABC})]를 고려하자. 이때 각 [math(A)], [math(B)], [math(C)]의 대변을 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A} \\ b^{2}&=c^{2}+a^{2}-2ca\cos{B} \\ c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C} \end{aligned} )]
사인 법칙과 함께 삼각형의 변의 길이와 각의 크기를 찾을 때 유용한 정리이다. 과거 한국에서는 이상하게도 제1 코사인 법칙, 제2 코사인 법칙의 두가지로 나눴는데, 2007 개정 교육과정 이후로는 과거 제2 코사인 법칙이 그냥 "코사인 법칙"으로 명칭이 변경되었다.[1] 이유는 후술할 비유클리드 기하학에서의 제1 코사인법칙과 제2 코사인법칙과의 충돌을 막기 위해서이다.[2] 유클리드 기하학에서의 코사인법칙은 구면이나 쌍곡면의 제1 코사인법칙의 극한에 대응되기 때문이다. 참고로 구면이나 쌍곡의 제2 코사인법칙에 극한을 취하면 [math(\cos C_\infty=-\cos A_\infty\cos B_\infty+\sin A_\infty\sin B_\infty)]라는 자명한 식이 되어버리기 때문에 비유클리드 기하학에는 제2 코사인법칙이 존재하지 않는다. 자세한 내용은 위키백과의 코사인 법칙 문서를 참조하기 바란다.
1.1. 증명
1.1.1. 기본적인 증명
삼각형 [math(\mathrm{ABC})]의 꼭짓점 [math(\mathrm{A})]의 대변 [math(\mathrm{BC})] 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자.삼각형 [math(\mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때, 그림은 아래와 같다.
이때, 위 그림을 참고하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{AH}}&=c\sin{B} \\ \overline{\mathrm{HC}}&=a-c\cos{B} \\ \overline{\mathrm{AC}}&=b \end{aligned} )]
이고, 삼각형 [math(\mathrm{AHC})]는 직각 삼각형이므로 피타고라스 정리로 부터,
[math(\displaystyle \begin{aligned} b^2 &= (c\sin B )^2 + (a - c\cos B)^2 \\ &=c^2 \sin^2 B + c^2 \cos^2 B + a^2 - 2ac\cos B \end{aligned} )]
을 얻는다. 이때, [math(\sin^2 B + \cos^2 B =1)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} b^2=c^2+a^2-2ca\cos B \end{aligned} )]
을 얻는다.
삼각형 [math({\mathrm{ABC}})]가 둔각 삼각형이거나 직각 삼각형의 경우에도 직각 삼각형 [math({\mathrm{AHC}})]을 이용하면 같은 식을 얻을 수 있고, 나머지 두 식에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다.
여기서 [math( \sin^2 B + \cos^2 B=1 )] 이 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의에서 유도되므로, 코사인 법칙은 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의의 결과, 또는 피타고라스 정리를 삼각함수의 정의를 이용하여 확장한 것이라고 할 수 있다.[3]
1.1.2. 좌표를 이용한 증명
점 [math(\rm B)]는 좌표평면의 원점이다. 삼각형 [math(\rm ABC)]에서 삼각함수의 정의에 의해 점 [math(\rm A)]의 좌표는
[math({\rm A}(c\cos{B},\, c\sin{B}))]
이다.
두 점 사이 거리 공식에 의하여
[math(\begin{aligned} b^{2} &= { \overline{\rm AC}}^2 \\ &= (a-c\cos{B})^{2}+(0-c\sin{B})^{2} \\ &= a^{2}-2ac\cos{B}+c^{2}(\cos{B})^{2}+c^{2}(\sin{B})^2 \\ &= a^{2}-2ac\cos{B}+c^{2}[(\cos{B})^{2}+(\sin{B})^{2}] \\ &= a^{2}+c^{2}-2ac\cos{B} \end{aligned})]
같은 방법으로
[math(\begin{aligned} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A} \\ c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C} \end{aligned} )]
임을 보일 수 있다.
1.1.3. 페이저와 복소수를 이용한 증명
그림에서 [math(\mathbf{C=A+B})]이므로 이를 페이저(Phasor)로 표현하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle Ce^{i \gamma }=Ae^{i \alpha }+Be^{i \beta } )]
이때, 오일러의 공식을 이용하면,
[math(\displaystyle C(\cos{\gamma}+i \sin{\gamma})=A(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})+B(\cos{\beta}+i \sin{\beta}) )]
이제 이것을 실수부와 허수부로 나눠서 쓰면,
[math(\displaystyle C\cos{\gamma}=A\cos{\alpha}+B\cos{\beta} \\ C\sin{\gamma}=A\sin{\alpha}+B\sin{\beta} )]
윗식을 각각 제곱하여 더하면,
[math(\displaystyle C^2 \cos^2 {\gamma} + C^2 \sin^2 {\gamma} = A^2 \cos^2 {\alpha} + A^2 \sin^2{\alpha} + B^2 \cos^2{\beta} + B^2 \sin^2{\beta} + 2AB(\cos{\alpha}\cos{\beta}+ \sin{\alpha}\sin{\beta}) )]
이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}&=1 \\ \cos{( \alpha-\beta )} &=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \end{aligned} )]
임을 이용하여, 식을 간결하게 하면 다음과 같이 된다.
