1. 개요
重積分 / multiple integral정적분의 개념을 확장하여 독립변수가 2개 이상인 함수를 적분하는 것이다. 중적분의 개념은 공간의 부피, 질량, 무게 중심, 표면적 등등에 쓰인다. 이론상 한 차원씩 차근차근 계산하면 되지만, 웬만한 적분이 잘 될 리가 없다. 이 때문에 편의를 위해 좌표계를 변환해주는데 2차원에선 극좌표, 3차원에서는 구면좌표계와 원통좌표계를 쓴다. 정규분포 함수의 적분값도 이중적분을 극좌표로 변환하는 꼼수를 써서 풀 수 있다. 의외로 과정만 잘 밟으면 학부 1학년 때도 연습문제로 나올 만큼 어렵지 않은 내용이다. 물론 그냥 무조건 변환해주면 되는 건 아니라 야코비안이라는 개념을 배워야 제대로 쓸 수 있다. 야코비안의 행렬식의 절댓값을 이용하는데, 쉽게 말하면 치환(변환)했으니 구간도 바뀌는데 이때의 처음 구간과 치환 후 구간을 보정해주는 값이라 생각하면 된다.
적분을 단순히 두 번 세 번 하는 반복 적분(iterated integral)과는 다른 개념이니 주의가 필요하다. 대신 푸비니 정리에 의해 특정 조건에서 중적분을 반복적분으로 계산할 수 있다. 아래 문단 참조.
일반적으로 미지수가 하나인 함수의 적분이 넓이를 의미하듯이, 미지수가 2개인 함수의 적분은 부피를 의미한다. 미지수가 그 이상 있는 함수에 대해서는 초부피(Hypervolume)라는 개념이 도입된다.
[math(\displaystyle \int_L {\rm d}x)]는 해당 적분구간의 길이를 나타내는 것과 유사하게, [math(\displaystyle \int_D {\rm d}A)]는 2차원 구간 [math(D)]의 넓이, 곡면적분 [math(\displaystyle \int_S {\rm d}S)]는 [math(\displaystyle S)]의 겉넓이, 부피적분 [math(\displaystyle \int_V {\rm d}V)]는 [math(\displaystyle V)]의 부피이다. 자세한 내용은 부피 문서 참고.
2. 기호
[math(\displaystyle\LARGE\int\ \iint\ \iiint\ \oint\ \oiint\ \oiiint)]
중적분에 쓰이는 기호들.
여기서 적분기호의 개수는 변수의 개수, 고리는 닫힌 공간의 구간을 의미한다.[1] 선적분의 경우 ∫와 ∮, 면적분의 경우 ∬, 곡면적분의 경우 ∬와 ∯(∮도 매우 자주 쓰인다.), 부피적분의 경우 ∭, ∰를 자주 볼 수 있다. 고리는 어렵게 생각할 것 없이 매우 쉬운 개념이다. 고리에 화살표로 방향을 표시해 놓는 극소수의 경우가 있지만, 대부분의 경우 아무 표시가 없다. 고리는 닫힌 적분범위 내에서 양의 방향으로 적분하라는 소리다. 닫힌 적분범위의 예를 들자면, 선적분의 경우 대체로 시계 반대 방향의 방향을 갖는 어떠한 폐곡선에서 적분하는 것이고, 곡면적분의 경우 곡면 안쪽이 아닌 바깥쪽을 향하도록 폐곡면을 잡으라는 것이다.
3. 푸비니 정리
중적분을 계산하는 방법 중 하나. [math(S=[a,\,b]\times[c,\,d])]에 대해 [math(f\!:S \longrightarrow\R)]가 유계이고 적분 가능한 함수라고 할 때,[math(\displaystyle \iint_S f(x,\,y)\,\,{\rm d}A =\int_a^b\left[ \int_c^df(x,\,y)\,{\rm d}y\right]{\rm d}x= \int_c^d\left[ \int_a^bf(x,\,y)\,{\rm d}x \right]{\rm d}y)][2]
이 성립한다는 정리. 즉, 이중적분을 일차원 적분의 반복적분으로 바꿀 수 있으며 적분 순서를 바꿔도 값은 동일하다는 것이다. 이를 통해 미적분의 기본정리를 중적분에도 적용할 수 있다.