[math(\displaystyle C^2 = A^2 + B^2 + 2 AB \cos(\alpha -\beta) )]
주어진 그림에서 끼인각 [math(\theta)]와 [math(\alpha)], [math(\beta)]와의 관계는
[math(\displaystyle \beta - \alpha = \pi +\theta )]
이므로 코사인의 우함수적 성질, 즉
[math(\displaystyle \cos{x}=\cos{(-x)} )]
임을 이용하면, 위에서 나온
[math(\displaystyle \cos{(\alpha - \beta)}=\cos(\beta - \alpha)=\cos(\pi + \theta) = -\cos{\theta} )]
에 의하여 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle C^2 =A^2 + B^2 - 2 AB \cos{\theta} )]
이때, [math(C)]는 길이이므로 항상 음이 아닌 수임에 주의하여야 한다.
1.2. 활용
- 두 변과 그 끼인각을 알 때, 다른 한 변의 길이를 이 공식을 이용해서 알 수 있다.
-
코사인 값만 한 쪽에 둔 뒤 나머지 값을 전부 다른 쪽으로 이항하면, 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \cos{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} )] }}}
이는 세 변의 길이를 알 때, 각의 크기를 구할 때 요긴하게 쓰이게 된다. 또한, 이 조건 자체가 사실은 삼각형의 결정 조건이다. 즉, 삼각형에서 코사인 법칙의 두 식[4]은 해가 반드시 하나이다.[5] 값에 따라서 해가 두 개가 나올 수도 있는
사인 법칙과는 구분되는 점이다.
* 또한, 코사인 법칙은 피타고라스 정리의 일반화라 볼 수 있다. 이런 결론이 나오는 이유는 바로 이 법칙과 피타고라스 정리가 둘 다 유클리드 기하학의 제5공준인 평행선 공준과 동치이기 때문.
* 물리학에서는 벡터를 많이 다루기 때문에 이 공식은 필히 알고 있어야 한다. 역학에서 두 힘의 합성을 구할 때나[6], 전자기학의 다중극 전개 등에서 이를 활용하게 된다.
* 또한, 코사인 법칙은 피타고라스 정리의 일반화라 볼 수 있다. 이런 결론이 나오는 이유는 바로 이 법칙과 피타고라스 정리가 둘 다 유클리드 기하학의 제5공준인 평행선 공준과 동치이기 때문.
* 물리학에서는 벡터를 많이 다루기 때문에 이 공식은 필히 알고 있어야 한다. 역학에서 두 힘의 합성을 구할 때나[6], 전자기학의 다중극 전개 등에서 이를 활용하게 된다.
1.3. 제1 코사인 법칙
삼각형 [math(\mathrm{ABC})]를 고려하자. 각 [math(A)], [math(B)], [math(C)]의 대변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다. 위에서 언급하였듯, 현재는 교육과정 내에서 따로 제2 코사인법칙과 나누어 가르치지 않는다. 간혹 가르치는 경우도 존재하나, 사실상 문제에서 거의 등장하지 않기 때문에 제2 코사인법칙만 알고 있어도 무방하다.[math(\displaystyle \begin{aligned} a&=b\cos{C}+c\cos{B} \\ b&=c\cos{A}+a\cos{C} \\ c&=a\cos{B}+b\cos{A} \end{aligned} )]
제1코사인 법칙에서 각 변에 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]을 곱하고 첫번째 식과 두번째 식을 더한 것에 세번째 식을 빼서 소거하면 제2코사인법칙을 얻는다. 피타고라스 정리를 가정하지 않아도 되고 제2코사인법칙이 피타고라스 정리보다 더 포괄적인 개념이므로 피타고라스 정리의 증명도 되는 셈.
1.3.1. 증명
삼각형 [math(\mathrm{ABC})]의 꼭짓점 [math(\mathrm{A})]의 대변 [math(\mathrm{BC})] 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자.(ⅰ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때
다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a&=\overline{\mathrm{BH}}+\overline{\mathrm{CH}} \\ &=c\cos{B}+b\cos{C} \end{aligned} )]
(ⅱ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 둔각 삼각형일 때
다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a&=\overline{\mathrm{BH}}-\overline{\mathrm{CH}} \\ &=c\cos{B}-b\cos{(180\degree-C)} \\ &=c\cos{B}+b\cos{C} \end{aligned} )]
(ⅲ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 직각 삼각형일 때
위 그림에서
[math(\displaystyle a=\overline{\mathrm{BH}}=c\cos{B} )]
이고, [math(\angle C=90\degree)]이므로 [math(\cos{C}=0)]이다. 따라서
[math(\displaystyle a=c\cos{B}+b\cos{C} )]
이 성립한다.
나머지 두 변에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다.
2. 비유클리드 기하학에서
비유클리드 기하학에서는 식의 형태가 완전히 달라진다.
- 구면 공간
-
제1 코사인 법칙
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos a&= \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \\ \cos b&= \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B \\ \cos c&= \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C \end{aligned} )] -
제2 코사인 법칙
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cos a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cos b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cos c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned} )] - 쌍곡 공간
-
제1 코사인 법칙
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cosh a&= \cosh b \cosh c + \sinh b \sinh c \cos A \\ \cosh b&= \cosh a \cosh c + \sinh a \sinh c \cos B \\ \cosh c&= \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b \cos C \end{aligned} )] -
제2 코사인 법칙
[math(\displaystyle \begin{aligned} \cosh a&= \dfrac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C} \\ \cosh b&= \dfrac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C} \\ \cosh c&= \dfrac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \end{aligned} )]
미분기하학의 학습 난도를 올리는 원인 중 하나로, 이렇게 복잡해진 코사인 법칙을 외워서 활용해야 하기 때문. 특히 구면 공간에 대한 코사인 법칙은 지도 앱 프로그래머들이 숙지해야 할 상황이 왕왕 생긴다.
3. 여담
- 선형대수학에서 내적(점곱)을 벡터 성분들간의 곱의 합으로 표현하고자할때, 공간상의 점 [math(\rm P)]와 점 [math(\rm Q)]사이의 거리, 각 점에 대응하는 벡터 [math(\mathbf{u})]와 [math(\mathbf{v})](의 norm들), 두 벡터의 사잇각으로 삼각형을 구성하면 코사인 법칙을 이용해 역으로 내적을 표현하는 성분식을 구할 수 있다. [math(|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos{(\mathbf{u},\, \mathbf{v})})](단, [math((\mathbf{u},\, \mathbf{v}))]는 두 벡터가 이루는 각)라는 내적의 정의가 코사인 법칙에 뭉텅이로 들어가 있기 때문이다.[7]
- 2009 개정 교육과정으로 인해 2017 수능부터는 출제되지 않는다. 하지만 2021 수능부터는 다시 출제된다. 이것에 관해선 수학Ⅰ(2015) 문서를 참조.
4. 관련 문서
[1]
세계적으로 코사인 법칙이라 하면 제2 코사인 법칙만을 가리킨다. 예외적으로 현행 일본 고등학교 교육과정에서도 코사인 법칙를 제1 여현정리, 제2 여현정리로 구분을 한다. 참고로 중국과 일본에선 코사인을 여현(余弦)이라고 한다. 인도 역시 제1코사인법칙에 해당하는 내용을 배우나 projection formula라는 전혀 다른 용어를 사용한다.
[2]
다만 그 외에도 제1법칙은 사실상 제2법칙을 유도하는 데에만 사용되는 식이라서 유명무실하기 때문에 통합한 것으로 보인다.
[3]
삼각함수의 정의는 닮은 삼각형의 존재성에서 바로 나오고, 닮은 삼각형의 존재성과 피타고라스 정리와 평행선공준은 서로 동치인 명제이다. 따라서 코사인 법칙은 길이와 각에 관한 유클리드 기하학의 고유한 성질을 보여주는 명제라고 할 수 있고, 구면 위의 기하학에서는 이와 다른 정의와 법칙(구면삼각법)이 사용된다.
[4]
원 식과 그 변형
[5]
원식은 양수값과 음수값 두개가 나오지만 변의 길이는 무조건 양수이므로 해가 하나, 변형식은 코사인함수가 [math(0\degree)]와 [math(180\degree)]사이에선 일대일 대응이기 때문에 해가 하나이다.
[6]
크기 [math(A)], [math(B)], 두 힘 사이의 각이 [math(\theta)]일 때, 합력의 크기는 [math(\displaystyle F =\sqrt{ A^2 + B^2 + 2 AB \cos{\theta}} )]이다. 증명은 평행 사변형을 그리는 것으로 간단히 알 수 있다.
[7]
내적을
행렬식과
켤레전치를 이용해 [math(\left< {\bold u},\,{\bold v} \right> = \det(\overline{\bold u}^T {\bold v}))]로 코사인 법칙 없이 정의할 수도 있긴 하다.