만약 함수 [math(f)]가 푸비니 정리의 조건을 모두 만족하면서 분리 가능할 경우, 즉 모든 [math((x,\,y)\in S)]에 대해 [math(f(x,\,y)=g(x)h(y))]를 만족시키는 함수 [math(g\!:[a,\,b]\longrightarrow\R)], [math(h\!:[c,\,d]\longrightarrow\R)]이 각각 존재할 경우,
[math(\displaystyle\iint_S f(x,\,y)\,\,{\rm d}A=\int_a^b g(x)\,{\rm d}x\int_c^dh(y)\,{\rm d}y)]
임에 따라 중적분을 각 구간에 대한 일중적분의 곱으로 분리가 가능해진다. 증명은 꽤나 간단하다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle
\iint_S f(x,\,y)\,\,{\rm d}A&=\int_c^d\left[\int_a^b g(x)h(y)\,{\rm d}x\right]{\rm d}y\\
&=\int_c^d\left[h(y)\int_a^bg(x)\,{\rm d}x\right]{\rm d}y\\
&=\int_a^bg(x)\,{\rm d}x\int_c^dh(y)\,{\rm d}y
\end{aligned})]
\iint_S f(x,\,y)\,\,{\rm d}A&=\int_c^d\left[\int_a^b g(x)h(y)\,{\rm d}x\right]{\rm d}y\\
&=\int_c^d\left[h(y)\int_a^bg(x)\,{\rm d}x\right]{\rm d}y\\
&=\int_a^bg(x)\,{\rm d}x\int_c^dh(y)\,{\rm d}y
\end{aligned})]
2번째 등호는 [math(\int_a^b\cdots{\rm d}x)]의 관점에서 [math(h(y))]가 상수이기 때문에, 3번째 등호는 [math(\int_c^d\cdots{\rm d}y)]의 관점에서 [math(\int_a^bg(x)\,{\rm d}x)]가 상수이기 때문에 성립한다.
4. 예시: 가우스 적분
정규분포 함수에서 보이는 [math(displaystyle e^{-x^2})]을 적분하는 경우는, 먼저 변수를 2개로 늘리고 야코비안의 극좌표 변형식을 써서 극좌표로 변형한 후 계산할 수 있다. 극좌표를 쓰고 싶지 않다면, 복소해석학을 이용해서 우회하는 방법도 존재한다.먼저 평면 [math(\displaystyle \R^2=(-\infty,\,\infty)\times(-\infty,\,\infty))] 위에서의 이상적분 [math(\displaystyle I)]를 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle I \equiv \iint_{\R^2} e^{-(x^2+y^2)}\,{\rm d}A)]
[math(e^{-(x^2+y^2)})]는 [math(0< e^{-(x^2+y^2)}\leq 1)]에 따라 [math(\R^2)]에서 유계이므로 [math(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,{\rm d}x)]가 수렴한다 가정한 뒤 푸비니 정리를 적용한 후, [math(I)]의 좌표를 [math(displaystyle (x,,y))]에서 [math((r,,theta))]로 변환해보자.
야코비안 극좌표 변형식을 사용하면 [math(\displaystyle \frac{\partial (x, y) }{\partial (r,\theta )}=r(r>0))]임에 따라 [math(\displaystyle \,{\rm d}A={\rm d}y\,{\rm d}x=\left\vert\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert {\rm d}r{\rm d}\theta =r\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta)]이므로
[math(\displaystyle x^2+y^2=r^2)]이므로 [math(\displaystyle I=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,{\rm d}y\,{\rm d}x = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta)]
[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}r}\left(-\dfrac12e^{-r^2}\right)=\left(-\dfrac12\right)(-2re^{-r^2})=re^{-r^2})]임에 따라 위의 분리 가능한 함수의 중적분을 이용해 [math(I)]는 다음과 같이 계산이 가능하다.
[math(\begin{aligned}
\displaystyle I&=\int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2}r\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta\\
&= \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta\int_0^\infty re^{-r^2}\,{\rm d}r\\
&= 2\pi\left(-\frac12\right)\bigg[ e^{-r^2} \bigg]^\infty_0\\
&= -\pi(0-1) =\pi
\end{aligned})]
\displaystyle I&=\int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2}r\,{\rm d}r\,{\rm d}\theta\\
&= \int_0^{2\pi}{\rm d}\theta\int_0^\infty re^{-r^2}\,{\rm d}r\\
&= 2\pi\left(-\frac12\right)\bigg[ e^{-r^2} \bigg]^\infty_0\\
&= -\pi(0-1) =\pi
\end{aligned})]
적분구간과 피적분함수가 동일할 경우 적분변수가 달라도 정적분 값은 동일하므로
[math(\displaystyle I=\iint_{\R^2} e^{-(x^2+y^2)} \,{\rm d}A=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,{\rm d}x \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,{\rm d}y=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,{\rm d}x\right)^2)]
와 같이 변형할 수 있다.
다만, 위에서 [math(I=\pi)]임을 증명했기 때문에, [math(e^{-x^2}\geq0\;\forall x\in\R)]임에 따라
[math(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,{\rm d}x=\sqrt{I}=\sqrt\pi)]
임을 알 수 있다.